En la teoría del caos y la dinámica de fluidos , la mezcla caótica es un proceso mediante el cual los trazadores de flujo se convierten en fractales complejos bajo la acción de un flujo de fluidos . El flujo se caracteriza por un crecimiento exponencial de filamentos fluidos. [1] [2] Incluso los flujos muy simples, como el vórtice parpadeante , o los campos de viento de resolución finita pueden generar patrones excepcionalmente complejos a partir de campos trazadores inicialmente simples. [3]
El fenómeno aún no se comprende bien y es objeto de muchas investigaciones actuales.
Contexto de advección caótica
Flujos de fluidos
Dos mecanismos básicos son los responsables de la mezcla de fluidos : difusión y advección . En líquidos , la difusión molecular por sí sola es poco eficaz para mezclar. La advección, que es el transporte de materia por un flujo, es necesaria para una mejor mezcla.
El flujo de fluido obedece a ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos (como la conservación de la masa y la conservación del momento) llamadas ecuaciones de Navier-Stokes . Estas ecuaciones están escritas para el campo de velocidad euleriano en lugar de para la posición lagrangiana de las partículas de fluido. Las trayectorias lagrangianas se obtienen luego integrando el flujo. Estudiar el efecto de la advección en la mezcla de fluidos equivale a describir cómo las diferentes partículas de fluido de Lagrange exploran el dominio de los fluidos y se separan entre sí.
Condiciones para la advección caótica
Un flujo de fluido puede considerarse como un sistema dinámico, es decir, un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias que determina la evolución de una trayectoria lagrangiana . Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de advección :
dónde son los componentes del campo de velocidad, que se supone que se conocen a partir de la solución de las ecuaciones que gobiernan el flujo de fluidos, como las ecuaciones de Navier-Stokes , yes la posición física. Si el sistema dinámico que gobierna las trayectorias es caótico , la integración de una trayectoria es extremadamente sensible a las condiciones iniciales y los puntos vecinos se separan exponencialmente con el tiempo. Este fenómeno se llama advección caótica .
Los sistemas dinámicos y la teoría del caos establecen que al menos 3 grados de libertad son necesarios para que un sistema dinámico sea caótico. Los flujos tridimensionales tienen tres grados de libertad correspondientes a las tres coordenadas, y generalmente resultan en advección caótica, excepto cuando el flujo tiene simetrías que reducen el número de grados de libertad. En flujos con menos de 3 grados de libertad, las trayectorias lagrangianas se limitan a tubos cerrados, y la mezcla inducida por cizallamiento solo puede proceder dentro de estos tubos.
Este es el caso de los flujos estacionarios 2-D en los que solo hay dos grados de libertad y . Para los flujos estacionarios (independientes del tiempo), las trayectorias lagrangianas de las partículas de fluido coinciden con las líneas de corriente del flujo, que son isolíneas de la función de la corriente . En 2-D, las líneas de corriente son curvas concéntricas cerradas que se cruzan solo en los puntos de estancamiento . Por lo tanto, una mancha de fluido teñido para mezclar solo puede explorar la región delimitada por la línea de corriente más externa e interna, sobre la que se encuentra en el momento inicial. En cuanto a las aplicaciones prácticas, esta configuración no es muy satisfactoria.
Para flujos 2-D no estacionarios (dependientes del tiempo) , las líneas de corriente cerradas instantáneas y las trayectorias lagrangianas ya no coinciden. Por lo tanto, las trayectorias de Lagrange exploran un volumen mayor del volumen, lo que resulta en una mejor mezcla. La advección caótica se observa en la mayoría de los flujos no estacionarios bidimensionales. Un ejemplo famoso es el flujo de vórtice parpadeante introducido por Aref, [4] donde dos agitadores fijos en forma de varilla giran alternativamente dentro del fluido. El cambio periódico del agitador activo (giratorio) introduce una dependencia del tiempo en el flujo, lo que da como resultado una advección caótica. Por lo tanto, las trayectorias lagrangianas pueden escapar de líneas de corriente cerradas y visitar una gran fracción del dominio de los fluidos.
Cortar
Un flujo promueve la mezcla al separar las partículas de fluido vecinas. Esta separación se produce debido a los gradientes de velocidad , un fenómeno llamado cizallamiento . Dejar y ser dos partículas de fluido vecinas, separadas por en el momento t . Cuando las partículas son advecidas por un flujo, en el momento la separación aproximada entre las partículas se puede encontrar mediante la expansión de Taylor :
por eso
y
Por tanto, la tasa de crecimiento de la separación viene dada por el gradiente del campo de velocidad en la dirección de la separación. El flujo de cizallamiento plano es un ejemplo simple de flujo estacionario a gran escala que deforma los elementos fluidos debido a un cizallamiento uniforme.
Caracterización de la advección caótica
Exponentes de Lyapunov
Si el flujo es caótico , entonces pequeños errores iniciales,, en una trayectoria divergerá exponencialmente. Estamos interesados en calcular la estabilidad, es decir, ¿qué tan rápido divergen las trayectorias cercanas? La matriz de Jacobi del campo de velocidad,, proporciona información sobre la tasa local de divergencia de trayectorias cercanas o la tasa local de estiramiento del espacio lagrangiano .
Definimos la matriz H tal que:
donde yo es la matriz de identidad. Resulta que:
Los exponentes de Lyapunov de tiempo finito se definen como el promedio de tiempo de los logaritmos de las longitudes de los componentes principales del vector H durante un tiempo t:
dónde es el i- ésimo exponente de Lyapunov del sistema, mientras quees el i ésimo componente principal de la matriz H .
Si comenzamos con un conjunto de vectores de error iniciales ortonormales, entonces la matriz H los mapeará a un conjunto de vectores de error ortogonal finales de longitud. La acción del sistema mapea una esfera infinitesimal de puntos iniciales a un elipsoide cuyo eje mayor está dado por el mientras que el eje menor está dado por , donde N es el número de dimensiones. [5] [6]
Esta definición de exponentes de Lyapunov es más elegante y más apropiada para los sistemas dinámicos de tiempo continuo del mundo real que la definición más habitual basada en mapas de funciones discretas. El caos se define como la existencia de al menos un exponente de Lyapunov positivo.
En un sistema caótico , llamamos al exponente de Lyapunov el valor asintótico del mayor valor propio de H :
Si hay alguna diferencia significativa entre los exponentes de Lyapunov, a medida que un vector de error evoluciona hacia adelante en el tiempo, cualquier desplazamiento en la dirección de mayor crecimiento tenderá a magnificarse. Por lo tanto:
El exponente de Lyapunov de un flujo es una cantidad única, que caracteriza la separación asintótica de partículas de fluido en un flujo dado. A menudo se usa como una medida de la eficiencia de la mezcla, ya que mide qué tan rápido se separan las trayectorias entre sí debido a la advección caótica. El exponente de Lyapunov se puede calcular mediante diferentes métodos:
- siguiendo una sola trayectoria durante mucho tiempo y calculando .
- o siguiendo un conjunto de trayectorias durante un período de tiempo determinado y calculando el promedio del conjunto:
La equivalencia de los dos métodos se debe a la ergodicidad del sistema caótico.
Crecimiento de filamentos versus evolución del gradiente del trazador
La siguiente ecuación exacta se puede derivar de una ecuación de advección-difusión (ver más abajo), con un término de difusión ( D = 0 ) de cero:
En paralelo con la definición del exponente de Lyapunov, definimos la matriz , como sigue:
Es fácil demostrar que:
Si definimos como las longitudes cuadradas de los componentes principales de la matriz de gradiente del trazador, , luego:
donde el están ordenados, como antes, de mayor a menor. Por lo tanto, el crecimiento del vector de error provocará una disminución correspondiente en el gradiente del trazador y viceversa. Esto se puede entender de manera muy simple e intuitiva considerando dos puntos cercanos: dado que la diferencia en la concentración del trazador será fija, la única fuente de variación en los gradientes entre ellos será su separación. [5] [7]
Advección de contorno
La advección de contorno es otro método útil para caracterizar la mezcla caótica. En flujos caóticos, los contornos advecidos crecerán exponencialmente con el tiempo. La figura anterior muestra la evolución fotograma a fotograma de un contorno adventado durante varios días. La figura de la derecha muestra la longitud de este contorno en función del tiempo.
El vínculo entre el crecimiento exponencial del contorno y los exponentes positivos de Lyapunov es fácil de ver. La tasa de crecimiento del contorno se da como:
dónde es el camino y la integral se realiza a lo largo del contorno. Las tasas de crecimiento de las curvas de nivel se aproximarán al promedio de los grandes exponentes de Lyapunov: [5]
Secciones de poincaré
En la advección caótica, una partícula de fluido viaja dentro de una gran región y encuentra otras partículas que inicialmente estaban lejos de ella. Entonces se puede considerar que una partícula se mezcla con partículas que viajan dentro de la misma región. Sin embargo, la región cubierta por una trayectoria no siempre abarca todo el dominio de los fluidos. Las secciones de Poincaré se utilizan para distinguir regiones de buena y mala mezcla.
El mapa de Poincaré se define como la transformación
transforma una partícula puntual en la posición de la partícula después de un intervalo de tiempo T. Especialmente, para un flujo periódico de tiempo con período T, aplicar el mapa varias veces a una partícula da las posiciones sucesivas de la partícula período tras período. Una sección de Poincaré se construye partiendo de unas pocas condiciones iniciales diferentes y trazando las iteraciones correspondientes. Esto se reduce a trazar las trayectorias estroboscópicas de cada T.
A modo de ejemplo, la figura que se presenta aquí (parte izquierda) muestra la sección de Poincaré obtenida cuando se aplica periódicamente un movimiento en forma de ocho a una varilla mezcladora circular. Algunas trayectorias abarcan una gran región: esta es la región caótica o de mezcla, donde se produce una buena mezcla. Sin embargo, también hay dos "agujeros": en estas regiones, las trayectorias están cerradas. Se denominan islas elípticas, ya que las trayectorias en el interior son curvas elípticas. Estas regiones no se mezclan con el resto del fluido. Para aplicaciones de mezcla, las islas elípticas deben evitarse por dos razones:
- Las partículas de fluido no pueden cruzar los límites de las islas (excepto por difusión lenta), lo que resulta en segregación.
- Mezclar dentro de estas regiones no es eficiente porque las trayectorias están cerradas y, por lo tanto, no son caóticas.
Evitar islas no caóticas requiere comprender el origen físico de estas regiones. En general, cambiar la geometría del flujo puede modificar la presencia o ausencia de islas. En el flujo en forma de ocho, por ejemplo, para una barra muy delgada, la influencia de la barra no se siente lejos de su ubicación, y existen trayectorias casi circulares dentro de los bucles de la figura en ocho. Con una varilla más grande (parte derecha de la figura), las partículas pueden escapar de estos bucles y las islas ya no existen, lo que resulta en una mejor mezcla.
Con una sección de Poincaré, la calidad de mezcla de un flujo se puede analizar distinguiendo entre regiones caóticas y elípticas. Sin embargo, esta es una medida burda del proceso de mezcla, ya que las propiedades de estiramiento no se pueden inferir de este método de mapeo. Sin embargo, esta técnica es muy útil para estudiar la mezcla de flujos periódicos y puede extenderse a un dominio 3-D.
Dimensión fractal
A través de un proceso continuo de estiramiento y plegado, muy parecido a un " mapa de panadero ", los trazadores advecidos en flujos caóticos se convertirán en fractales complejos. La dimensión fractal de un solo contorno estará entre 1 y 2. El crecimiento exponencial asegura que el contorno, en el límite de la integración de tiempo muy largo, se vuelve fractal. Los fractales compuestos por una sola curva son infinitamente largos y cuando se forman iterativamente, tienen una tasa de crecimiento exponencial, al igual que un contorno advectado. El copo de nieve de Koch , por ejemplo, crece a una tasa de 4/3 por iteración.
La siguiente figura muestra la dimensión fractal de un contorno advectado en función del tiempo, medido de cuatro formas diferentes. Un buen método para medir la dimensión fractal de un contorno advectado es el exponente de incertidumbre .
Evolución de los campos de concentración de trazadores en advección caótica
En la mezcla de fluidos, a menudo se desea homogeneizar una especie, que se puede caracterizar por su campo de concentración q . A menudo, la especie puede considerarse como un trazador pasivo que no modifica el flujo. La especie puede ser, por ejemplo, un tinte para mezclar. La evolución de un campo de concentraciónobedece a la ecuación de advección-difusión , también llamada ecuación de convección-difusión :
En comparación con la ecuación de difusión simple, el término proporcional al campo de velocidad representa el efecto de la advección.
Al mezclar una mancha de trazador, el término de advección domina la evolución del campo de concentración al comienzo del proceso de mezcla. La advección caótica transforma la mancha en un haz de filamentos delgados. El ancho de un filamento de tinte disminuye exponencialmente con el tiempo, hasta que se alcanza una escala de equilibrio, en la que el efecto de difusión comienza a ser significativo. Esta escala se llama escala Batchelor . Se define como la raíz cuadrada de la relación entre el coeficiente de difusión y el exponente de Lyapunov.
dónde es el exponente de Lyapunov y D es el coeficiente de difusión. Esta escala mide el equilibrio entre el estiramiento y la difusión sobre la evolución del campo de concentración: el estiramiento tiende a disminuir el ancho de un filamento, mientras que la difusión tiende a aumentarlo. La escala Batchelor es la escala de longitud más pequeña que se puede observar en el campo de concentración, ya que la difusión borra rápidamente cualquier detalle más fino.
Cuando la mayoría de los filamentos de tinte alcanzan la escala de Batchelor, la difusión comienza a disminuir significativamente el contraste de concentración entre el filamento y el dominio circundante. El momento en el que un filamento alcanza la escala Batchelor se denomina tiempo de mezcla. La resolución de la ecuación de advección-difusión muestra que después del tiempo de mezcla de un filamento, la disminución de la fluctuación de concentración debido a la difusión es exponencial, lo que resulta en una rápida homogeneización con el fluido circundante.
Historia de la advección caótica
El nacimiento de la teoría de la advección caótica se remonta generalmente a un artículo de 1984 [4] de Hassan Aref . En este trabajo, Aref estudió la mezcla inducida por dos vórtices que se encienden y apagan alternativamente dentro de un fluido no viscoso . Este trabajo fundamental había sido posible gracias a desarrollos anteriores en los campos de los sistemas dinámicos y la mecánica de fluidos en las décadas anteriores. Vladimir Arnold [8] y Michel Hénon [9] ya habían notado que las trayectorias advetadas por flujos tridimensionales que preservan áreas pueden ser caóticas. Sin embargo, el interés práctico de la advección caótica para aplicaciones de mezcla de fluidos pasó desapercibido hasta el trabajo de Aref en los años 80. Desde entonces, todo el conjunto de herramientas de los sistemas dinámicos y la teoría del caos se ha utilizado para caracterizar la mezcla de fluidos por advección caótica. [1] Trabajos recientes han empleado, por ejemplo, métodos topológicos para caracterizar el estiramiento de partículas fluidas. [10] Otras líneas de investigación recientes se refieren al estudio de la advección caótica en flujos complejos, como los flujos granulares. [11]
Referencias
- ↑ a b J. M. Ottino (1989). La cinemática de la mezcla: estiramiento, caos y transporte . Prensa de la Universidad de Cambridge .
- ^ Aref, Hassan; Blake, John R .; Budišić, Marko; Cardoso, Silvana SS; Cartwright, Julyan HE; Clercx, Herman JH; El Omari, Kamal; Feudel, Ulrike; Golestán, Ramin (14 de junio de 2017). "Fronteras de la advección caótica". Reseñas de Física Moderna . 89 (2): 025007. arXiv : 1403.2953 . Código bibliográfico : 2017RvMP ... 89b5007A . doi : 10.1103 / RevModPhys.89.025007 .
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- ^ a b c d Peter Mills (2004). Siguiendo el rastro de vapor: un estudio de la mezcla caótica de vapor de agua en la troposfera superior (PDF) (Tesis). Universidad de Bremen. Archivado desde el original (PDF) el 21 de julio de 2011 . Consultado el 16 de diciembre de 2010 .
- ^ Edward Ott (1993). Caos en sistemas dinámicos . Prensa de la Universidad de Cambridge.
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enlaces externos
- ctraj : Herramientas para estudiar la advección caótica.