En cálculo , la fórmula de cuadratura de Cavalieri , llamada así por el matemático italiano del siglo XVII Bonaventura Cavalieri , es la integral
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y generalizaciones de los mismos. Ésta es la forma integral definida ; la forma integral indefinida es:
Hay formularios adicionales , que se enumeran a continuación. Junto con la linealidad de la integral, esta fórmula permite calcular las integrales de todos los polinomios.
El término " cuadratura " es un término tradicional para el área ; la integral se interpreta geométricamente como el área bajo la curva y = x n . Los casos tradicionalmente importantes son y = x 2 , la cuadratura de la parábola , conocida en la antigüedad, e y = 1 / x , la cuadratura de la hipérbola, cuyo valor es un logaritmo .
Formularios
N negativo
Para valores negativos de n (potencias negativas de x ), hay una singularidad en x = 0 y, por lo tanto, la integral definida se basa en 1, en lugar de 0, lo que produce:
Además, para valores fraccionarios negativos (no enteros) de n, la potencia x n no está bien definida , por lo que la integral indefinida solo se define para x positivo . Sin embargo, para n un entero negativo, la potencia x n se define para todas las x distintas de cero , y las integrales indefinidas y las integrales definidas están definidas, y se pueden calcular mediante un argumento de simetría, reemplazando x por - x, y basando el definido negativo integral en -1.
Sobre los números complejos, la integral definida (para valores negativos de n y x ) se puede definir mediante la integración de contorno , pero luego depende de la elección de la ruta, específicamente el número de bobinado : el problema geométrico es que la función define un espacio de cobertura con una singularidad 0.
n = −1
También existe el caso excepcional n = −1, que produce un logaritmo en lugar de una potencia de x:
(donde "ln" significa el logaritmo natural , es decir, el logaritmo en base e = 2,71828 ...).
La integral impropia a menudo se extiende a valores negativos de x mediante la elección convencional:
Note el uso del valor absoluto en la integral indefinida; esto es para proporcionar una forma unificada para la integral, y significa que la integral de esta función impar es una función par, aunque el logaritmo solo se define para entradas positivas y, de hecho, se pueden elegir diferentes valores constantes de C en cada lado de 0, ya que estos no cambian la derivada. La forma más general es así: [1]
Sobre los números complejos no hay una antiderivada global para 1 / x , debido a que esta función define un espacio de cobertura no trivial ; esta forma es especial para los números reales.
Tenga en cuenta que la integral definida que comienza desde 1 no está definida para valores negativos de a, ya que pasa a través de una singularidad, aunque como 1 / x es una función impar , se puede basar la integral definida para potencias negativas en -1. Si uno está dispuesto a usar integrales impropias y calcular el valor principal de Cauchy , se obtiene que también se puede argumentar por simetría (ya que el logaritmo es impar), por lo que por lo que no hay diferencia si la integral definida se basa en 1 o -1. Al igual que con la integral indefinida, esto es especial para los números reales y no se extiende a los números complejos.
Formas alternativas
La integral también se puede escribir con índices desplazados, lo que simplifica el resultado y hace que la relación con la diferenciación n- dimensional y el n- cubo sea más clara:
De manera más general, estas fórmulas se pueden dar como:
- Más generalmente:
Prueba
La prueba moderna es usar una antiderivada: se muestra que la derivada de x n es nx n −1 - para enteros no negativos. Esto se muestra a partir de la fórmula binomial y la definición de la derivada , y por lo tanto, según el teorema fundamental del cálculo, la antiderivada es la integral. Este método falla paraya que la antiderivada candidata es, que no está definido debido a la división por cero. La función de logaritmo , que es la antiderivada real de 1 / x , debe introducirse y examinarse por separado.
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integración de esta imagen - apilando las caras - geometriza el teorema fundamental del cálculo, produciendo una descomposición de la n -cube en n pirámides, que es una prueba geométrica de la fórmula de cuadratura de Cavalieri.
Para enteros positivos, esta prueba se puede geometrizar: [2] si se considera la cantidad x n como el volumen del n -cubo (el hipercubo en n dimensiones), entonces la derivada es el cambio en el volumen cuando la longitud del lado es cambiado - esto es x n −1 , que se puede interpretar como el área de n caras, cada una de dimensión n - 1 (fijando un vértice en el origen, estas son las n caras que no tocan el vértice), correspondiente al aumento del cubo de tamaño al crecer en la dirección de estas caras; en el caso tridimensional, agregando 3 cuadrados infinitesimalmente delgados, uno a cada una de estas caras. Por el contrario, la geometrización del teorema fundamental del cálculo, apilando estos cubos infinitesimales ( n - 1) produce una (hiper) -pirámide, y n de estas pirámides forman el n -cube, que produce la fórmula. Además, existe una simetría cíclica n- veces del n -cube alrededor de la diagonal que cicla estas pirámides (para las cuales una pirámide es un dominio fundamental ). En el caso del cubo (3-cube), así es como originalmente se estableció rigurosamente el volumen de una pirámide: el cubo tiene simetría triple, con dominio fundamental una pirámide, dividiendo el cubo en 3 pirámides, correspondiente al hecho que el volumen de una pirámide es un tercio de la base por la altura. Esto ilustra geométricamente la equivalencia entre la cuadratura de la parábola y el volumen de una pirámide, que se calcularon clásicamente por diferentes medios.
Existen pruebas alternativas: por ejemplo, Fermat calculó el área mediante un truco algebraico de dividir el dominio en ciertos intervalos de longitud desigual; [3] alternativamente, se puede probar esto reconociendo una simetría del gráfico y = x n bajo dilatación no homogénea (por d en la dirección xy d n en la dirección y , algebraizar las n dimensiones de la dirección y ), [4 ] o derivar la fórmula para todos los valores enteros expandiendo el resultado para n = −1 y comparando coeficientes. [5]
Historia
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En ( Laubenbacher & Pengelley 1998 , Capítulo 3, Análisis: Cálculo de áreas y volúmenes) se ofrece una discusión detallada de la historia, con fuentes originales . ; ver también historia del cálculo e historia de la integración .
El caso de la parábola fue probado en la antigüedad por el antiguo matemático griego Arquímedes en su Cuadratura de la parábola (siglo III aC), mediante el método del agotamiento . Es de destacar que Arquímedes calculó el área dentro de una parábola - un llamado "segmento parabólico" - en lugar del área debajo del gráfico y = x 2 , que es en cambio la perspectiva de la geometría cartesiana . Estos son cálculos equivalentes, pero reflejan una diferencia de perspectiva. Los antiguos griegos, entre otros, también calcularon el volumen de una pirámide o cono , que es matemáticamente equivalente.
En el siglo XI, el matemático islámico Ibn al-Haytham (conocido como Alhazen en Europa) calculó las integrales de cúbicos y cuárticos (grados tres y cuatro) mediante inducción matemática , en su Libro de Óptica . [6]
El caso de los números enteros superiores fue calculado por Cavalieri para n hasta 9, utilizando su método de indivisibles ( principio de Cavalieri ). [7] Los interpretó como integrales superiores como el cálculo de volúmenes de dimensiones superiores, aunque sólo de manera informal, ya que los objetos de dimensiones superiores aún no eran familiares. [8] Este método de cuadratura fue luego extendido por el matemático italiano Evangelista Torricelli a otras curvas como la cicloide , luego la fórmula fue generalizada a potencias fraccionarias y negativas por el matemático inglés John Wallis , en su Arithmetica Infinitorum (1656), que también estandarizó la noción y notación de poderes racionales - aunque Wallis interpretó incorrectamente el caso excepcional n = −1 (cuadratura de la hipérbola) - antes de finalmente ser puesta en terreno riguroso con el desarrollo del cálculo integral .
Antes de la formalización de Wallis de poderes fraccionarios y negativos, que permitían funciones explícitasestas curvas se manejaron implícitamente, a través de las ecuaciones y ( P y q siempre números enteros positivos) y se refiere, respectivamente, como mayor parabolae y superior hipérbolas (o "parábolas superiores" y "hipérbolas mayores"). Pierre de Fermat también calculó estas áreas (excepto en el caso excepcional de -1) mediante un truco algebraico: calculó la cuadratura de las hipérbolas superiores dividiendo la línea en intervalos iguales, y luego calculó la cuadratura de las parábolas superiores utilizando un división en intervalos desiguales , presumiblemente invirtiendo las divisiones que usó para las hipérbolas. [9] Sin embargo, como en el resto de su trabajo, las técnicas de Fermat fueron más trucos ad hoc que tratamientos sistemáticos, y no se considera que haya jugado un papel significativo en el desarrollo posterior del cálculo.
Es de destacar que Cavalieri solo comparó áreas con áreas y volúmenes con volúmenes, que siempre tienen dimensiones, mientras que la noción de considerar un área como que consta de unidades de área (en relación con una unidad estándar), por lo tanto, sin unidades, parece haberse originado con Wallis; [10] [11] Wallis estudió potencias fraccionarias y negativas, y la alternativa para tratar los valores calculados como números sin unidades era interpretar dimensiones fraccionarias y negativas.
El caso excepcional de -1 (la hipérbola estándar) fue tratado con éxito por primera vez por Grégoire de Saint-Vincent en su Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni (1647), aunque un tratamiento formal tuvo que esperar el desarrollo del logaritmo natural , que fue realizado por Nicholas Mercator en su Logarithmotechnia (1668).
Referencias
- ^ " Encuesta a los lectores: log | x | + C ", Tom Leinster, The n -category Café , 19 de marzo de 2012
- ↑ ( Barth 2004 ), ( Carter y Champanerkar 2006 )
- ^ Ver Rickey.
- ↑ ( Wildberger, 2002 )
- ↑ ( Bradley, 2003 )
- ^ Victor J. Katz (1995), "Ideas de cálculo en el Islam y la India", Revista de matemáticas 68 (3): 163-174 [165-9 y 173-4]
- ^ ( Struik 1986 , págs. 215-216)
- ^ ( Laubenbacher y Pengelley 1998 ) - Ver la sinopsis pedagógica informal del capítulo Análisis para una forma breve
- ^ Ver la referencia de Rickey para discusión y más referencias.
- ↑ Ball, 281
- ↑ Britannica, 171
Historia
- Cavalieri, Geometria indivisibilibus (continuorum nova quadam ratione promota) (Geometría, expuesta de una manera nueva con la ayuda de indivisibles del continuo), 1635.
- Cavalieri, Exercitationes Geometricae Sex ("Seis ejercicios geométricos"), 1647
- en Dirk Jan Struik , editor, Un libro de consulta en matemáticas, 1200–1800 (Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1986). ISBN 0-691-08404-1 , ISBN 0-691-02397-2 (pbk).
- Expediciones matemáticas: crónicas de los exploradores, Reinhard Laubenbacher, David Pengelley, 1998, Sección 3.4: "Cavalieri calcula áreas de parábolas superiores", págs. 123-127 / 128
- Un breve relato de la historia de las matemáticas, Walter William Rouse Ball, "Cavalieri", p. 278–281
- " Cálculo infinitesimal ", Enciclopedia de Matemáticas
- La Guía Británica de Análisis y Cálculo, por Educational Britannica Educational, p. 171 - analiza a Wallace principalmente
Pruebas
- Wildberger, Nueva Jersey (2002). "Una nueva prueba de la fórmula de cuadratura de Cavalieri". The American Mathematical Monthly . 109 (9): 843–845. doi : 10.2307 / 3072373 . JSTOR 3072373 .
- Bradley, David M. (mayo de 2003). "Comentario sobre la fórmula de cuadratura de Cavalieri". The American Mathematical Monthly . 110 (5): 437. arXiv : matemáticas / 0505059 . Bibcode : 2005math ...... 5059B , apareció impreso al final de los ceros de la función Zeta alternante en la línea R (S) = 1CS1 maint: posdata ( enlace )
- Barth, NR (2004). "Calcular la fórmula de cuadratura de Cavalieri por una simetría del n-cubo". The American Mathematical Monthly . 111 (9): 811–813. doi : 10.2307 / 4145193 . JSTOR 4145193 .
- Carter, J. Scott; Champanerkar, Abhijit (2006). "Un método geométrico para calcular algunas integrales elementales". arXiv : matemáticas / 0608722 .
- Malik, MA (1984) "A Note on Cavalieri Integration", Mathematics Magazine 57 (3): 154–6 doi : 10.2307 / 2689662
- V. Frederick Rickey (2011) La integración de poderes de Fermat ", en Notas históricas para profesores de cálculo
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Fórmula de cuadratura de Cavalieri" . MathWorld .
- Integración Cavalieri
- DJ Struik, A Source Book in Mathematics, 1200-1800 , p. 214