En matemáticas , una proyección es un mapeo de un conjunto (u otra estructura matemática ) en un subconjunto (o subestructura), que es igual a su cuadrado para mapear la composición (o, en otras palabras, que es idempotente ). La restricción a un subespacio de una proyección también se llama proyección., incluso si se pierde la propiedad de idempotencia. Un ejemplo cotidiano de proyección es la proyección de sombras sobre un plano (hoja de papel). La proyección de un punto es su sombra sobre la hoja de papel. La sombra de un punto en la hoja de papel es este punto en sí (idempotencia). La sombra de una esfera tridimensional es un disco cerrado. Originalmente, la noción de proyección se introdujo en la geometría euclidiana para denotar la proyección del espacio euclidiano de tres dimensiones sobre un plano en él, como el ejemplo de la sombra. Las dos principales proyecciones de este tipo son:
- La proyección de un punto a un plano o proyección central : si C es un punto, llamado centro de proyección , entonces la proyección de un punto P diferente de C sobre un plano que no contiene C es la intersección de la línea CP con el avión. Los puntos P tales que la línea CP es paralela al plano no tienen ninguna imagen por la proyección, pero a menudo se dice que se proyectan a un punto en el infinito del plano (ver geometría proyectiva para una formalización de esta terminología). La proyección del punto C en sí no está definida.
- La proyección paralela a una dirección D, sobre un plano o proyección paralela : La imagen de un punto P es la intersección con el plano de la línea paralela a D que pasa por P . Consulte Espacio afín § Proyección para obtener una definición precisa, generalizada a cualquier dimensión.
El concepto de proyección en matemáticas es muy antiguo, probablemente tiene sus raíces en el fenómeno de las sombras proyectadas por los objetos del mundo real en el suelo. Esta idea rudimentaria fue refinada y abstraída, primero en un contexto geométrico y luego en otras ramas de las matemáticas. Con el tiempo se desarrollaron diferentes versiones del concepto, pero hoy, en un marco suficientemente abstracto, podemos unificar estas variaciones.
En cartografía , una proyección de mapa es un mapa de una parte de la superficie de la Tierra en un plano, que, en algunos casos, pero no siempre, es la restricción de una proyección en el significado anterior. Las proyecciones 3D también están en la base de la teoría de la perspectiva .
La necesidad de unificar los dos tipos de proyecciones y de definir la imagen mediante una proyección central de cualquier punto diferente del centro de proyección está en el origen de la geometría proyectiva . Sin embargo, una transformación proyectiva es una biyección de un espacio proyectivo, una propiedad que no comparte con las proyecciones de este artículo.
Definición
En un escenario abstracto, generalmente podemos decir que una proyección es un mapeo de un conjunto (o de una estructura matemática ) que es idempotente , lo que significa que una proyección es igual a su composición consigo misma. Una proyección también puede referirse a un mapeo que tiene una inversa a la derecha. Ambas nociones están fuertemente relacionadas, como sigue. Deje que p sea un idempotente mapa de un conjunto A en sí mismo (por lo tanto p ∘ p = p ) y B = p ( A ) sea la imagen de p . Si denotamos por π el mapa p visto como un mapa de A sobre B y por i la inyección de B en A (de modo que p = i ∘ π ), entonces tenemos π ∘ i = Id B (de modo que π tiene un inversa a la derecha). Por el contrario, si π tiene una inversa derecha, entonces π ∘ i = Id B implica que i ∘ π es idempotente.
Aplicaciones
La noción original de proyección se ha extendido o generalizado a diversas situaciones matemáticas, frecuentemente, pero no siempre, relacionadas con la geometría, por ejemplo:
- En teoría de conjuntos :
- Una operación tipificada por el j- ésimo mapa de proyección , escrito proj j , que toma un elemento x = ( x 1 ,…, x j ,…, x k ) del producto cartesiano X 1 × ⋯ × X j × ⋯ × X k al valor proj j ( x ) = x j . Este mapa es siempre sobreyectivo .
- Un mapeo que lleva un elemento a su clase de equivalencia bajo una relación de equivalencia dada se conoce como proyección canónica .
- El mapa de evaluación envía una función f al valor f ( x ) para una x fija . El espacio de funciones Y X se puede identificar con el producto cartesiano, y el mapa de evaluación es un mapa de proyección del producto cartesiano.
- Para bases de datos relacionales y lenguajes de consulta , la proyección es una operación unaria escrita como dónde es un conjunto de nombres de atributos. El resultado de dicha proyección se define como el conjunto que se obtiene cuando todas las tuplas en R están restringidas al conjunto. R es una relación de base de datos .
- En geometría esférica , Ptolomeo (~ 150) utilizó la proyección de una esfera sobre un plano en su Planisphaerium . El método se llama proyección estereográfica y utiliza un plano tangente a una esfera y un polo C diametralmente opuesto al punto de tangencia. Cualquier punto P sobre la esfera además de C determina una línea de CP de intersección del plano en el punto proyectado para P . La correspondencia hace que la esfera sea una compactificación de un punto para el plano cuando se incluye un punto en el infinito para corresponder a C , que de otra manera no tiene proyección en el plano. Un ejemplo común es el plano complejo donde la compactificación corresponde a la esfera de Riemann . Alternativamente, un hemisferio se proyecta con frecuencia sobre un plano utilizando la proyección gnomónica .
- En álgebra lineal , una transformación lineal que permanece sin cambios si se aplica dos veces ( p ( u ) = p ( p ( u ))), en otras palabras, un operador idempotente . Por ejemplo, el mapeo que lleva un punto ( x , y , z ) en tres dimensiones al punto ( x , y , 0) en el plano es una proyección. Este tipo de proyección se generaliza naturalmente a cualquier número de dimensiones n para la fuente y k ≤ n para el destino del mapeo. Ver proyección ortogonal , proyección (álgebra lineal) . En el caso de las proyecciones ortogonales, el espacio admite una descomposición como producto, y el operador de proyección es una proyección también en ese sentido.
- En topología diferencial , cualquier haz de fibras incluye un mapa de proyección como parte de su definición. Localmente, al menos, este mapa parece un mapa de proyección en el sentido de la topología del producto y, por lo tanto, es abierto y sobreyectivo.
- En topología , una retracción es un mapa continuo r : X → X que se restringe al mapa de identidad en su imagen. Esto satisface una condición de idempotencia similar r 2 = r y puede considerarse una generalización del mapa de proyección. La imagen de una retracción se denomina retracción del espacio original. Una retracción que es homotópica a la identidad se conoce como retracción por deformación . Este término también se usa en la teoría de categorías para referirse a cualquier epimorfismo dividido.
- La proyección escalar (o resuelta) de un vector sobre otro.
- En la teoría de categorías , la noción anterior de producto cartesiano de conjuntos se puede generalizar a categorías arbitrarias . El producto de algunos objetos tiene un morfismo de proyección canónica para cada factor. Esta proyección tomará muchas formas en diferentes categorías. La proyección desde el producto cartesiano de conjuntos , la topología de producto de espacios topológicos (que siempre es sobreyectiva y abierta ), o desde el producto directo de grupos , etc. Aunque estos morfismos son a menudo epimorfismos e incluso sobreyectivos, no tienen por qué ser .
Otras lecturas
- Thomas Craig (1882) Tratado sobre proyecciones de la colección histórica de matemáticas de la Universidad de Michigan .