En álgebra abstracta , el centro de un grupo , G , es el conjunto de elementos que se desplazan con cada elemento de G . Se denota Z ( G ) , del alemán Zentrum , que significa centro . En notación de constructor de conjuntos ,
El centro es un subgrupo normal , Z ( G ) ⊲ G . Como subgrupo, siempre es característico , pero no necesariamente del todo característico . El grupo del cociente , G / Z ( G ) , es isomorfo al grupo de automorfismo interno , Inn ( G ) .
Un grupo G es abeliano si y sólo si Z ( G ) = G . En el otro extremo, se dice que un grupo no tiene centro si Z ( G ) es trivial ; es decir, consta únicamente del elemento de identidad .
Además, el centro de G es siempre un subgrupo normal de G . Dado que todos los elementos de Z ( G ) se conmutan, se cierra bajo conjugación .
Por definición, el centro es el conjunto de elementos para los cuales la clase de conjugación de cada elemento es el elemento mismo; es decir, Cl ( g ) = { g } .
El centro es también la intersección de todos los centralizadores de cada elemento de G . Como los centralizadores son subgrupos, esto nuevamente muestra que el centro es un subgrupo.