En matemáticas , más específicamente en topología general y ramas relacionadas, una secuencia neta o de Moore-Smith es una generalización de la noción de secuencia . En esencia, una secuencia es una función cuyo dominio son los números naturales . El codominio de esta función suele ser algún espacio topológico .
La motivación para generalizar la noción de secuencia es que, en el contexto de la topología, las secuencias no codifican completamente toda la información sobre funciones entre espacios topológicos. En particular, las dos condiciones siguientes, en general, no son equivalentes para un mapa f entre los espacios topológicos X e Y :
- El mapa f es continuo en el sentido topológico ;
- Dado cualquier punto x en X , y cualquier secuencia en X que converja ax , la composición de f con esta secuencia converge af ( x ) (continua en el sentido secuencial) .
Si bien es necesariamente cierto que la condición 1 implica la condición 2, la implicación inversa no es necesariamente cierta si los espacios topológicos no son ambos primeros contables . En particular, las dos condiciones son equivalentes para espacios métricos .
El concepto de red, introducido por primera vez por EH Moore y Herman L. Smith en 1922, [1] es generalizar la noción de secuencia de modo que las condiciones anteriores (con "secuencia" reemplazada por "red" en la condición 2) son de hecho equivalentes para todos los mapas de espacios topológicos. En particular, en lugar de definirse en un conjunto ordenado linealmente contable , una red se define en un conjunto dirigido arbitrario . Esto permite teoremas similares a la afirmación de que las condiciones 1 y 2 anteriores son equivalentes en el contexto de espacios topológicos que no necesariamente tienen una base de vecindad contable o linealmente ordenada alrededor de un punto. Por lo tanto, mientras que las secuencias no codifican suficiente información sobre funciones entre espacios topológicos, las redes sí lo hacen, porque las colecciones de conjuntos abiertos en espacios topológicos se parecen mucho a conjuntos dirigidos en comportamiento. El término "red" fue acuñado por John L. Kelley . [2] [3]
Las redes son una de las muchas herramientas utilizadas en topología para generalizar ciertos conceptos que solo pueden ser lo suficientemente generales en el contexto de los espacios métricos . Henri Cartan desarrolló una noción relacionada, la del filtro , en 1937 .
Definiciones
Cualquier función cuyo dominio es un conjunto dirigido se llama red, donde si esta función toma valores en algún conjuntoentonces también puede denominarse red en. Los elementos del dominio de una red se denominan índices . Explícitamente, una red en es una función de la forma dónde es un conjunto dirigido . Un conjunto dirigido es un conjunto no vacío.junto con un pedido anticipado , generalmente se asume automáticamente que se denota por(a menos que se indique lo contrario), con la propiedad de que también está dirigido ( hacia arriba ) , lo que significa que para cualquier existe algo tal que y En palabras, esta propiedad significa que dados dos elementos cualesquiera (de ), siempre hay algún elemento que está "por encima" de ambos (es decir, que es mayor o igual a cada uno de ellos); de esta manera, los conjuntos dirigidos generalizan la noción de "una dirección" de una manera matemáticamente rigurosa. Los números naturales junto con la comparación de enteros habitual preorden forma el ejemplo arquetípico de un conjunto dirigido. De hecho, una red cuyo dominio son los números naturales es una secuencia porque, por definición, una secuencia en es solo una función de dentro Es así como las redes son generalizaciones de secuencias. Sin embargo, es importante destacar que, a diferencia de los números naturales, no se requiere que los conjuntos dirigidos sean órdenes totales o incluso órdenes parciales . Además, se permite que los conjuntos dirigidos tengan elementos mayores y / o elementos máximos , razón por la cual al usar redes, se recomienda precaución al usar el preorden estricto inducido. en lugar del preorden original (no estricto) ; en particular, si un conjunto dirigido tiene un elemento más grande entonces no existe ninguna tal que (en contraste, siempre existe alguna tal que ).
Las redes se denotan con frecuencia usando una notación que es similar (e inspirada) a la que se usa con las secuencias. Una red en puede ser denotado por donde, a menos que haya razones para pensar lo contrario, se debe asumir automáticamente que el conjunto es un dirigido y que su preorden asociado se denota por Sin embargo, la notación de las redes varía con algunos autores que utilizan, por ejemplo, corchetes en ángulo en lugar de paréntesis. Una red en también puede escribirse como que expresa el hecho de que esta red es una función cuyo valor en un elemento en su dominio se denota por en lugar de la notación habitual entre paréntesis que se usa típicamente con funciones (esta notación de subíndice se toma de secuencias). Como en el campo de la topología algebraica , el disco lleno o "viñeta" denota la ubicación donde los argumentos de la red (es decir, los elementosdel dominio de la red) se colocan; ayuda a enfatizar que la red es una función y también reduce el número de índices y otros símbolos que deben escribirse al referirse a ella más adelante.
Las redes se utilizan principalmente en los campos de Análisis y Topología , donde se utilizan para caracterizar muchas propiedades topológicas importantes que (en general), las secuencias son incapaces de caracterizar (esta breve aparición de secuencias motivó el estudio de espacios secuenciales y espacios de Fréchet-Urysohn ). Las redes están íntimamente relacionadas con los filtros , que también se utilizan a menudo en topología . Cada red puede estar asociada a un filtro y cada filtro puede estar asociado a una red, donde las propiedades de estos objetos asociados se cierran unidas (consulte el artículo sobre Filtros en topología para obtener más detalles). Las redes generalizan directamente secuencias y, a menudo, pueden usarse de manera muy similar a las secuencias. En consecuencia, la curva de aprendizaje para el uso de redes suele ser mucho menos pronunciada que la de los filtros, razón por la cual muchos matemáticos, especialmente los analistas , los prefieren a los filtros. Sin embargo, los filtros, y especialmente los ultrafiltros , tienen algunas ventajas técnicas importantes sobre las redes que, en última instancia, dan como resultado que las redes se encuentren con mucha menos frecuencia que los filtros fuera de los campos del análisis y la topología.
Una subred no es simplemente la restricción de una red a un subconjunto dirigido de consulte la página vinculada para obtener una definición.
Ejemplos de redes
Se dirige cada conjunto no vacío totalmente ordenado . Por lo tanto, cada función en un conjunto de este tipo es una red. En particular, los números naturales con el orden habitual forman tal conjunto, y una secuencia es una función de los números naturales, por lo que cada secuencia es una red.
Otro ejemplo importante es el siguiente. Dado un punto en un espacio topológico, dejemos denotar el conjunto de todos los barrios que contienen Luego es un conjunto dirigido, donde la dirección viene dada por inclusión inversa, de modo que si y solo si está contenido en Para dejar ser un punto en Luego es una red. Como aumenta con respecto a los puntos en la red están obligados a estar en vecindarios decrecientes de tan intuitivamente hablando, nos lleva a la idea de que debe tender hacia en algún sentido. Podemos precisar este concepto limitante.
Límites de las redes
Si es una red de un conjunto dirigido dentro y si es un subconjunto de luego se dice que eventualmente estará en(o residualmente en) si existe alguna tal que por cada con el punto Un punto se llama punto límite o límite de la red en si y solo si)
- para cada vecindario abierto de la red eventualmente está en
en cuyo caso, también se dice que esta red converge hacia / haciay tenercomo límite . Si la red converge en a un punto entonces este hecho puede expresarse escribiendo cualquiera de los siguientes:
donde si el espacio topologico está claro por el contexto, entonces las palabras "en "puede omitirse.
Si en y si este limite en es único (unicidad en significa que si es tal que entonces necesariamente ) entonces este hecho puede indicarse escribiendo
- o o
donde se usa un signo igual en lugar de la flecha [4] En un espacio de Hausdorff , cada red tiene como máximo un límite, por lo que el límite de una red convergente en un espacio de Hausdorff es siempre único. [4] En cambio, algunos autores utilizan la notación "" significar con salida también requiere que el límite sea único; sin embargo, si esta notación se define de esta manera, entonces el signo igual ya no se garantiza que denota una relación transitiva y, por lo tanto, ya no denota igualdad . Específicamente, sin el requisito de unicidad, si son distintos y si cada uno es también un límite de en luego y podría escribirse (usando el signo igual ) a pesar de que no es cierto que
Intuitivamente, la convergencia de esta red significa que los valores ven y quédate tan cerca como queramos para lo suficientemente grande La red de ejemplo dada arriba en el sistema de vecindad de un punto de hecho converge a según esta definición.
Dada una subbase para la topología en (donde tenga en cuenta que cada base para una topología es también una subbase) y dado un punto una red en converge a si y solo si eventualmente está en todos los vecindarios de Esta caracterización se extiende a las subbases de vecindad (y también a las bases de vecindad ) del punto dado Si el conjunto está dotado de la topología subespacial inducida en él por luego en si y solo si en De esta forma, la cuestión de si la red converge al punto dado Depende únicamente de este subespacio topológico. que consiste en y la imagen de (es decir, los puntos de) la red
Límites en un producto cartesiano
Una red en el espacio del producto tiene un límite si y solo si cada proyección tiene un límite.
Simbólicamente, suponga que el producto cartesiano
de los espacios está dotado de la topología del producto y que para cada índice la proyección canónica a se denota por
- y definido por
Dejar ser una red en dirigido por y para cada índice dejar
denotar el resultado de "conectar dentro ", lo que da como resultado la red A veces es útil pensar en esta definición en términos de composición de funciones : la red es igual a la composición de la red con la proyección ; es decir,
Si se da luego
- en si y solo si para cada en
- Teorema de Tychonoff y relación con el axioma de elección
Si no se da pero por cada existe algo tal que en luego la tupla definida por será un límite de en Sin embargo, podría ser necesario asumir el axioma de elección para concluir que esta tuplaexiste; el axioma de elección no es necesario en algunas situaciones, como cuando es finito o cuando cada es el límite único de la red (porque entonces no hay nada para elegir), lo que sucede, por ejemplo, cuando cada es un espacio de Hausdorff . Si es infinito y no está vacío, entonces el axioma de elección sería (en general) todavía necesario para concluir que las proyecciones son mapas sobreyectivos .
El axioma de elección es equivalente al teorema de Tychonoff , que establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto. Pero si cada espacio compacto es también Hausdorff, entonces se puede usar el llamado "teorema de Tychonoff para espacios compactos de Hausdorff", que es equivalente al lema del ultrafiltro y tan estrictamente más débil que el axioma de elección . Las redes se pueden usar para dar demostraciones breves de ambas versiones del teorema de Tychonoff usando la caracterización de la convergencia neta dada anteriormente junto con el hecho de que un espacio es compacto si y solo si cada red tiene una subred convergente .
Ultranets y puntos de racimo de una red
Dejar ser una red en basado en el set dirigido y deja ser un subconjunto de luego se dice que está frecuentemente en (o cofinalmente en ) si por cada existe algo tal que y
Un punto se dice que es un punto de acumulación o un punto de agrupación de una red si (y solo si) para cada vecindario de la red está frecuentemente en
Una red en conjunto se llama universal o ultranet si para cada subconjunto eventualmente está en o eventualmente está en Las ultraredes están estrechamente relacionadas con los ultrafiltros .
Ejemplos de límites de redes
- Límite de una secuencia y límite de una función : ver más abajo.
- Límites de redes de sumas de Riemann , en la definición de la integral de Riemann . En este ejemplo, el conjunto dirigido es el conjunto de particiones del intervalo de integración, parcialmente ordenado por inclusión.
Ejemplos de
Secuencia en un espacio topológico
Una secuencia en un espacio topológico puede considerarse una red en definido en
La red está eventualmente en un subconjunto de si existe un tal que por cada entero el punto es en
Entonces si y solo si para cada barrio de la red está eventualmente en
La red está frecuentemente en un subconjunto de si y solo si para cada existe un entero tal que es decir, si y solo si infinitos elementos de la secuencia están en Por lo tanto, un punto es un punto de agrupación de la red si y solo si cada vecindario de contiene una infinidad de elementos de la secuencia.
Funcionar de un espacio métrico a un espacio topológico
Considere una función de un espacio métrico a un espacio topológico y un punto Dirigimos el plató inversamente según la distancia desde es decir, la relación es "tiene al menos la misma distancia a como ", de modo que" suficientemente grande "con respecto a la relación significa" suficientemente cerca para ". La función es una red en definido en
La red eventualmente está en un subconjunto de si existe alguna tal que por cada con el punto es en
Entonces si y solo si para cada barrio de eventualmente está en
La red está frecuentemente en un subconjunto de si y solo si para cada existe algo con tal que es en
Un punto es un punto de agrupación de la red si y solo si para cada barrio de la red está frecuentemente en
Funciona de un conjunto bien ordenado a un espacio topológico
Considere un conjunto bien ordenado con punto límite y una función de a un espacio topológico Esta función es una red en
Eventualmente está en un subconjunto de si existe un tal que por cada el punto es en
Entonces si y solo si para cada barrio de eventualmente está en
La red está frecuentemente en un subconjunto de si y solo si para cada existe algo tal que
Un punto es un punto de agrupación de la red si y solo si para cada barrio de la red está frecuentemente en
El primer ejemplo es un caso especial de esto con
Consulte también la secuencia de índice ordinal .
Propiedades
Prácticamente todos los conceptos de topología pueden reformularse en el lenguaje de las redes y los límites. Esto puede ser útil para guiar la intuición, ya que la noción de límite de una red es muy similar a la de límite de una secuencia . El siguiente conjunto de teoremas y lemas ayuda a cimentar esa similitud:
- Un subconjunto está abierto si y solo si no hay red en converge a un punto de [5] Es esta caracterización de subconjuntos abiertos la que permite a las redes caracterizar topologías.
- Si es cualquier subconjunto entonces un punto está en el cierre de si y solo si existe una red en con limite y tal que para cada índice
- Un subconjunto está cerrado si y solo si siempre es una red con elementos en y limite en luego
- Una función entre espacios topológicos es continuo en el punto si y solo si para cada red con
- implica
- En general, este teorema no es cierto si "net" se reemplaza por "secuencia". Tenemos que permitir conjuntos dirigidos distintos de los números naturales si X no es el primer contable (o no secuencial ).
Prueba - Una sola dirección
Dejar ser continuo en el punto y deja ser una red tal que Luego, para cada vecindario abierto de su preimagen bajo es un barrio de (por la continuidad de a ). Así, el interior de que se denota por es un barrio abierto de y consecuentemente eventualmente está en Por lo tanto eventualmente está en y así también eventualmente en que es un subconjunto de Por lo tanto y esta dirección está probada.
- La otra direccion
Dejar ser un punto tal que para cada red tal que Ahora suponga que no es continuo en Entonces hay un barrio de cuya preimagen bajo no es un barrio de Porque necesariamente Ahora el conjunto de barrios abiertos de con el preorden de contención es un conjunto dirigido (ya que la intersección de cada dos de estos barrios es un barrio abierto de también).
Construimos una red tal que para cada barrio abierto de cuyo índice es es un punto en este barrio que no está en ; que siempre hay tal punto se sigue del hecho de que ninguna vecindad abierta de está incluido en (porque por supuesto, no es un barrio de ). Resulta que no está dentro
Ahora, para cada vecindario abierto de esta vecindad es un miembro del conjunto dirigido cuyo índice denotamos Para cada el miembro del conjunto dirigido cuyo índice es está contenido dentro ; por lo tanto Por lo tanto y por nuestra suposición Pero es un barrio abierto de y por lo tanto eventualmente está en y por lo tanto también en en contradicción con no estar en para cada Esta es una contradicción así que debe ser continuo en Esto completa la prueba.
- En general, una red en un espacio puede tener más de un límite, pero si es un espacio de Hausdorff , el límite de una red, si existe, es único. Por el contrario, si no es Hausdorff, entonces existe una red en con dos límites distintos. Por tanto, la unicidad del límite es equivalente a la condición de Hausdorff en el espacio y, de hecho, esto puede tomarse como definición. Este resultado depende de la condición de direccionamiento; un conjunto indexado por un preorden general o un orden parcial puede tener distintos puntos límite incluso en un espacio de Hausdorff.
- El conjunto de puntos de clúster de una red es igual al conjunto de límites de sus subredes convergentes .
Prueba Dejar ser una red en un espacio topológico (donde como de costumbre se asume automáticamente que es un conjunto dirigido) y también deja Si es un límite de una subred de luego es un punto de agrupación de Por el contrario, suponga que es un punto de agrupación de Dejar ser el conjunto de parejas dónde es un barrio abierto de en y es tal que El mapa cartografía a es entonces cofinal. Además, dandoel pedido del producto (los barrios de están ordenados por inclusión) lo convierte en un conjunto dirigido, y la red definido por converge a
- Una red tiene un límite si y solo si todas sus subredes tienen límites. En ese caso, cada límite de la red es también un límite de cada subred.
- Un espacio es compacto si y solo si cada red en tiene una subred con un límite en Esto puede verse como una generalización del teorema de Bolzano-Weierstrass y del teorema de Heine-Borel .
Prueba Primero, suponga que es compacto. Necesitaremos la siguiente observación (consulte Propiedad de intersección finita ). Dejar ser cualquier conjunto no vacío y ser una colección de subconjuntos cerrados de tal que para cada finito Luego también. De lo contrario, sería una tapa abierta para sin subcubierta finita contraria a la compacidad de Dejar ser una red en dirigido por Para cada definir
La colección tiene la propiedad de que cada subcolección finita tiene una intersección no vacía. Por lo tanto, por la observación anterior, tenemos que
y este es precisamente el conjunto de puntos de clúster de Por la propiedad anterior, es igual al conjunto de límites de subredes convergentes de Por lo tanto tiene una subred convergente.
Por el contrario, suponga que cada red en tiene una subred convergente. Por el bien de la contradicción, dejemos ser una tapa abierta de sin subcubierta finita. Considerar Observa eso es un conjunto dirigido bajo inclusión y para cada existe un tal que para todos Considere la red Esta red no puede tener una subred convergente, porque para cada existe tal que es un barrio de ; sin embargo, para todos tenemos eso Esta es una contradicción y completa la prueba.
- Si y es una ultranet en luego es una ultranet en
Redes de Cauchy
Una red de Cauchy generaliza la noción de secuencia de Cauchy a redes definidas en espacios uniformes . [6]
Una red es una red de Cauchy si por cada séquito V existe tal que para todos es un miembro de V . [6] [7] De manera más general, en un espacio de Cauchy , una redes Cauchy si el filtro generado por la red es un filtro de Cauchy .
Relación con los filtros
Un filtro es otra idea en topología que permite una definición general de convergencia en espacios topológicos generales. Las dos ideas son equivalentes en el sentido de que dan el mismo concepto de convergencia. [8] Más específicamente, para cada base de filtro se puede construir una red asociada , y la convergencia de la base de filtro implica la convergencia de la red asociada, y al revés (para cada red hay una base de filtro y la convergencia de la red implica convergencia de la base del filtro). [9] Por ejemplo, cualquier red en induce una base de filtro de colas donde el filtro en generado por esta base de filtro se denomina filtro de eventualidad de la red . Esta correspondencia permite que cualquier teorema que pueda demostrarse con un concepto se pruebe con el otro. [9] Por ejemplo, la continuidad de una función de un espacio topológico a otro puede caracterizarse por la convergencia de una red en el dominio que implica la convergencia de la red correspondiente en el codominio, o por la misma declaración con bases de filtro.
Robert G. Bartle sostiene que a pesar de su equivalencia, es útil tener ambos conceptos. [9] Argumenta que las redes son lo suficientemente como secuencias para hacer pruebas naturales y definiciones en analogía con las secuencias, especialmente aquellas que usan elementos secuenciales, como es común en el análisis , mientras que los filtros son más útiles en la topología algebraica . En cualquier caso, muestra cómo se pueden usar los dos en combinación para probar varios teoremas en topología general .
Límite superior
El límite superior y el límite inferior de una red de números reales se pueden definir de manera similar a las secuencias. [10] [11] [12] Algunos autores trabajan incluso con estructuras más generales que la línea real, como celosías completas. [13]
Por una red poner
El límite superior de una red de números reales tiene muchas propiedades análogas al caso de las sucesiones. Por ejemplo,
donde la igualdad se mantiene siempre que una de las redes sea convergente.
Ver también
- Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos
- Filtros en topología
- Hacer un pedido
- Espacio secuencial
Citas
- ^ Moore, EH ; Smith, HL (1922). "Una teoría general de los límites". Revista Estadounidense de Matemáticas . 44 (2): 102-121. doi : 10.2307 / 2370388 . JSTOR 2370388 .
- ^ ( Sundström 2010 , p. 16n)
- ^ Megginson, pág. 143
- ↑ a b Kelley , 1975 , págs. 65-72.
- ^ Howes 1995 , págs. 83-92.
- ^ a b Willard, Stephen (2012), Topología general , Dover Books on Mathematics, Publicaciones de Courier Dover, p. 260, ISBN 9780486131788.
- ^ Joshi, KD (1983), Introducción a la topología general , New Age International, p. 356, ISBN 9780852264447.
- ^ http://www.math.wichita.edu/~pparker/classes/handout/netfilt.pdf
- ^ a b c R. G. Bartle, Redes y filtros en topología, American Mathematical Monthly, vol. 62, núm. 8 (1955), págs. 551–557.
- ^ Aliprantis-Border, p. 32
- ^ Megginson, pág. 217, pág. 221, ejercicios 2.53-2.55
- ^ Cerveza, p. 2
- ↑ Schechter, Secciones 7.43–7.47
Referencias
- Sundström, Manya Raman (2010). "Una historia pedagógica de la compacidad". arXiv : 1006.4131v1 [ matemáticas.HO ].
- Aliprantis, Charalambos D .; Frontera, Kim C. (2006). Análisis dimensional infinito: Guía del autoestopista (3ª ed.). Berlín: Springer. págs. xxii, 703. ISBN 978-3-540-32696-0. Señor 2378491 .
- Beer, Gerald (1993). Topologías sobre conjuntos convexos cerrados y cerrados . Las matemáticas y sus aplicaciones 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. págs. xii, 340. ISBN 0-7923-2531-1. Señor 1269778 .
- Howes, Norman R. (23 de junio de 1995). Topología y análisis moderno . Textos de Posgrado en Matemáticas . Nueva York: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC 31969970 . OL 1272666M .
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