Trayectoria (mecánica de fluidos)

En mecánica de fluidos , meteorología y oceanografía , una trayectoria traza el movimiento de un solo punto, a menudo llamado parcela , en el flujo.

Las trayectorias son útiles para rastrear contaminantes atmosféricos, como columnas de humo, y como componentes de simulaciones lagrangianas , como advección de contorno o esquemas semilagrangianos .

Supongamos que tenemos un campo de flujo variable en el tiempo, . El movimiento de una parcela de fluido, o trayectoria, viene dado por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias :${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},~t)}$

${\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {v}}({\vec {x}},~t)}$

Si bien la ecuación parece simple, existen al menos tres preocupaciones al intentar resolverla numéricamente . El primero es el esquema de integración . Este es típicamente un Runge-Kutta , ^[1] aunque otros también pueden ser útiles, como un salto de rana . El segundo es el método para determinar el vector de velocidad, en una posición dada , y en el tiempo t . Normalmente, no se conoce en todas las posiciones y momentos, por lo que se requiere algún método de interpolación . Si las velocidades están cuadriculadas en el espacio y el tiempo, entonces la interpolación lineal bilineal , trilineal o de mayor dimensión es apropiada.${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$La interpolación bicúbica , tricúbica , etc. también se usa, pero probablemente no valga la pena la sobrecarga computacional adicional .

Los campos de velocidad se pueden determinar midiendo, por ejemplo, a partir de globos meteorológicos , a partir de modelos numéricos o especialmente a partir de una combinación de los dos, por ejemplo, modelos de asimilación .

La preocupación final son las correcciones métricas. Estos son necesarios para los flujos de fluidos geofísicos en una Tierra esférica. Las ecuaciones diferenciales para trazar una trayectoria atmosférica bidimensional en coordenadas longitud-latitud son las siguientes:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {u}{r\cos \phi }}}$

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {v}{r}}}$

donde y son, respectivamente, la longitud y la latitud en radianes , r es el radio de la Tierra , u es el viento zonal y v es el viento meridional.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

Un problema con esta formulación es la singularidad polar: observe cómo el denominador en la primera ecuación llega a cero cuando la latitud es de 90 grados, más o menos. Una forma de superar esto es utilizar un sistema de coordenadas cartesiano local cerca de los polos. Otra es realizar la integración en un par de proyecciones equidistantes azimutales, una para el hemisferio norte y otra para el hemisferio sur. ^[2]

Las trayectorias pueden validarse mediante globos en la atmósfera y boyas en el océano .

enlaces externos

• ctraj : un integrador de trayectoria escrito en C ++.

Referencias

1. Prensa de William H.; Brian P. Flannery; Saul A. Teukolsky; William T. Vetterling (1992). Recetas numéricas en C: el arte de la informática científica (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.
2. Molinos, Peter (2012). "Análisis de trazador de proxy de componente principal". arXiv : 1202.1999 [ física.ao-ph ].