Álgebra de categorías
En la teoría de categorías , un campo de las matemáticas , un álgebra de categorías es un álgebra asociativa , definida para cualquier categoría localmente finita y anillo conmutativo con la unidad . Las álgebras de categorías generalizan las nociones de álgebras de grupo y álgebras de incidencia , al igual que las categorías generalizan las nociones de grupos y conjuntos parcialmente ordenados .
Si la categoría dada es finita (tiene un número finito de objetos y morfismos ), entonces las siguientes dos definiciones del álgebra de categorías concuerdan.
Dado un grupo G y un anillo conmutativo R , se puede construir RG , conocido como álgebra de grupos ; es un módulo R equipado con una multiplicación. Un grupo es lo mismo que una categoría con un solo objeto en el que todos los morfismos son isomorfismos (donde los elementos del grupo corresponden a los morfismos de la categoría), por lo que la siguiente construcción generaliza la definición del álgebra de grupos de grupos a categorías arbitrarias .
Sea C una categoría y R un anillo conmutativo con unidad. Defina RC (o R [ C ]) como el módulo R libre con el conjunto de morfismos de C como base . En otras palabras, RC consiste en combinaciones lineales formales ( que son sumas finitas) de la forma , donde fi son morfismos de C y ai son elementos del anillo R . Definir una operación de multiplicación en RC de la siguiente manera, usando la operación de composición en la categoría:
donde si no se define su composición. Esto define una operación binaria en RC y, además, convierte a RC en un álgebra asociativa sobre el anillo R. Esta álgebra se llama álgebra de categorías de C.
Desde una perspectiva diferente, los elementos del módulo libre RC también podrían ser considerados como funciones de los morfismos de C a R que son finitamente soportados . Luego, la multiplicación se describe mediante una convolución : si (pensada como funcionales en los morfismos de C ), entonces su producto se define como:
