En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , la dualidad es una correspondencia entre las propiedades de una categoría C y las propiedades duales de la categoría opuesta C op . Dada una declaración sobre la categoría C , al intercambiar la fuente y el objetivo de cada morfismo , así como también el orden de composición de dos morfismos, se obtiene una declaración dual correspondiente con respecto a la categoría opuesta C op. La dualidad, como tal, es la afirmación de que la verdad es invariante bajo esta operación sobre los enunciados. En otras palabras, si un enunciado es verdadero sobre C , entonces su enunciado dual es verdadero sobre C op . Además, si un enunciado es falso sobre C , entonces su dual tiene que ser falso sobre C op .
Dada una categoría C concreta , a menudo ocurre que la categoría opuesta C op per se es abstracta. C op no tiene por qué ser una categoría que surja de la práctica matemática. En este caso, otra categoría D también se denomina dualidad con C si D y C op son equivalentes como categorías .
En el caso de que C y su opuesto C op sean equivalentes, dicha categoría es auto-dual. [1]
Definicion formal
Definimos el lenguaje elemental de la teoría de categorías como el lenguaje de primer orden de dos tipos con objetos y morfismos como tipos distintos, junto con las relaciones de un objeto que es la fuente o el objetivo de un morfismo y un símbolo para componer dos morfismos.
Sea σ cualquier enunciado en este idioma. Formamos el dual σ op de la siguiente manera:
- Intercambie cada aparición de "fuente" en σ con "destino".
- Intercambia el orden de composición de los morfismos. Es decir, reemplace cada aparición de con
De manera informal, estas condiciones establecen que el dual de un enunciado se forma invirtiendo flechas y composiciones .
La dualidad es la observación de que σ es verdadera para alguna categoría C si y solo si σ op es verdadera para C op . [2] [3]
Ejemplos de
- Un morfismo es un monomorfismo si implica . Al realizar la operación dual, obtenemos la declaración de que implica Por un morfismo , esto es precisamente lo que significa que f sea un epimorfismo . En resumen, la propiedad de ser un monomorfismo es dual a la propiedad de ser un epimorfismo.
Aplicando dualidad, esto significa que un morfismo en alguna categoría C es un monomorfismo si y solo si el morfismo inverso en la categoría opuesta C op es un epimorfismo.
- Un ejemplo proviene de invertir la dirección de las desigualdades en un orden parcial . Entonces, si X es un conjunto y ≤ una relación de orden parcial, podemos definir una nueva relación de orden parcial ≤ nueva por
- x ≤ nueva y si y solo si y ≤ x .
Este ejemplo de órdenes es un caso especial, ya que las órdenes parciales corresponden a un cierto tipo de categoría en la que Hom ( A , B ) puede tener como máximo un elemento. En aplicaciones a la lógica, esto parece una descripción muy general de la negación (es decir, las pruebas se ejecutan en la dirección opuesta). Por ejemplo, si tomamos el opuesto de una celosía , encontraremos que las reuniones y las uniones tienen sus roles intercambiados. Ésta es una forma abstracta de las leyes de De Morgan , o de la dualidad aplicada a las celosías.
- Los límites y los colimits son nociones duales.
- Las fibraciones y cofibraciones son ejemplos de nociones duales en la topología algebraica y la teoría de la homotopía . En este contexto, la dualidad a menudo se denomina dualidad Eckmann-Hilton .
Ver también
Referencias
- ^ Jiří Adámek; J. Rosicky (1994). Categorías accesibles y presentables localmente . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 62. ISBN 978-0-521-42261-1.
- ^ Mac Lane 1978 , p. 33.
- ^ Awodey 2010 , p. 53-55.
- "Categoría dual" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- "Principio de dualidad" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- "Dualidad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático que trabaja (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York. pag. 33. ISBN 1441931236. OCLC 851741862 .
- Awodey, Steve (2010). Teoría de categorías (2ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 53–55. ISBN 978-0199237180. OCLC 740446073 .