El teorema clásico de la geometría de los cuatro vértices establece que la función de curvatura de una curva plana simple, cerrada y suave tiene al menos cuatro extremos locales (específicamente, al menos dos máximos locales y al menos dos mínimos locales). El nombre del teorema se deriva de la convención de llamar vértice a un punto extremo de la función de curvatura . Este teorema tiene muchas generalizaciones, incluida una versión para curvas espaciales donde un vértice se define como un punto de torsión que desaparece .
Ejemplos de
Una elipse tiene exactamente cuatro vértices: dos máximos locales de curvatura donde es atravesado por el eje mayor de la elipse, y dos mínimos locales de curvatura donde es atravesado por el eje menor. En un círculo , cada punto es tanto un máximo local como un mínimo local de curvatura, por lo que hay infinitos vértices.
Cada curva de ancho constante tiene al menos seis vértices. [1]
Historia
El teorema de los cuatro vértices fue probado por primera vez para curvas convexas (es decir, curvas con curvatura estrictamente positiva) en 1909 por Syamadas Mukhopadhyaya . [2] Su demostración utiliza el hecho de que un punto en la curva es un extremo de la función de curvatura si y solo si el círculo osculante en ese punto tiene contacto de cuarto orden con la curva; en general, el círculo osculador sólo tiene contacto de tercer orden con la curva. El teorema de los cuatro vértices fue probado para curvas más generales por Adolf Kneser en 1912 utilizando un argumento proyectivo. [3]
Prueba
Durante muchos años la demostración del teorema de los cuatro vértices siguió siendo difícil, pero Osserman (1985) dio una demostración simple y conceptual , basada en la idea del círculo envolvente mínimo . [4] Este es un círculo que contiene la curva dada y tiene el radio más pequeño posible. Si la curva incluye un arco del círculo, tiene infinitos vértices. De lo contrario, la curva y el círculo deben ser tangentes en al menos dos puntos, porque un círculo que toca la curva en menos puntos podría reducirse de tamaño mientras aún lo encierra. En cada tangencia, la curvatura de la curva es mayor que la del círculo, porque de lo contrario la curva continuaría desde la tangencia fuera del círculo en lugar de dentro. Sin embargo, entre cada par de tangencias, la curvatura debe disminuir a menos que la del círculo, por ejemplo, en un punto obtenido al trasladar el círculo hasta que ya no contenga ninguna parte de la curva entre los dos puntos de tangencia y considerando el último punto de contacto entre el círculo trasladado y la curva. Por lo tanto, existe un mínimo local de curvatura entre cada par de tangencias, lo que da dos de los cuatro vértices. Debe haber un máximo local de curvatura entre cada par de mínimos locales (no necesariamente en los puntos de tangencia), dando los otros dos vértices. [4] [5]
Conversar
Lo contrario al teorema de los cuatro vértices establece que cualquier función continua de valor real del círculo que tenga al menos dos máximos locales y dos mínimos locales es la función de curvatura de una curva plana simple y cerrada. Herman Gluck demostró lo contrario para funciones estrictamente positivas en 1971 como un caso especial de un teorema general sobre la asignación previa de la curvatura de n-esferas . [6] El inverso completo al teorema de los cuatro vértices fue probado por Björn Dahlberg poco antes de su muerte en enero de 1998, y publicado póstumamente. [7] La demostración de Dahlberg utiliza un argumento de número sinuoso que en cierto modo recuerda a la demostración topológica estándar del Teorema Fundamental del Álgebra . [8]
Aplicación a la mecánica
Un corolario del teorema es que un disco plano homogéneo que rueda sobre una superficie horizontal bajo la gravedad tiene al menos 4 puntos de equilibrio. Una versión discreta de esto es que no puede haber un polígono monoestático . Sin embargo, en tres dimensiones existen poliedros monostáticos, y también existe un objeto convexo y homogéneo con exactamente 2 puntos de equilibrio (uno estable y el otro inestable), el Gömböc .
Variaciones discretas
Hay varias versiones discretas del teorema de los cuatro vértices, tanto para polígonos convexos como no convexos. [9] Éstos son algunos de ellos:
- (Bilinski) La secuencia de ángulos de un polígono equilátero convexo con al menos cuatro vértices tiene al menos cuatro extremos .
- La secuencia de longitudes de los lados de un polígono equiangular convexo con al menos cuatro lados tiene al menos cuatro extremos .
- (Musin) Un círculo circunscrito alrededor de tres vértices consecutivos de un polígono con al menos cuatro vértices se llama extremal si contiene todos los vértices restantes del polígono, o no tiene ninguno de ellos en su interior. Dicho polígono convexo es genérico si no tiene cuatro vértices en el mismo círculo. Entonces, cada polígono convexo genérico con al menos cuatro vértices tiene al menos cuatro círculos extremos.
- ( Legendre - Cauchy ) Dos n- gones convexos con igual longitud de lado correspondiente tienen cero o al menos 4 cambios de signo en la secuencia cíclica de las diferencias de ángulo correspondientes.
- ( AD Alexandrov ) Dos n- gones convexos con lados correspondientes paralelos y un área igual tienen cero o al menos 4 cambios de signo en la secuencia cíclica de las diferencias de longitud de los lados correspondientes.
Algunas de estas variaciones son más fuertes que las otras, y todas implican el teorema (habitual) de los cuatro vértices mediante un argumento límite.
Generalizaciones a la curva espacial
La proyección estereográfica de la esfera al plano conserva puntos críticos de curvatura geodésica . Así, las curvas esféricas cerradas simples tienen cuatro vértices. Además, en la esfera, los vértices de una curva corresponden a puntos donde su torsión desaparece. Entonces, para las curvas espaciales, un vértice se define como un punto de torsión que desaparece. En 1994, VD Sedykh [10] mostró que cada curva de espacio cerrado simple que se encuentra en el límite de un cuerpo convexo tiene cuatro vértices. En 2017, Mohammad Ghomi [11] generalizó el teorema de Sedykh a todas las curvas que unen un disco convexo local.
Ver también
- Última declaración geométrica de Jacobi
- Teorema de la pelota de tenis
Referencias
- ^ Martínez-Maure, Yves (1996). "Una nota sobre el teorema de la pelota de tenis". American Mathematical Monthly . 103 (4): 338–340. doi : 10.2307 / 2975192 . JSTOR 2975192 . Señor 1383672 .; Craizer, Marcos; Teixeira, Ralph; Balestro, Vitor (2018). "Cicloides cerradas en un plano normado". Monatshefte für Mathematik . 185 (1): 43–60. arXiv : 1608.01651 . doi : 10.1007 / s00605-017-1030-5 . Señor 3745700 .
- ^ Mukhopadhyaya, S. (1909). "Nuevos métodos en la geometría de un arco plano". Toro. Calcuta Math. Soc . 1 : 21-27.
- ^ Kneser, Adolf (1912). "Bemerkungen über die Anzahl der Extrema der Krümmung auf geschlossenen Kurven und über verwandte Fragen in einer nicht euklidischen Geometrie". Festschrift Heinrich Weber . Teubner. págs. 170–180.
- ^ a b Berger, Marcel (2010). "V.8. El teorema de los cuatro vértices y su inverso; una aplicación a la física". Geometría al descubierto . Heidelberg: Springer. págs. 271-278. doi : 10.1007 / 978-3-540-70997-8 . ISBN 978-3-540-70996-1. Señor 2724440 ..
- ^ Osserman, Robert (1985). "El teorema de cuatro o más vértices". American Mathematical Monthly . 92 (5): 332–337. doi : 10.2307 / 2323126 . Señor 0790188 ..
- ^ Gluck, Herman (1971). "Lo contrario al teorema de los cuatro vértices". L'Enseignement Mathématique . 17 : 295-309.
- ^ Dahlberg, Björn (2005). "El inverso del teorema de los cuatro vértices" . Proc. Amer. Matemáticas. Soc . 133 (7): 2131–2135. doi : 10.1090 / S0002-9939-05-07788-9 .
- ^ DeTurck, D .; Gluck, H .; Pomerleano, D. y Vick, DS (2007). "El teorema de los cuatro vértices y su inverso" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 54 (2): 9268. arXiv : matemáticas / 0609268 . Bibcode : 2006math ...... 9268D .
- ^ Pak, I. Conferencias sobre geometría discreta y poliédrica Archivado el 29 de enero de 2009 en la Wayback Machine , Sección 21.
- ^ Sedykh, VD (1994). "Cuatro vértices de una curva espacial convexa". Toro. London Math. Soc . 26 (2): 177–180. doi : 10.1112 / blms / 26.2.177 .
- ^ Ghomi, Mohammad (2017). "Torsión límite y tapas convexas de superficies localmente convexas" . Revista de geometría diferencial . 105 (3): 427–486. arXiv : 1501.07626 . doi : 10.4310 / jdg / 1488503004 . ISSN 0022-040X .
enlaces externos
- El teorema de los cuatro vértices y su recíproco: un artículo expositivo que explica la prueba simple de Robert Osserman del teorema de los cuatro vértices y la prueba de Dahlberg de su recíproco, ofrece una breve descripción de las extensiones y generalizaciones, y ofrece esbozos biográficos de Mukhopadhyaya, Kneser y Dahlberg.