En topología y análisis general , un espacio de Cauchy es una generalización de espacios métricos y espacios uniformes para los que la noción de convergencia de Cauchy todavía tiene sentido. Los espacios de Cauchy fueron introducidos por HH Keller en 1968, como una herramienta axiomática derivada de la idea de un filtro de Cauchy , para estudiar la completitud en los espacios topológicos . La categoría de espacios de Cauchy y mapas continuos de Cauchy es cartesiana cerrada y contiene la categoría de espacios de proximidad .
Definición
A lo largo de, es un conjunto, denota el conjunto de poder dey se supone que todos los filtros son adecuados / no degenerados (es decir, un filtro puede no contener el conjunto vacío).
Un espacio de Cauchy es un par que consta de un conjunto juntos una familia de filtros (adecuados) en que tenga todas las siguientes propiedades:
- Para cada el ultrafiltro discreto en denotado por es en .
- Si es un filtro adecuado, y es un subconjunto de luego
- Si y si cada miembro de intersecta a cada miembro de luego
Un elemento de se llama filtro de Cauchy , y un mapa entre espacios de Cauchy y es Cauchy continuo si; es decir, la imagen de cada filtro de Cauchy en es una base de filtro Cauchy en
Propiedades y definiciones
Cualquier espacio de Cauchy es también un espacio de convergencia , donde un filtro converge a Si es Cauchy. En particular, un espacio de Cauchy tiene una topología natural .
Ejemplos de
- Cualquier espacio uniforme (por lo tanto, cualquier espacio métrico , espacio vectorial topológico o grupo topológico ) es un espacio de Cauchy; consulte el filtro de Cauchy para obtener definiciones.
- Un grupo ordenado en celosía tiene una estructura de Cauchy natural.
- Cualquier conjunto dirigido se puede convertir en un espacio de Cauchy declarando un filtro ser Cauchy si, dado cualquier elemento, hay un elemento tal que es un singleton o un subconjunto de la cola Luego, dado cualquier otro espacio de Cauchy las funciones continuas de Cauchy de a son las mismas que las redes de Cauchy en indexado por Si está completa , entonces dicha función puede extenderse hasta la finalización de que puede estar escrito ; el valor de la extensión enserá el límite de la red. En el caso donde es el set de números naturales (de modo que una red de Cauchy indexada pores lo mismo que una secuencia de Cauchy ), entonces recibe la misma estructura de Cauchy que el espacio métrico
Categoría de espacios de Cauchy
La noción natural de morfismo entre espacios de Cauchy es la de función continua de Cauchy , un concepto que se había estudiado anteriormente para espacios uniformes.
Ver también
- Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos
- Espacio de convergencia : generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general.
- Filtros en topología : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
- Espacio de proximidad : una estructura que describe una noción de "proximidad" entre subconjuntos.
Referencias
- Eva Lowen-Colebunders (1989). Clases de funciones de mapas continuos de Cauchy . Dekker, Nueva York, 1989.
- Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .