La constante de Copeland-Erdős es la concatenación de "0". con las representaciones de base 10 de los números primos en orden. Su valor, utilizando la definición moderna de primo, [1] es aproximadamente
La constante es irracional ; esto se puede demostrar con el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas o el postulado de Bertrand (Hardy y Wright, p. 113) o el teorema de Ramare de que todo entero par es una suma de seis primos como máximo. También se sigue directamente de su normalidad (ver más abajo).
Por un argumento similar, cualquier constante creada concatenando "0". con todos los primos en una progresión aritmética dn + un , donde una es primos entre sí a d y a 10, será irracional; por ejemplo, primos de la forma 4 n + 1 o 8 n + 1. Según el teorema de Dirichlet, la progresión aritmética dn · 10 m + a contiene primos para todos m , y esos primos también están en cd + a , por lo que los primos concatenados contienen secuencias arbitrariamente largas del dígito cero.
En base 10, la constante es un número normal , hecho probado por Arthur Herbert Copeland y Paul Erdős en 1946 (de ahí el nombre de la constante). [2]
La constante está dada por
donde p n es el n- ésimo número primo .
Su fracción continua es [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1,…] ( OEIS : A030168 ).
Constantes relacionadas
La prueba de Copeland y Erds de que su constante es normal se basa únicamente en el hecho de que es estrictamente creciente y, dónde es el n- ésimo número primo. De manera más general, sies cualquier secuencia estrictamente creciente de números naturales tal que y es cualquier número natural mayor o igual a 2, entonces la constante obtenida al concatenar "0". con la base - representaciones de la es normal en la base . Por ejemplo, la secuenciasatisface estas condiciones, por lo que la constante 0.003712192634435363748597110122136… es normal en base 10, y 0.003101525354661104… 7 es normal en base 7.
En cualquier base b dada, el número
que se puede escribir en base b como 0.0110101000101000101… b donde el n- ésimo dígito es 1 si y solo si n es primo, es irracional. [3]
Ver también
- Números de Smarandache-Wellin : el valor truncado de esta constante multiplicado por la potencia apropiada de 10.
- Constante de Champernowne : concatenación de todos los números naturales, no solo de los primos.
Referencias
- ^ Copeland y Erdős consideraron 1 un primo, y definieron la constante como 0.12357111317…
- ^ Copeland y Erdős 1946
- ^ Hardy y Wright 1979 , p. 112
Fuentes
- Copeland, AH ; Erdős, P. (1946), "Note on Normal Numbers", Bulletin of the American Mathematical Society , 52 (10): 857–860, doi : 10.1090 / S0002-9904-1946-08657-7.
- Hardy, GH ; Wright, EM (1979) [1938], Introducción a la teoría de los números (5ª ed.), Oxford University Press, ISBN 0-19-853171-0.