En matemáticas , una función f es uniformemente continua si, en términos generales, es posible garantizar que f ( x ) y f ( y ) ser tan cerca uno del otro ya que por favor por que sólo requiere que x y y ser lo suficientemente cerca el uno otro; a diferencia de ordinario continuidad , en donde la distancia máxima entre f ( x ) y f ( y ) puede depender de x y y ellos mismos.
Las funciones continuas pueden fallar en ser uniformemente continuas si no están limitadas en un dominio finito, como en (0,1), o si sus pendientes se vuelven ilimitadas en un dominio infinito, como en la línea real. Sin embargo, cualquier mapa de Lipschitz entre espacios métricos es uniformemente continuo, en particular cualquier isometría (mapa que preserva la distancia).
Aunque la continuidad ordinaria se puede definir para funciones entre espacios topológicos generales, definir una continuidad uniforme requiere más estructura. El concepto se basa en comparar los tamaños de vecindarios de puntos distintos, por lo que requiere un espacio métrico, o más generalmente, un espacio uniforme .
Definición de funciones en espacios métricos
Dados espacios métricos y , Una función se llama uniformemente continuo si para cada número real existe real tal que por cada con , tenemos eso .
Si X e Y son subconjuntos de la línea real , d 1 y d 2 pueden ser la distancia euclidiana unidimensional estándar , dando la definición: para todos existe un tal que para todos .
La diferencia entre la continuidad uniforme, versus la continuidad ordinaria en cada punto, es que en la continuidad uniforme el valor de depende solo de y no en el punto en el dominio.
Continuidad local versus continuidad uniforme global
La continuidad en sí es una propiedad local de una función, es decir, una función f es continua, o no, en un punto particular, y esto se puede determinar mirando solo los valores de la función en un vecindario (arbitrariamente pequeño) de ese punto. Cuando hablamos de que una función es continua en un intervalo , solo queremos decir que es continua en cada punto del intervalo. Por el contrario, la continuidad uniforme es una propiedad global de f , en el sentido de que la definición estándar se refiere a pares de puntos en lugar de puntos individuales. Por otro lado, es posible dar una definición que sea local en términos de la extensión natural f * (cuyas características en puntos no estándar están determinadas por las propiedades globales de f ), aunque no es posible dar una definición de continuidad uniforme para una función arbitraria de valor hiperreal, ver más abajo .
Los enunciados matemáticos de que una función es continua en un intervalo I y la definición de que una función es uniformemente continua en el mismo intervalo son estructuralmente muy similares. Por tanto, la continuidad de una función para cada punto x de un intervalo puede expresarse mediante una fórmula que comienza con la cuantificación
mientras que para una continuidad uniforme, el orden del primer, segundo y tercer cuantificadores se rota:
Por lo tanto, para la continuidad en cada punto, se toma un punto arbitrario x, y luego debe existir una distancia δ ,
mientras que para una continuidad uniforme, un solo δ debe funcionar uniformemente para todos los puntos x (e y ):
Ejemplos y contraejemplos
- Cada mapa continuo de Lipschitz entre dos espacios métricos es uniformemente continuo. En particular, cada función que es diferenciable y tiene derivada acotada es uniformemente continua. De manera más general, cada función continua de Hölder es uniformemente continua.
- A pesar de no ser diferenciable en ninguna parte, la función de Weierstrass es uniformemente continua en todas partes.
- Cada miembro de un conjunto uniformemente equicontinuo de funciones es uniformemente continuo.
- La función tangente es continua en el intervalo (- π / 2, π / 2) pero no es uniformemente continua en ese intervalo.
- La función exponencial x e x es continuo en todas partes de la línea real pero no es uniformemente continuo en la línea.
Propiedades
Toda función uniformemente continua es continua , pero la inversa no se cumple. Considere, por ejemplo, la función. Dado un número real positivo arbitrariamente pequeño, la continuidad uniforme requiere la existencia de un número positivo tal que para todos con , tenemos . Pero
y para todo lo suficientemente grande x esta cantidad es mayor que.
Cualquier función absolutamente continua es uniformemente continua. Por otro lado, la función de Cantor es uniformemente continua pero no absolutamente continua.
La imagen de un subconjunto totalmente acotado bajo una función uniformemente continua está totalmente acotada. Sin embargo, la imagen de un subconjunto acotado de un espacio métrico arbitrario bajo una función uniformemente continua no necesita ser acotada: como contraejemplo, considere la función de identidad desde los enteros dotados de la métrica discreta hasta los enteros dotados de la métrica euclidiana habitual .
El teorema de Heine-Cantor afirma que toda función continua en un conjunto compacto es uniformemente continua. En particular, si una función es continua en un intervalo acotado cerrado de la línea real, es uniformemente continua en ese intervalo. La integrabilidad de Darboux de funciones continuas se deriva casi inmediatamente de este teorema.
Si una función de valor real es continuo en y existe (y es finito), entonces es uniformemente continuo. En particular, cada elemento de, el espacio de funciones continuas en que se desvanece en el infinito, es uniformemente continuo. Esta es una generalización del teorema de Heine-Cantor mencionado anteriormente, ya que.
Visualización
Para una función uniformemente continua, hay para cada dado a tal que dos valores y tener una distancia máxima cuando sea y no difieren por más de . Así podemos dibujar alrededor de cada punto de la gráfica un rectángulo con altura y ancho de modo que el gráfico quede completamente dentro del rectángulo y no directamente arriba o abajo. Para funciones que no son uniformemente continuas, esto no es posible. El gráfico puede estar dentro del rectángulo para ciertos puntos medios en el gráfico, pero siempre hay puntos medios del rectángulo en el gráfico donde la función se encuentra por encima o por debajo del rectángulo.
Para funciones uniformemente continuas, hay para cada a tal que cuando dibujamos un rectángulo alrededor de cada punto del gráfico con ancho y altura , el gráfico se encuentra completamente dentro del rectángulo.
Para las funciones que no son uniformemente continuas, hay una tal que independientemente de la siempre hay puntos en el gráfico, cuando dibujamos un rectángulo a su alrededor, hay valores directamente encima o debajo del rectángulo. Puede haber puntos medios en los que el gráfico esté completamente dentro del rectángulo, pero esto no es cierto para todos los puntos medios.
Historia
La primera definición publicada de continuidad uniforme fue la de Heine en 1870, y en 1872 publicó una prueba de que una función continua en un intervalo abierto no necesita ser uniformemente continua. Las demostraciones son casi textualmente dadas por Dirichlet en sus conferencias sobre integrales definidas en 1854. La definición de continuidad uniforme aparece antes en el trabajo de Bolzano, donde también demostró que las funciones continuas en un intervalo abierto no necesitan ser uniformemente continuas. Además, también afirma que una función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua, pero no da una prueba completa. [1]
Otras caracterizaciones
Análisis no estándar
En el análisis no estándar , una función f de valor real de una variable real es microcontinua en un punto a precisamente si la diferencia f * ( a + δ ) - f * ( a ) es infinitesimal siempre que δ es infinitesimal. Por lo tanto f es continua en un conjunto A en R precisamente si f * es microcontinuous en cada punto real de una ∈ A . La continuidad uniforme se puede expresar como la condición de que (la extensión natural de) f sea microcontinua no solo en los puntos reales de A , sino en todos los puntos de su contraparte no estándar (extensión natural) * A en * R. Tenga en cuenta que existen funciones con valores hiperrealistas que cumplen con este criterio pero no son uniformemente continuas, así como funciones con valores hiperrealistas uniformemente continuas que no cumplen con este criterio, sin embargo, tales funciones no pueden expresarse en la forma f * para ninguna función f con valores reales . (consulte cálculo no estándar para obtener más detalles y ejemplos).
Continuidad de Cauchy
Para una función entre espacios métricos, la continuidad uniforme implica la continuidad de Cauchy ( Fitzpatrick 2006 ). Más específicamente, sea A un subconjunto de R n . Si una función f : A → R m es uniformemente continua entonces para cada par de sucesiones x n y y n tales que
tenemos
Relaciones con el problema de la extensión
Sea X un espacio métrico, S un subconjunto de X, R un espacio métrico completo yuna función continua. ¿Cuándo puede extenderse f a una función continua en todo X ?
Si S está cerrado en X , la respuesta viene dada por el teorema de extensión de Tietze : siempre. Por lo tanto, es necesario y suficiente extender f al cierre de S en X : es decir, podemos suponer sin pérdida de generalidad que S es denso en X , y esto tiene la consecuencia agradable adicional de que si la extensión existe, es única. . Una condición suficiente para que f se extienda a una función continuaes que es Cauchy-continuo , es decir, la imagen debajo de f de una secuencia de Cauchy sigue siendo Cauchy. Si X es completa (y por lo tanto la terminación de S ), entonces cada función continua desde X hasta un espacio métrico Y es Cauchy-continua. Por lo tanto, cuando X está completo, f se extiende a una función continuasi y solo si f es Cauchy-continua.
Es fácil ver que cada función uniformemente continua es Cauchy-continua y por lo tanto se extiende a X . Lo contrario no se cumple, ya que la funciónes, como se vio arriba, no uniformemente continuo, pero es continuo y, por lo tanto, dado que R es completo, Cauchy continuo. En general, para funciones definidas en espacios ilimitados como R , la continuidad uniforme es una condición bastante fuerte. Es deseable tener una condición más débil a partir de la cual deducir la extensibilidad.
Por ejemplo, suponga que a> 1 es un número real. A nivel de precálculo, la funciónse puede dar una definición precisa solo para valores racionales de x (asumiendo la existencia de q-ésimo raíces de números reales positivos, una aplicación del Teorema del Valor Intermedio). A uno le gustaría extender f a una función definida en todos los R . La identidad
muestra que f no es uniformemente continua en el conjunto Q de todos los números racionales; sin embargo, para cualquier intervalo acotado I, la restricción de f aes uniformemente continua, por lo tanto Cauchy-continua, por lo tanto, f se extiende a una función continua en I . Pero como esto es válido para todos los que , hay entonces una extensión única de f a una función continua en toda R .
De manera más general, una función continua cuya restricción a cada subconjunto acotado de S es uniformemente continua es extensible a X , y lo contrario se cumple si X es localmente compacto .
Una aplicación típica de la extensibilidad de una función uniformemente continua es la prueba de la fórmula de transformación inversa de Fourier . Primero probamos que la fórmula es cierta para las funciones de prueba, hay densamente muchas de ellas. Luego, extendemos el mapa inverso a todo el espacio utilizando el hecho de que el mapa lineal es continuo; por lo tanto, uniformemente continuo.
Generalización a espacios vectoriales topológicos
En el caso especial de dos espacios vectoriales topológicos y , la noción de continuidad uniforme de un mapa se convierte en: para cualquier barrio de cero en , existe un barrio de cero en tal que implica
Para transformaciones lineales , la continuidad uniforme equivale a la continuidad. Este hecho se utiliza con frecuencia de forma implícita en el análisis funcional para ampliar un mapa lineal de un subespacio denso de un espacio de Banach .
Generalización a espacios uniformes
Así como el escenario más natural y general para la continuidad son los espacios topológicos , el escenario más natural y general para el estudio de la continuidad uniforme son los espacios uniformes . Una función f : X → Y entre espacios uniformes se llama uniformemente continua si para cada entorno V en Y existe un entorno U en X tal que para cada ( x 1 , x 2 ) en U tenemos ( f ( x 1 ), f ( x 2 )) en V .
En este contexto, también es cierto que los mapas uniformemente continuos transforman las secuencias de Cauchy en secuencias de Cauchy.
Cada espacio compacto de Hausdorff posee exactamente una estructura uniforme compatible con la topología. Una consecuencia es una generalización del teorema de Heine-Cantor: cada función continua desde un espacio compacto de Hausdorff a un espacio uniforme es uniformemente continua.
Referencias
- ^ Rusnock y Kerr-Lawson 2005 .
Otras lecturas
- Bourbaki, Nicolas . Topología general: Capítulos 1–4 [ Topologie Générale ]. ISBN 0-387-19374-X. El Capítulo II es una referencia completa de espacios uniformes.
- Dieudonné, Jean (1960). Fundamentos del análisis moderno . Prensa académica.
- Fitzpatrick, Patrick (2006). Cálculo avanzado . Brooks / Cole. ISBN 0-534-92612-6.
- Kelley, John L. (1955). Topología general . Textos de Posgrado en Matemáticas. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
- Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Continuidad uniforme" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-054235-8.
- Rusnock, P .; Kerr-Lawson, A. (2005), "Bolzano y continuidad uniforme", Historia Mathematica , 32 (3): 303–311, doi : 10.1016 / j.hm.2004.11.003