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En matemáticas , las descomposiciones de grupos de Lie se utilizan para analizar la estructura de los grupos de Lie y los objetos asociados, mostrando cómo se forman a partir de subgrupos . Son herramientas técnicas esenciales en la teoría de la representación de grupos de Lie y álgebras de Lie ; también se pueden utilizar para estudiar la topología algebraica de dichos grupos y los espacios homogéneos asociados . Dado que el uso de métodos de grupo de Lie se convirtió en una de las técnicas estándar en las matemáticas del siglo XX, muchos fenómenos pueden ahora remitirse a descomposiciones.
Las mismas ideas se aplican a menudo a grupos de Lie, álgebras de Lie, grupos algebraicos y análogos de números p-ádicos , lo que dificulta resumir los hechos en una teoría unificada.
Lista de descomposiciones
- La descomposición de Jordan-Chevalley de un elemento en un grupo algebraico como producto de elementos semisimple y unipotente
- La descomposición de Bruhat G = BWB de un grupo algebraico semisimple en clases dobles de un subgrupo de Borel se puede considerar como una generalización del principio de eliminación de Gauss-Jordan , que generalmente escribe una matriz como el producto de una matriz triangular superior con una matriz triangular inferior. matriz, pero con casos excepcionales. Está relacionado con la descomposición celular de Schubert de Grassmannianos : consulte el grupo de Weyl para obtener más detalles.
- La descomposición de Cartan escribe un álgebra de Lie real semisimple como la suma de los espacios propios de una involución de Cartan .
- La descomposición de Iwasawa G = KAN de un grupo semisimple G como el producto de subgrupos compactos , abelianos y nilpotentes generaliza la forma en que una matriz real cuadrada puede escribirse como un producto de una matriz ortogonal y una matriz triangular superior (una consecuencia de Gram– Ortogonalización de Schmidt ).
- La descomposición de Langlands P = MAN escribe un subgrupo parabólico P de un grupo de Lie como el producto de subgrupos semisimple, abeliano y nilpotente.
- La descomposición de Levi escribe un álgebra de Lie de dimensión finita como un producto semidirecto de un ideal resoluble normal y una subálgebra semisimple .
- La descomposición LU de un subconjunto denso en el grupo lineal general. Puede considerarse como un caso especial de descomposición de Bruhat .
- La descomposición de Birkhoff , un caso especial de la descomposición de Bruhat para grupos afines.
