En matemáticas , específicamente en teoría de números , los caracteres de Dirichlet son ciertas funciones aritméticas que surgen de caracteres completamente multiplicativos en las unidades de. Caracteres de Dirichlet se utilizan para definir Dirichlet L -Funciones , que son funciones meromorfas con una variedad de propiedades analíticas interesantes.
Si es un personaje de Dirichlet, se define su serie L de Dirichlet por
donde s es un número complejo con parte real > 1. Mediante la continuación analítica , esta función puede extenderse a una función meromórfica en todo el plano complejo . Las funciones L de Dirichlet son generalizaciones de la función zeta de Riemann y aparecen de manera prominente en la hipótesis de Riemann generalizada .
Los personajes de Dirichlet se nombran en honor a Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Más tarde, Erich Hecke los generalizó a los personajes de Hecke (también conocidos como Grössencharacter).
Definición axiomática
Decimos que una función de los enteros a los números complejos es un carácter de Dirichlet si tiene las siguientes propiedades: [1]
- Existe un entero positivo k tal que χ ( n ) = χ ( n + k ) para todos los enteros n .
- Si el máximo común divisor mcd ( n , k ) es mayor que 1, entonces χ ( n ) = 0; si mcd ( n , k ) = 1 entonces χ ( n ) ≠ 0.
- χ ( mn ) = χ ( m ) χ ( n ) para todos los números enteros m y n .
De esta definición, se pueden deducir varias otras propiedades. Por propiedad 3, χ (1) = χ (1 × 1) = χ (1) χ (1). Dado que mcd (1, k ) = 1, la propiedad 2 dice χ (1) ≠ 0, entonces
- χ (1) = 1.
Las propiedades 3 y 4 muestran que cada carácter de Dirichlet χ es completamente multiplicativo .
La propiedad 1 dice que un carácter es periódico con período k ; Nosotros decimos esoes un carácter del módulo k . Esto es equivalente a decir que
- Si a ≡ b (mod k ) entonces χ ( a ) = χ ( b ).
Si mcd ( a , k ) = 1, el teorema de Euler dice que a φ ( k ) ≡ 1 (mod k ) (donde φ ( k ) es la función totient ). Por lo tanto, por las propiedades 5 y 4, χ ( a φ ( k ) ) = χ (1) = 1, y por 3, χ ( a φ ( k ) ) = χ ( a ) φ ( k ) . Entonces
- Para todo un primo relativo a k , χ ( a ) es una φ ( k ) -ésima raíz compleja de la unidad , es decirpara algún entero 0 ≤ r <φ ( k ).
Un carácter se llama principal (o trivial ) si asume el valor 1 para argumentos coprime a su módulo y en caso contrario es 0. [2] Un carácter se llama real si todos sus valores son reales (es decir, χ ( n ) es 0, 1, o -1 para todo n ). Un carácter real no principal también se llama cuadrático . Un personaje que no es real se llama complejo . [3]
El signo del personajedepende de su valor en -1. Específicamente,se dice que es extraño sie incluso si.
Construcción mediante clases de residuos
Los caracteres de Dirichlet pueden verse en términos del grupo de caracteres del grupo de unidades del anillo Z / k Z , como caracteres de clase de residuo extendido . [4]
Clases de residuos
Dado un número entero k , se define la clase de residuo de un número entero n como el conjunto de todos los números enteros congruente con n modulo k : Es decir, la clase de residuo es la clase lateral de n en el anillo cociente Z / k Z .
El conjunto de unidades módulo k forma un grupo abeliano de orden, donde la multiplicación de grupos viene dada por y nuevamente denota la función phi de Euler . La identidad en este grupo es la clase de residuos. y la inversa de es la clase de residuo dónde , es decir, . Por ejemplo, para k = 6, el conjunto de unidades es porque 0, 2, 3 y 4 no son coprimos de 6.
El grupo de caracteres de ( Z / k ) * consta de los caracteres de la clase de residuo . Un carácter de clase de residuo θ en ( Z / k ) * es primitivo si no hay un divisor propio d de k tal que θ se factoriza como un mapa ( Z / k ) * → ( Z / d ) * → C * , donde el primer La flecha es el mapa natural de "modding d ". [5]
Personajes de Dirichlet
La definición de un carácter de Dirichlet módulo k asegura que se restringe a un carácter del grupo unitario módulo k : [6] un homomorfismo de grupode ( Z / k Z ) * a los números complejos distintos de cero
- ,
con valores que son necesariamente raíces de unidad ya que las unidades módulo k forman un grupo finito. En la dirección opuesta, dado un homomorfismo de grupoen el grupo unitario módulo k , podemos elevar a una función completamente multiplicativa en enteros primos relativamente a k y luego extender esta función a todos los enteros definiéndola como 0 en enteros que tienen un factor no trivial en común con k . La función resultante será entonces un carácter de Dirichlet. [7]
El personaje principal módulo k tiene las propiedades [7]
- si mcd ( n , k ) = 1 y
- si mcd ( n , k )> 1.
El carácter asociado del grupo multiplicativo ( Z / k Z ) * es el carácter principal que siempre toma el valor 1. [8]
Cuando k es 1, el carácter principal módulo k es igual a 1 en todos los números enteros. Para k mayor que 1, el carácter principal módulo k desaparece en enteros que tienen un factor común no trivial con k y es 1 en otros enteros.
Hay φ ( n ) caracteres de Dirichlet módulo n . [7]
Definiciones equivalentes
Hay varias formas de definir caracteres de Dirichlet, basadas en otras propiedades que satisfacen estas funciones.
Condición de Sárközy [9]
Un carácter de Dirichlet es una función completamente multiplicativa que satisface una relación de recurrencia lineal : es decir, si
para todo entero positivo , dónde no son todos cero y son distintos entonces es un personaje de Dirichlet.
Condición de Chudakov
Un carácter de Dirichlet es una función completamente multiplicativa satisfaciendo las siguientes tres propiedades: a) toma solo un número finito de valores; B)desaparece en sólo un número finito de números primos; c) hay un para lo cual el resto
está uniformemente acotado, como . Esta definición equivalente de los caracteres de Dirichlet fue conjeturada por Chudakov [10] en 1956, y probada en 2017 por Klurman y Mangerel. [11]
Algunas tablas de caracteres
Las tablas siguientes ayudan a ilustrar la naturaleza de un personaje de Dirichlet. Presentan todos los caracteres desde el módulo 1 al módulo 12. Los caracteres χ 0 son los caracteres principales.
Módulo 1
Hay carácter módulo 1:
χ \ n 0 1
Tenga en cuenta que χ está totalmente determinado por χ (0) ya que 0 genera el grupo de unidades módulo 1.
La serie L de Dirichlet paraes la función zeta de Riemann
- .
Módulo 2
Hay carácter módulo 2:
χ \ n 0 1 0 1
Tenga en cuenta que χ está totalmente determinado por χ (1) ya que 1 genera el grupo de unidades módulo 2.
La serie L de Dirichlet paraes la función lambda de Dirichlet (estrechamente relacionada con la función eta de Dirichlet )
Módulo 3
Existen caracteres módulo 3:
χ \ n 0 1 2 0 1 1 0 1 −1
Tenga en cuenta que χ está totalmente determinado por χ (2) ya que 2 genera el grupo de unidades módulo 3.
Módulo 4
Existen caracteres módulo 4:
χ \ n 0 1 2 3 0 1 0 1 0 1 0 −1
Tenga en cuenta que χ está totalmente determinado por χ (3) ya que 3 genera el grupo de unidades módulo 4.
La serie L de Dirichlet paraes la función lambda de Dirichlet (estrechamente relacionada con la función eta de Dirichlet )
dónde es la función zeta de Riemann. La serie L paraes la función beta de Dirichlet
Módulo 5
Existen caracteres módulo 5. En la siguiente tabla, i es la unidad imaginaria .
χ \ n 0 1 2 3 4 0 1 1 1 1 0 1 I - i −1 0 1 −1 −1 1 0 1 - i I −1
Tenga en cuenta que χ está totalmente determinado por χ (2) o χ (3) ya que 2 genera el grupo de unidades módulo 5 y también lo hace 3.
Módulo 6
Existen caracteres módulo 6:
χ \ n 0 1 2 3 4 5 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 −1
Tenga en cuenta que χ está totalmente determinado por χ (5) ya que 5 genera el grupo de unidades módulo 6.
Módulo 7
Existen caracteres módulo 7. En la siguiente tabla,
χ \ n 0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 ω 2 ω −ω −ω 2 −1 0 1 −ω ω 2 ω 2 −ω 1 0 1 1 −1 1 −1 −1 0 1 ω 2 −ω −ω ω 2 1 0 1 −ω −ω 2 ω 2 ω −1
Tenga en cuenta que χ está totalmente determinado por χ (3) ya que 3 genera el grupo de unidades módulo 7.
Módulo 8
Existen caracteres módulo 8.
χ \ n 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 −1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 −1 0 1
Tenga en cuenta que χ está totalmente determinado por χ (3) y χ (5) ya que 3 y 5 generan el grupo de unidades módulo 8.
Módulo 9
Existen caracteres módulo 9. En la siguiente tabla,
χ \ n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 ω 0 ω 2 −ω 2 0 −ω −1 0 1 ω 2 0 −ω −ω 0 ω 2 1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −ω 0 ω 2 ω 2 0 −ω 1 0 1 −ω 2 0 −ω ω 0 ω 2 −1
Tenga en cuenta que χ está totalmente determinado por χ (2) ya que 2 genera el grupo de unidades módulo 9.
Módulo 10
Existen caracteres módulo 10. En la siguiente tabla, i es la unidad imaginaria .
χ \ n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 I 0 0 0 - i 0 −1 0 1 0 −1 0 0 0 −1 0 1 0 1 0 - i 0 0 0 I 0 −1
Tenga en cuenta que χ está totalmente determinado por χ (3) ya que 3 genera el grupo de unidades módulo 10.
Módulo 11
Existen caracteres módulo 11. En la siguiente tabla,
χ \ n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 ω ω 3 ω 2 ω 4 ω 4 ω 2 ω 3 ω 1 0 1 ω 2 ω ω 4 ω 3 ω 3 ω 4 ω ω 2 1 0 1 ω 3 ω 4 ω ω 2 ω 2 ω ω 4 ω 3 1 0 1 ω 4 ω 2 ω 3 ω ω ω 3 ω 2 ω 4 1 0 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 0 1 −ω ω 3 ω 2 ω 4 −ω 4 −ω 2 −ω 3 ω −1 0 1 −ω 2 ω ω 4 ω 3 −ω 3 −ω 4 −ω ω 2 −1 0 1 −ω 3 ω 4 ω ω 2 −ω 2 −ω −ω 4 ω 3 −1 0 1 −ω 4 ω 2 ω 3 ω −ω −ω 3 −ω 2 ω 4 −1
Tenga en cuenta que χ está totalmente determinado por χ (2) ya que 2 genera el grupo de unidades módulo 11.
Módulo 12
Existen caracteres módulo 12.
χ \ n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 −1 0 0 0 1
Tenga en cuenta que χ está totalmente determinado por χ (5) y χ (7) ya que 5 y 7 generan el grupo de unidades módulo 12.
Ejemplos de
Si p es un número primo impar , entonces la función
- dónde es el símbolo de Legendre , es un carácter de Dirichlet primitivo módulo p . [12]
De manera más general, si m es un número impar positivo, la función
- dónde es el símbolo de Jacobi , es un carácter de Dirichlet módulo m . [12]
Estos son ejemplos de personajes reales. En general, todos los personajes reales surgen del símbolo Kronecker .
Conductor y personajes primitivos
Los residuos mod N dan lugar a residuos mod M , para cualquier factor M de N , descartando alguna información. El efecto sobre los caracteres de Dirichlet va en la dirección opuesta: si χ es un carácter mod M , que induce un carácter χ * mod N para cualquier múltiplo N de M . Un carácter es primitivo si no está inducido por ningún carácter de módulo menor. [3]
Si χ es un mod carácter n y d divide n , entonces se dice que el módulo d es un módulo inducida por χ si un primos entre sí a n y 1 mod d implica χ ( un ) = 1: [13] de manera equivalente, χ ( una ) = χ ( b ) siempre que un , b son congruentes mod d y cada primos entre sí a n . [14] Un carácter es primitivo si no hay un módulo inducido menor. [14]
Podemos formalizar esto de manera diferente definiendo los caracteres χ 1 mod N 1 y χ 2 mod N 2 para ser co-entrenados si para algún módulo N tal que N 1 y N 2 ambos dividen N tenemos χ 1 ( n ) = χ 2 ( n ) para todo n coprime a N : es decir, hay algún carácter χ * inducido por cada uno de χ 1 y χ 2 . En ese caso, existe un carácter módulo el mcd de N 1 y N 2 que induce tanto χ 1 como χ 2. Esta es una relación de equivalencia en los caracteres. Un carácter con el módulo más pequeño, en el sentido de divisibilidad, en una clase de equivalencia es primitivo y este módulo más pequeño es el conductor de los caracteres de la clase.
Imprimitivity de caracteres puede conducir a la falta de factores de Euler en sus funciones L .
Ortogonalidad del personaje
Las relaciones de ortogonalidad para los personajes de un grupo finito se transfieren a los personajes de Dirichlet. [15] Si fijamos un carácter χ módulo n entonces la suma
a menos que χ sea principal, en cuyo caso la suma es φ ( n ). De manera similar, si fijamos una clase de residuo a módulo n y sumamos todos los caracteres, tenemos
a no ser que en cuyo caso la suma es φ ( n ). Deducimos que cualquier función periódica con período n apoyado en las clases de residuos primos an es una combinación lineal de caracteres de Dirichlet. [16] También tenemos la relación de suma de caracteres dada en el Capítulo 4 de Davenport dada por
donde la suma se toma sobre todos los caracteres de Dirichlet modulo alguna q fijo, una y n se fija con, y denota la función totient de Euler .
Historia
Los caracteres de Dirichlet y su serie L fueron introducidos por Peter Gustav Lejeune Dirichlet , en 1831, para probar el teorema de Dirichlet sobre las progresiones aritméticas . Solo estudió la serie L para s reales y especialmente cuando s tiende a 1. La extensión de estas funciones a complejos s en todo el plano complejo fue obtenida por Bernhard Riemann en 1859.
Ver también
- Suma de caracteres
- Suma de Gauss
- Grupo multiplicativo de enteros módulo n
- Raíz primitiva módulo n
- Clase Selberg
- Carácter multiplicativo
Referencias
- ^ Montgomery y Vaughan 2007 , págs. 117–8
- ^ Montgomery y Vaughan 2007 , p. 115
- ↑ a b Montgomery y Vaughan , 2007 , p. 123
- ^ Fröhlich y Taylor 1991 , p. 218
- ^ Fröhlich y Taylor 1991 , p. 215
- ^ Apostol 1976 , p. 139
- ↑ a b c Apostol 1976 , p. 138
- ^ Apostol 1976 , p. 134
- ^ Sarkozy, Andras. "Sobre funciones aritméticas multiplicativas que satisfacen una recursividad lineal". Studia Sci. Matemáticas. Hung . 13 (1–2): 79–104.
- ^ Chudakov, NG "Teoría de los caracteres de semigrupos numéricos". J. Indian Math. Soc . 20 : 11-15.
- ^ Klurman, Oleksiy; Mangerel, Alexander P. (2017). "Teoremas de rigidez para funciones multiplicativas". Matemáticas. Ann . 372 (1): 651–697. arXiv : 1707.07817 . Código bibliográfico : 2017arXiv170707817K . doi : 10.1007 / s00208-018-1724-6 . S2CID 119597384 .
- ↑ a b Montgomery y Vaughan , 2007 , p. 295
- ^ Apostol 1976 , p. 166
- ↑ a b Apostol 1976 , p. 168
- ^ Apostol 1976 , p. 140
- ^ Davenport 1967 , págs. 31-32
- Consulte el capítulo 6 de Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001
- Apostol, TM (1971). "Algunas propiedades de funciones aritméticas completamente multiplicativas". The American Mathematical Monthly . 78 (3): 266-271. doi : 10.2307 / 2317522 . JSTOR 2317522 . Señor 0279053 . Zbl 0209.34302 .
- Davenport, Harold (1967). Teoría de números multiplicativos . Conferencias de matemáticas avanzadas. 1 . Chicago: Markham. Zbl 0159.06303 .
- Hasse, Helmut (1964). Vorlesungen über Zahlentheorie . Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften en Einzeldarstellungen. 59 (segunda edición revisada). Springer-Verlag . Señor 0188128 . Zbl 0123.04201 . ver el capítulo 13.
- Mathar, RJ (2010). "Tabla de funciones de Dirichlet L-series y prime zeta modulo para pequeños módulos". arXiv : 1008.2547 [ matemáticas.NT ].
- Montgomery, Hugh L ; Vaughan, Robert C. (2007). Teoría de números multiplicativos. I. Teoría clásica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 97 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-84903-6. Zbl 1142.11001 .
- Spira, Robert (1969). "Cálculo de funciones L de Dirichlet" . Matemáticas de la Computación . 23 (107): 489–497. doi : 10.1090 / S0025-5718-1969-0247742-X . Señor 0247742 . Zbl 0182.07001 .
- Fröhlich, A .; Taylor, MJ (1991). Teoría algebraica de números . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. 27 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 .
enlaces externos
- "Personaje de Dirichlet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- "Personajes de Dirichlet" . en la LMFDB