En matemáticas, el concepto de mapeo residuo surge en la teoría de conjuntos parcialmente ordenados . Refina el concepto de función monótona .
Si A , B son posets , una función f : A → B se define como monótona si conserva el orden: es decir, si x ≤ y implica f ( x ) ≤ f ( y ). Esto es equivalente a la condición de que la imagen inversa bajo f de cada down-conjunto de B es un down-conjunto de A . Definimos un subconjunto principal como uno de la forma ↓ { b } = { b '∈ B : b '≤ b }. En general, la preimagen bajo f de un down-set principal no necesita ser un down-set principal. Si es así, f se llama residuada .
La noción de mapa residuo se puede generalizar a un operador binario (o cualquier aridad superior ) a través de la residuación de componentes. Este enfoque da lugar a nociones de división izquierda y derecha en un magma parcialmente ordenado , dotándolo además de una estructura de cuasigrupo . (Se habla sólo de álgebra residual para aridades superiores). Un mapa residuo binario (o superior) no suele residir como un mapa unario. [1]
Definición
Si A , B son Posets, una función f : A → B se residuated si y sólo si la imagen inversa bajo f de cada director down-conjunto de B es un principal abajo-conjunto de A .
Consecuencias
Con A , B posets, el conjunto de funciones A → B se puede ordenar por el orden puntual f ≤ g ↔ (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ).
Se puede demostrar que f está residuated si y sólo si existe una (necesariamente único) función monótona f + : B → A tal que f o f + ≤ ID B y f + o f ≥ ID A , donde id es la identidad función . La función f + es el residuo de f . Una función residual y su residuo forman una conexión de Galois bajo la (más reciente) definición monótona de ese concepto, y para cada conexión (monótona) de Galois, el adjunto inferior es residuo y el residual es el adjunto superior. [2] Por lo tanto, las nociones de conexión de Galois monótona y mapeo residuo coinciden esencialmente.
Además, tenemos f -1 (↓ { b }) = ↓ { f + ( b )}.
Si B ° denota el orden dual (poset opuesto) a B, entonces f : A → B es un mapeo residuado si y solo si existe una f * tal que f : A → B ° yf * : B ° → A forman una Conexión de Galois bajo la definición antitono original de esta noción.
Si f : A → B y g : B → C se asignaciones residuated, entonces también lo es la composición de la función fg : A → C , con residual ( fg ) + = g + f + . Las conexiones antitono de Galois no comparten esta propiedad.
El conjunto de transformaciones monótonas (funciones) sobre un poset es un monoide ordenado con el orden puntual, y también lo es el conjunto de transformaciones residuales. [3]
Ejemplos de
- La función de techo desde R a Z (con el orden habitual en cada caso) se residuated, con el mapeo residual la incrustación natural de Z en R .
- La incrustación de Z en R también es residual. Su residuo es la función del suelo. .
Operadores binarios residuales
Si •: P × Q → R es un mapa binario y P , Q y R son posets, entonces se puede definir el componente de residuación para las traslaciones izquierda y derecha, es decir, multiplicación por un elemento fijo. Para un elemento x en P, defina x λ ( y ) = x • y , y para x en Q defina λ x ( y ) = y • x . Entonces se dice que • está residual si y sólo si x λ y λ x son residuales para todo x (en P y respectivamente Q ). La división izquierda (y respectivamente derecha) se define tomando los residuos de las traslaciones izquierda (y respectivamente derecha): x \ y = ( x λ) + ( y ) y x / y = (λ x ) + ( y )
Por ejemplo, todo grupo ordenado es residuo y la división definida por lo anterior coincide con la noción de división en un grupo . Un ejemplo menos trivial es el conjunto Mat n ( B ) de matrices cuadradas sobre un álgebra booleana B , donde las matrices están ordenadas puntualmente . El orden puntual dota a Mat n ( B ) de encuentros puntuales, uniones y complementos. La multiplicación de matrices se define de la manera habitual, siendo el "producto" una combinación y la "suma" una combinación. Se puede mostrar [4] que X \ Y = ( Y t X ')' y X / Y = ( X ' Y t )', donde X ' es el complemento de X e Y t es la matriz transpuesta ).
Ver también
Notas
Referencias
- JC Derderian, "Conexiones de Galois y álgebras de pares", Canadian J. Math. 21 (1969) 498-501.
- Jonathan S. Golan, Semirings y ecuaciones afines sobre ellos: teoría y aplicaciones , Kluwer Academic , 2003, ISBN 1-4020-1358-2 . Página 49.
- TS Blyth, "Asignaciones residuales", Orden 1 (1984) 187-204.
- TS Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures , Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5 . Página 7.
- TS Blyth, MF Janowitz, Teoría de la residuación , Pergamon Press , 1972, ISBN 0-08-016408-0 . Página 9.
- M. Erné, J. Koslowski, A. Melton, GE Strecker, Introducción a las conexiones de Galois , en: Actas de la Conferencia de verano de 1991 sobre topología general y aplicaciones en honor a Mary Ellen Rudin y su trabajo, Anales de la Academia de Nueva York of Sciences, vol. 704, 1993, págs. 103-125. Disponible en línea en varios formatos de archivo: PS.GZ PS
- Klaus Denecke, Marcel Erné, Shelly L. Wismath, conexiones y aplicaciones de Galois , Springer, 2004, ISBN 1402018975
- Galatos, Nikolaos, Peter Jipsen, Tomasz Kowalski e Hiroakira Ono (2007), Rejillas residuales. Un vistazo algebraico a la lógica subestructural , Elsevier, ISBN 978-0-444-52141-5 .