En matemáticas , la constante de Champernowne C 10 es una constante real trascendental cuya expansión decimal tiene propiedades importantes. Lleva el nombre del economista y matemático DG Champernowne , quien lo publicó como estudiante en 1933. [1]
Para base 10 , el número se define concatenando representaciones de números enteros sucesivos:
Las constantes de Champernowne también se pueden construir en otras bases, de manera similar, por ejemplo:
- C 2 = 0,11011100101110111… 2
- C 3 = 0,12101112202122… 3 .
Las constantes de Champernowne se pueden expresar exactamente como series infinitas :
Eric W. Weisstein ( MathWorld ) da una expresión ligeramente diferente :
dónde suelo() .
Palabras y secuencias
La palabra Champernowne o palabra Barbier es la secuencia de dígitos de C 10 , obtenida escribiendo n en base 10 y yuxtaponiendo los dígitos: [3] [4]
De manera más general, una secuencia de Champernowne (a veces también llamada palabra Champernowne ) es cualquier secuencia de dígitos obtenida mediante la concatenación de todas las cadenas de dígitos finitas (en cualquier base dada) en algún orden recursivo. [5] Por ejemplo, la secuencia binaria de Champernowne en orden shortlex es
donde se han insertado espacios (de lo contrario, se ignorarán) solo para mostrar las cadenas que se concatenan.
Normalidad
Se dice que un número real x es normal si sus dígitos en cada base siguen una distribución uniforme: todos los dígitos son igualmente probables, todos los pares de dígitos son igualmente probables, todos los tripletes de dígitos son igualmente probables, etc. Se dice que x es normal en base b si sus dígitos en la base b siguen una distribución uniforme.
Si denotamos una cadena de dígitos como [ a 0 , a 1 ,…], entonces, en base 10, esperaríamos que las cadenas [0], [1], [2],…, [9] ocurran 1/10 de el tiempo, cadenas [0,0], [0,1],…, [9,8], [9,9] para ocurrir 1/100 del tiempo, y así sucesivamente, en un número normal.
Champernowne demostró que es normal en base 10, [1] mientras que Nakai y Shiokawa demostraron un teorema más general, un corolario del cual es que es normal en la base para cualquier b . [6] Es un problema abierto si es normal en bases .
También es una secuencia disyuntiva .
Expansión continua de la fracción
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/1/12/Champernowne_constant.svg/177px-Champernowne_constant.svg.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/5/55/Champernowne_constant_logscale.svg/172px-Champernowne_constant_logscale.svg.png)
También se ha estudiado la expansión de fracción continua simple de la constante de Champernowne. Kurt Mahler demostró que la constante es trascendental ; [7] por lo tanto, su fracción continua no termina (porque no es racional ) y es aperiódica (porque no es un cuadrático irreductible).
Los términos en la expansión continua de la fracción exhiben un comportamiento muy errático, con términos extremadamente grandes que aparecen entre muchos pequeños. Por ejemplo, en base 10,
- C 10 = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, ...]. (secuencia A030167 en la OEIS )
El número grande en la posición 18 tiene 166 dígitos y el siguiente término muy grande en la posición 40 de la fracción continua tiene 2504 dígitos. El hecho de que haya números tan grandes como términos de la expansión fraccionaria continua es equivalente a decir que los convergentes obtenidos al detenerse antes de estos números grandes proporcionan una aproximación excepcionalmente buena de la constante de Champernowne.
Puede entenderse a partir de la expresión de series infinitas de : para un especificado siempre podemos aproximar la suma sobre estableciendo el límite superior en en vez de . Entonces ignoramos los términos para mayor. Es decir, tal que la ecuación
, dónde , se convierte en
Donde el segundo término también se puede escribir como
Por ejemplo, si mantenemos el orden más bajo de , equivale a truncar antes del 4o cociente parcial, obtenemos la suma parcial
que se aproxima a la constante de Champernowne con un error de aproximadamente 1 × 10 −9 . Mientras se trunca justo antes del cociente parcial 18, usando, obtenemos la aproximación al segundo orden:
que se aproxima a la constante de Champernowne con un error de aproximadamente 9 × 10 −190 .
El primer y segundo términos incrementalmente más grandes ("marcas de agua alta") después del cero inicial son 8 y 9, respectivamente, y ocurren en las posiciones 1 y 2. Sikora (2012) notó que el número de dígitos en las marcas de agua alta comenzando con la cuarta muestra un patrón aparente. [8] De hecho, las marcas de agua alta crecen de manera doble-exponencial, y el número de dígitosen el n º marca para están:
- 6, 166, 25 04, 33 102 , 41 1 100 , 49 11 098 , 57 111 096 , 65 1111 094 , 73 11 111 092 , ...
cuyo patrón se vuelve obvio a partir de la sexta marca de la marea alta. El número de términos puede venir dado por:
Sin embargo, aún se desconoce si existe o no una manera de determinar dónde ocurren los términos grandes (con al menos 6 dígitos) o sus valores. Sin embargo, las propias marcas de pleamar están ubicadas en las siguientes posiciones:
- 1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062, ...
Medida de irracionalidad
La medida de la irracionalidad de es , y más en general para cualquier base . [9]
Ver también
- Constante de Copeland-Erd , un número normal similar, definido usando los números primos
- La constante de Liouville , otra constante definida por su representación decimal
- Número de Smarandache-Wellin , otro número obtenido mediante la concatenación de una representación en una base determinada.
Referencias
- ↑ a b Champernowne, 1933
- ^ John K. Sikora: Análisis de los convergentes de la marca de agua alta de la constante de Champernowne en varias bases , en: arXiv: 1408.0261, 1 de agosto de 2014, ver Definición 9
- ^ Cassaigne y Nicolas (2010) p.165
- ^ * Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Secuencias automáticas: teoría, aplicaciones, generalizaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 299. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015 .
- ^ Calude, C .; Priese, L .; Staiger, L. (1997), Secuencias disyuntivas: una descripción general , Universidad de Auckland, Nueva Zelanda, págs. 1-35, CiteSeerX 10.1.1.34.1370
- ^ Nakai y Shiokawa 1992
- ↑ K. Mahler, Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen , Proc. Konin. Neder. Akad. Mojado. Ser. 40 (1937), pág. 421–428.
- ^ Sikora, JK "Sobre los convergentes de la marca de agua alta de la constante de Champernowne en base diez". 3 de octubre de 2012. http://arxiv.org/abs/1210.1263
- ^ Masaaki Amou , Aproximación a ciertas fracciones decimales trascendentales por números algebraicos , Journal of Number Theory , Volumen 37, Número 2, febrero de 1991, páginas 231–241
- Cassaigne, J .; Nicolás, F. (2010). "Factor de complejidad". En Berthé, Valérie ; Rigo, Michel (eds.). Combinatoria, autómatas y teoría de números . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. 135 . Cambridge: Cambridge University Press . págs. 163–247. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1216.68204 .
- Champernowne, DG (1933), "La construcción de decimales normales en la escala de diez", Journal of the London Mathematical Society , 8 (4): 254-260, doi : 10.1112 / jlms / s1-8.4.254.
- Nakai, Y .; Shiokawa, I. (1992), "Estimaciones de discrepancia para una clase de números normales", Acta Arithmetica , 62 (3): 271–284, doi : 10.4064 / aa-62-3-271-284.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Constante de Champernowne" . MathWorld .