En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1912 , Edmund Landau enumeró cuatro problemas básicos sobre los números primos . Estos problemas se caracterizaron en su discurso como "inatacables en el estado actual de las matemáticas" y ahora se conocen como problemas de Landau . Son los siguientes:
- Conjetura de Goldbach : ¿Se puede escribir todo entero par mayor que 2 como la suma de dos números primos?
- Conjetura de los primos gemelos : ¿Hay infinitos números primos p tales que p + 2 es primo?
- Conjetura de Legendre : ¿Existe siempre al menos un primo entre cuadrados perfectos consecutivos ?
- ¿Hay infinitos números primos p tales que p - 1 es un cuadrado perfecto? En otras palabras: ¿Hay infinitos números primos de la forma n 2 + 1?
En mayo de 2021 [actualizar], los cuatro problemas están sin resolver.
Progreso hacia las soluciones
Conjetura de Goldbach
El teorema de Vinogradov prueba la conjetura débil de Goldbach para n suficientemente grande . En 2013, Harald Helfgott demostró la conjetura débil para todos los números impares mayores que 5. [1] [2] [3] A diferencia de la conjetura de Goldbach, la conjetura débil de Goldbach establece que todo número impar mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres primos . Aunque la conjetura fuerte de Goldbach no ha sido probada o refutada, su demostración implicaría la prueba de la conjetura débil de Goldbach.
El teorema de Chen demuestra que para todo n suficientemente grande ,donde p es primo y q es primo o semiprimo . [4] Montgomery y Vaughan demostraron que el conjunto excepcional (números pares no expresables como la suma de dos primos) era de densidad cero, aunque no se ha demostrado que el conjunto sea finito. [5] El mejor límite actual del conjunto excepcional es(para x suficientemente grande ) debido a Pintz . [6]
En 2015, Tomohiro Yamada demostró una versión explícita del teorema de Chen: [7] todo número par mayor que es la suma de un primo y un producto de dos primos como máximo.
Conjetura del primo gemelo
Yitang Zhang [8] mostró que hay infinitos pares primos con brechas limitadas por 70 millones, y este resultado se ha mejorado a brechas de longitud 246 gracias a un esfuerzo colaborativo del Proyecto Polymath . [9] Según la conjetura generalizada de Elliott-Halberstam, esto se mejoró a 6, extendiendo el trabajo anterior de Maynard [10] y Goldston , Pintz & Yıldırım . [11]
Chen demostró que hay infinitos números primos p (luego llamados primos de Chen ) de modo que p + 2 es un primo o un semiprimo.
Conjetura de Legendre
Basta comprobar que cada espacio principal que comienza en p es menor que. Una tabla de espacios primos máximos muestra que la conjetura se mantiene en 4 × 10 18 . [12] Un contraejemplo cercano a 10 18 requeriría una brecha principal cincuenta millones de veces el tamaño de la brecha promedio. Matomäki demuestra que hay como máximo primos excepcionales seguidos de espacios mayores que ; En particular,
Un resultado debido a Ingham muestra que hay un primo entre y por cada n suficientemente grande . [14]
Primos casi cuadrados
El cuarto problema de Landau preguntaba si hay infinitos números primos que tienen la forma para entero n . (La lista de primos conocidos de esta forma es (secuencia A002496 en la OEIS ).) La existencia de infinitos números primos se seguiría como consecuencia de otras conjeturas de la teoría de números, como la de Bunyakovsky y la de Bateman-Horn . A partir de 2020[actualizar], este problema está abierto.
Un ejemplo de números primos casi cuadrados son los números primos de Fermat . Henryk Iwaniec demostró que hay infinitos números de la formacon como máximo dos factores primos. [15] [16] Nesmith Ankeny demostró que, asumiendo la hipótesis de Riemann extendida para funciones L en caracteres de Hecke , hay infinitos números primos de la forma con . [17] La conjetura de Landau es para los más fuertes.
Merikoski, [18] mejorando trabajos anteriores, [19] [20] [21] [22] [23] mostró que hay infinitos números de la forma con el mayor factor primo al menos . Reemplazar el exponente con 2 daría como resultado la conjetura de Landau.
El tamiz de Brun establece un límite superior en la densidad de primos que tienen la forma: existen tales números primos hasta . Luego se deduce que casi todos los números de la forma son compuestos.
Ver también
- Lista de problemas matemáticos sin resolver
- Problemas de Hilbert
Notas
- ^ Helfgott, HA (2013). "Arcos principales del teorema de Goldbach". arXiv : 1305.2897 [ matemáticas.NT ].
- ^ Helfgott, HA (2012). "Arcos menores para el problema de Goldbach". arXiv : 1205.5252 [ matemáticas.NT ].
- ^ Helfgott, HA (2013). "La conjetura ternaria de Goldbach es cierta". arXiv : 1312.7748 [ matemáticas.NT ].
- ^ Un semiprimo es un número natural que es el producto de dos factores primos.
- ^ Montgomery, HL; Vaughan, RC (1975). "El conjunto excepcional en el problema de Goldbach" (PDF) . Acta Arithmetica . 27 : 353–370. doi : 10.4064 / aa-27-1-353-370 .
- ^ Janos Pintz, Una nueva fórmula explícita en la teoría aditiva de números primos con aplicaciones II. El conjunto excepcional en el problema de Goldbach , preprint 2018
- ^ Yamada, Tomohiro (11 de noviembre de 2015). "Teorema explícito de Chen". arXiv : 1511.03409 [ matemáticas.NT ].
- ^ Yitang Zhang, Brechas limitadas entre números primos , Annals of Mathematics 179 (2014), págs. 1121-1174 del Volumen 179 (2014), Número 3
- ^ DHJ Polymath (2014). "Variantes del tamiz Selberg e intervalos acotados que contienen muchos números primos". Investigación en Ciencias Matemáticas . 1 (12): 12. arXiv : 1407.4897 . doi : 10.1186 / s40687-014-0012-7 . Señor 3373710 . S2CID 119699189 .
- ^ J. Maynard (2015), Pequeños espacios entre números primos . Annals of Mathematics 181 (1): 383-413.
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- ^ Jens Kruse Andersen, Brechas máximas de prima .
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- ^ Ingham, AE (1937). "Sobre la diferencia entre primos consecutivos". Revista trimestral de matemáticas de Oxford . 8 (1): 255–266. Código Bib : 1937QJMat ... 8..255I . doi : 10.1093 / qmath / os-8.1.255 .
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- ^ Robert J. Lemke Oliver (2012). "Casi primos representados por polinomios cuadráticos" (PDF) . Acta Arithmetica . 151 (3): 241–261. doi : 10.4064 / aa151-3-2 ..
- ^ NC Ankeny , Representaciones de números primos mediante formas cuadráticas, Amer. J. Math. 74: 4 (1952), págs. 913–919.
- ^ Jori Merikoski, mayor factor primo de n ^ 2 + 1 , preimpresión de 2019
- ^ de la Bretèche, Régis; Drappeau, Sary (2020), "Niveau de répartition des polynômes quadratiques et crible majorant pour les entiers friables", Revista de la Sociedad Matemática Europea , 22 (5): 1577-1624, arXiv : 1703.03197 , doi : 10.4171 / JEMS / 951
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- ↑ J. Ivanov, Uber die Primteiler der Zahlen vonder Form A + x ^ 2, Bull. Acad. Sci. San Petersburgo 3 (1895), 361–367.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Problemas de Landau" . MathWorld .