En geometría diferencial , la conjetura de Carathéodory es una conjetura matemática atribuida a Constantin Carathéodory por Hans Ludwig Hamburger en una sesión de la Sociedad Matemática de Berlín en 1924. [1] Carathéodory publicó un artículo sobre un tema relacionado, [2] pero nunca cometió el Conjetura por escrito. En, [3] John Edensor Littlewood menciona la Conjetura y la contribución de Hamburger [4] como un ejemplo de una afirmación matemática que es fácil de enunciar pero difícil de probar. Dirk Struik describe en [5]la analogía formal de la conjetura con el teorema de los cuatro vértices para curvas planas . Las referencias modernas a la Conjetura son la lista de problemas de Shing-Tung Yau , [6] los libros de Marcel Berger , [7] [8] así como los libros. [9] [10] [11] [12]
Contenido matemático
La conjetura afirma que cualquier superficie convexa, cerrada y suficientemente lisa en el espacio euclidiano tridimensional debe admitir al menos dos puntos umbilicos . En el sentido de la conjetura, el esferoide con sólo dos puntos umbilicales y la esfera , todos los puntos umbilicales, son ejemplos de superficies con números mínimos y máximos del ombligo. Para que la conjetura esté bien planteada o los puntos umbilicales estén bien definidos, la superficie debe ser al menos dos veces diferenciable.
Investigación matemática sobre un enfoque mediante una estimación del índice umbilical local para superficies analíticas reales
El discurso invitado de Stefan Cohn-Vossen [13] al Congreso Internacional de Matemáticos de 1928 en Bolonia fue sobre el tema y en la edición de 1929 del tercer volumen de Wilhelm Blaschke sobre Geometría Diferencial [14] afirma:
Mientras este libro se imprime, el Sr. Cohn-Vossen ha logrado demostrar que las superficies analíticas reales cerradas no tienen puntos umbilicales de índice> 2 (charla invitada en el ICM en Bolonia 1928). Esto prueba la conjetura de Carathéodory para tales superficies, es decir, que deben tener al menos dos umbilicales.
Aquí, el índice de Blaschke es el doble de la definición habitual para un índice de un punto umbilico, y la conjetura global sigue el teorema del índice de Poincaré-Hopf . Cohn-Vossen no presentó ningún artículo a las actas del Congreso Internacional, mientras que en ediciones posteriores del libro de Blaschke se eliminaron los comentarios anteriores. Por lo tanto, es razonable suponer que este trabajo no fue concluyente.
Para las superficies analíticas, Hans Hamburger dio una respuesta afirmativa a esta conjetura en 1940 en un extenso artículo publicado en tres partes. [4] El enfoque de Hamburger también fue a través de una estimación de índice local para umbilics aislados, que había demostrado que implica la conjetura en su trabajo anterior. [15] [16] En 1943, Gerrit Bol propuso una prueba más corta , [17] ver también, [18] pero, en 1959, Tilla Klotz encontró y corrigió una brecha en la prueba de Bol en. [19] [4] Su prueba, a su vez, fue anunciada como incompleta en la disertación de Hanspeter Scherbel [20] (no se publicaron resultados de esa disertación relacionada con la conjetura de Carathéodory durante décadas, al menos no se publicó nada hasta junio de 2009). Entre otras publicaciones nos referimos a artículos. [21] [22] [23]
Todas las pruebas mencionadas anteriormente se basan en la reducción de Hamburger de la conjetura de Carathéodory a la siguiente conjetura: el índice de cada punto umbilical aislado nunca es mayor que uno . [15] A grandes rasgos, la principal dificultad radica en la resolución de las singularidades generadas por los puntos umbilicales. Todos los autores mencionados resuelven las singularidades por inducción sobre el 'grado de degeneración' del punto umbilical, pero ninguno de ellos logró presentar con claridad el proceso de inducción.
En 2002, Vladimir Ivanov revisó el trabajo de Hamburger sobre superficies analíticas con la siguiente intención declarada: [24]
"Primero, considerando las superficies analíticas, afirmamos con total responsabilidad que Carathéodory tenía razón. Segundo, sabemos cómo se puede probar esto con rigor. Tercero, pretendemos exhibir aquí una prueba que, en nuestra opinión, convencerá a todo lector que realmente esté listo para emprender un largo y agotador viaje con nosotros ".
Primero sigue el camino recorrido por Gerrit Bol y Tilla Klotz , pero luego propone su propio camino para la resolución de singularidades donde el papel crucial pertenece al análisis complejo (más precisamente, a técnicas que involucran funciones analíticas implícitas , teorema de preparación de Weierstrass , serie de Puiseux y circular sistemas de raíces ).
Investigación matemática sobre la conjetura global original para superficies lisas
En 2008, Guilfoyle y Klingenberg anunciaron [25] una prueba de la conjetura global para superficies de suavidad.. Su método utiliza la geometría neutra de Kähler de la cuadrícula de Klein [26] para definir un problema de valor límite de Riemann-Hilbert asociado, y luego aplica el flujo de curvatura media y el teorema de Sard-Smale en valores regulares de los operadores de Fredholm para demostrar una contradicción para una superficie con un solo punto umbilico.
En particular, el problema del valor en la frontera busca encontrar una curva holomórfica con un límite que se encuentre en la superficie lagrangiana en el cuadrático de Klein determinado por las líneas normales a la superficie en el espacio euclidiano 3. Previamente se comprobó que el número de puntos umbilicales aislados contenidos en la superficie endetermina la clase Keller-Maslov de la curva límite [27] y, por tanto, cuando el problema es regular de Fredholm, determina la dimensión del espacio de los discos holomórficos. [25] Todas las cantidades geométricas mencionadas se definen con respecto a la estructura canónica neutral de Kähler, cuyas superficies pueden ser tanto holomorfas como lagrangianas. [26]
Al abordar la conjetura global, la pregunta es " ¿qué sería tan especial acerca de una superficie convexa cerrada lisa encon un solo punto umbilico? Esto es respondido por Guilfoyle y Klingenberg: [28] el problema de valor límite asociado de Riemann-Hilbert sería Fredholm regular. Se ha demostrado que la existencia de un grupo de isometría de tamaño suficiente para fijar un punto es suficiente para asegurarlo, identificando así el tamaño del grupo de isometría euclidiana decomo la razón subyacente por la cual la conjetura de Carathéodory es cierta. Esto se ve reforzado por un resultado más reciente [29] en el que las métricas ambientales suaves (sin simetrías) que son diferentes pero arbitrariamente cercanas a la métrica euclidiana en, están construidos que admiten superficies convexas lisas que violan tanto las conjeturas locales como las globales.
Según la regularidad de Fredholm, para una superficie convexa genérica cercana a un contraejemplo putativo de la Conjetura de Carathéodory global, el problema de Riemann-Hilbert asociado no tendría soluciones. El segundo paso de la prueba es mostrar que tales soluciones siempre existen, concluyendo así la inexistencia de un contraejemplo. Esto se hace usando el flujo de curvatura media co-dimensión 2 con límite. Si bien el segundo paso completo de la prueba no se ha publicado hasta noviembre de 2020, las estimaciones interiores requeridas para un flujo de curvatura media codimensional más alto en una geometría indefinida han aparecido impresas. [30] La parte final es el establecimiento de un control de límites suficiente bajo el flujo de curvatura media para asegurar una convergencia débil.
En 2012, se anunció la prueba de una versión más débil de la conjetura del índice local para superficies lisas, a saber, que un ombligo aislado debe tener un índice menor o igual a 3/2. [31] La demostración sigue la de la conjetura global, pero también utiliza métodos más topológicos, en particular, reemplazando los puntos umbilicales hiperbólicos por casquillos cruzados totalmente reales en el límite del problema asociado de Riemann-Hilbert. Deja abierta la posibilidad de una superficie convexa lisa (analítica no real de Hamburger [4] ) con un ombligo aislado de índice 3/2. La prueba por métodos similares de una conjetura de Toponogov con respecto a los puntos umbilicales en planos completos se anunció en 2020. [32]
En 2012, Mohammad Ghomi y Ralph Howard demostraron, utilizando una transformación de Möbius , que la conjetura global para superficies de suavidadpuede reformularse en términos del número de puntos umbilicales en gráficos sujetos a ciertas asintóticas del gradiente. [33] [34]
Ver también
- Geometría diferencial de superficies
- Segunda forma fundamental
- Curvatura principal
- Punto umbilical
Referencias
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( ayuda )
enlaces externos
- [1] Berliner Mathematische Gesellschaft
- de: Wilhelm Blaschke Wilhelm Blaschke
- de: Gerrit Bol Gerrit Bol
- de: Carathéodory Constantin Carathéodory
- de: Stefan Cohn-Vossen Stefan Cohn-Vossen
- de: Hans Hamburger Hans Hamburger