En matemáticas , una función Cauchy-continua , o Cauchy-regular , es un tipo especial de función continua entre espacios métricos (o espacios más generales). Las funciones continuas de Cauchy tienen la útil propiedad de que siempre pueden extenderse (de forma única) hasta la finalización de Cauchy de su dominio.
Definición
Deje que X e Y sean espacios métricos , y dejar que f sea una función de X a Y . Entonces f es Cauchy-continua si y solo si, dada cualquier secuencia de Cauchy ( x 1 , x 2 ,…) en X , la secuencia ( f ( x 1 ), f ( x 2 ),…) es una secuencia de Cauchy en Y .
Propiedades
Cada función uniformemente continua es también Cauchy-continua. Por el contrario, si el dominio X está totalmente acotado , entonces cada función continua de Cauchy es uniformemente continua. Más en general, incluso si X no está completamente unido, una función en X es Cauchy-continua si, y sólo si es uniformemente continua en cada subconjunto totalmente delimitada de X .
Cada función de Cauchy-continua es continua . Por el contrario, si el dominio X está completo , entonces toda función continua es de Cauchy-continua. De manera más general, incluso si X no está completo, siempre que Y esté completo, entonces cualquier función de Cauchy-continua de X a Y puede extenderse a una función continua (y por lo tanto de Cauchy-continua) definida en la terminación de Cauchy de X ; esta extensión es necesariamente única.
Combinando estos hechos, si X es compacto , entonces los mapas continuos, los mapas continuos de Cauchy y los mapas uniformemente continuos en X son todos iguales.
Ejemplos y no ejemplos
Dado que la línea real R está completa, las funciones continuas de Cauchy en R son las mismas que las continuas. En el subespacio Q de los números racionales , sin embargo, las cosas son diferentes. Por ejemplo, defina una función de dos valores para que f ( x ) sea 0 cuando x 2 sea menor que 2 pero 1 cuando x 2 sea mayor que 2. (Tenga en cuenta que x 2 nunca es igual a 2 para cualquier número racional x . ) Esta función es continua en Q pero no Cauchy-continua, ya que no se puede extender continuamente a R . Por otro lado, cualquier función uniformemente continua en Q debe ser Cauchy-continua. Para un ejemplo no uniforme en Q , sea f ( x ) 2 x ; esto no es uniformemente continuo (en todo Q ), pero es Cauchy-continuo. (Este ejemplo funciona igualmente bien en R ).
Una secuencia de Cauchy ( y 1 , y 2 ,…) en Y se puede identificar con una función de Cauchy-continua de {1, 1/2, 1/3,…} a Y , definida por f (1 / n ) = y n . Si Y está completo, entonces esto se puede extender a {1, 1/2, 1/3,…, 0}; f (0) será el límite de la secuencia de Cauchy.
Generalizaciones
La continuidad de Cauchy tiene sentido en situaciones más generales que los espacios métricos, pero luego uno debe pasar de las secuencias a las redes (o de manera equivalente a los filtros ). Se aplica la definición anterior, siempre que la secuencia de Cauchy ( x 1 , x 2 ,…) se reemplace por una red de Cauchy arbitraria . De manera equivalente, una función f es Cauchy-continua si y sólo si, dado cualquier filtro de Cauchy F en X , entonces f ( F ) es una base de filtro Cauchy en Y . Esta definición concuerda con lo anterior en espacios métricos, pero también funciona para espacios uniformes y, más generalmente, para espacios de Cauchy .
Cualquier conjunto A dirigido puede convertirse en un espacio de Cauchy. Entonces dado cualquier espacio Y , las redes de Cauchy en Y indexados por A son los mismos que las funciones de Cauchy-continuo a partir de A a Y . Si Y está completo, entonces la extensión de la función a A ∪ {∞} dará el valor del límite de la red. (Esto generaliza el ejemplo de las secuencias anteriores, donde 0 debe interpretarse como 1 / ∞).
Referencias
- Eva Lowen-Colebunders (1989). Clases de funciones de mapas continuos de Cauchy . Dekker, Nueva York.