En matemáticas , la función beta de Dirichlet (también conocida como función beta catalana ) es una función especial , estrechamente relacionada con la función zeta de Riemann . Es una función L de Dirichlet particular , la función L para el carácter alterno del período cuatro.
La función beta de Dirichlet
La función beta de Dirichlet se define como
o equivalente,
En cada caso, se supone que Re ( s )> 0.
Alternativamente, la siguiente definición, en términos de la función zeta de Hurwitz , es válida en todo el plano s complejo :
- prueba
Otra definición equivalente, en términos del trascendente Lerch , es:
que es nuevamente válido para todos los valores complejos de s .
La función beta de Dirichlet también se puede escribir en términos de la función Polilogaritmo :
Además, la representación en serie de la función beta de Dirichlet se puede formar en términos de la función poligamma
pero esta fórmula solo es válida para valores enteros positivos de .
También es el ejemplo más simple de una serie no relacionada directamente con que también puede factorizarse como un producto de Euler , lo que lleva a la idea de que el carácter de Dirichlet define el conjunto exacto de series de Dirichlet que tienen una factorización sobre los números primos .
Al menos para Re ( s ) ≥ 1:
donde p ≡1 mod 4 son los números primos de la forma 4 n +1 (5,13,17, ...) y p ≡3 mod 4 son los números primos de la forma 4 n +3 (3,7,11, ...). Esto se puede escribir de forma compacta como
La ecuación funcional extiende la función beta al lado izquierdo del plano complejo Re ( s ) ≤ 0. Está dada por
donde Γ ( s ) es la función gamma .
Algunos valores especiales incluyen:
donde G representa la constante del catalán , y
dónde en lo anterior hay un ejemplo de la función poligamma . De manera más general, para cualquier entero positivo k :
dónde representan los números de Euler . Para el entero k ≥ 0, esto se extiende a:
Por tanto, la función desaparece para todos los valores integrales negativos impares del argumento.
Para cada entero positivo k :
- [ cita requerida ]
dónde es el número en zigzag de Euler .
También fue derivado por Malmsten en 1842 que
s | valor aproximado β (s) | OEIS |
---|
1/5 | 0.5737108471859466493572665 | A261624 |
1/4 | 0.5907230564424947318659591 | A261623 |
1/3 | 0,6178550888488520660725389 | A261622 |
1/2 | 0.6676914571896091766586909 | A195103 |
1 | 0,7853981633974483096156608 | A003881 |
2 | 0.9159655941772190150546035 | A006752 |
3 | 0.9689461462593693804836348 | A153071 |
4 | 0.9889445517411053361084226 | A175572 |
5 | 0,9961578280770880640063194 | A175571 |
6 | 0,9986852222184381354416008 | A175570 |
7 | 0.9995545078905399094963465 |
8 | 0.9998499902468296563380671 |
9 | 0.9999496841872200898213589 |
10 | 0.9999831640261968774055407 |
Hay ceros en -1; -3; -5; -7 etc.