En matemáticas , particularmente en el campo de la geometría algebraica , una variedad de Chow es una variedad algebraica cuyos puntos corresponden a ciclos algebraicos efectivos de dimensión y grado fijos en un espacio proyectivo dado . Más precisamente, la variedad Chow [1] es la variedad de módulos finos que parametriza todos los ciclos algebraicos efectivos de dimensión y grado en .
La variedad Chow se puede construir a través de un Chow incrustado en un espacio proyectivo suficientemente grande. Ésta es una generalización directa de la construcción de una variedad Grassmanniana a través de la incrustación Plücker , ya que los Grassmannianos son los caso de las variedades Chow.
Las variedades de Chow son distintas de los grupos de Chow , que son el grupo abeliano de todos los ciclos algebraicos en una variedad (no necesariamente en el espacio proyectivo) hasta la equivalencia racional. Ambos llevan el nombre de Wei-Liang Chow (周 煒 良), un pionero en el estudio de los ciclos algebraicos.
Antecedentes de los ciclos algebraicos
Si X es una subvariedad cerrada de de dimensión , el grado de X es el número de puntos de intersección entre X y un genérico [2] -subespacio proyectivo dimensional de. [3]
El grado es constante en familias [4] de subvariedades, excepto en ciertos límites degenerados. Para ver esto, considere la siguiente familia parametrizada por t.
- .
Cuando sea , es una cónica (una subvariedad irreducible de grado 2), pero degenera a la línea (que tiene grado 1). Hay varios enfoques para conciliar este problema, pero el más simple es declararser una línea de multiplicidad 2 (y más generalmente para unir multiplicidades a subvariedades) usando el lenguaje de los ciclos algebraicos .
A -ciclo algebraico dimensional es una combinación lineal formal finita
- .
en el cual s son -subvariedades cerradas irreductibles dimensionales en , y s son números enteros. Un ciclo algebraico es efectivo si cada. El grado de un ciclo algebraico se define como
- .
Un polinomio homogéneo o un ideal homogéneo en n-muchas variables define un ciclo algebraico efectivo en, en el que la multiplicidad de cada componente irreducible es el orden de desaparición en ese componente. En la familia de ciclos algebraicos definidos por, la el ciclo es 2 veces la línea , que tiene grado 2. De manera más general, el grado de un ciclo algebraico es constante en las familias, por lo que tiene sentido considerar el problema de los módulos de ciclos algebraicos efectivos de dimensión y grado fijos.
Ejemplos de variedades de Chow
Hay tres clases especiales de variedades de Chow con construcciones particularmente simples.
Grado 1: Subespacios
Un ciclo algebraico eficaz en de dimensión k-1 y grado 1 es la proyectivización de un subespacio k-dimensional de un espacio afín n-dimensional. Esto le da un isomorfismo a una variedad Grassmanniana :
Este último espacio tiene un distinguido sistema de coordenadas homogéneas , dado por las coordenadas de Plücker .
Dimensión 0: Puntos
Un ciclo algebraico eficaz en de dimensión 0 y grado d es una tupla d (desordenada) de puntos en , posiblemente con repetición. Esto le da un isomorfismo a una potencia simétrica de:
- .
Codimensión 1: Divisores
Un ciclo algebraico eficaz en de codimensión 1 [5] y el grado d se pueden definir por la desaparición de un polinomio de un solo grado d en n-muchas variables, y este polinomio es único hasta el cambio de escala. Dejandodenotar el espacio vectorial de polinomios de grado d en n-muchas variables, esto le da un isomorfismo a un espacio proyectivo :
- .
Tenga en cuenta que este último espacio tiene un distinguido sistema de coordenadas homogéneas , que envían un polinomio al coeficiente de un monomio fijo.
Un ejemplo no trivial
La variedad Chow parametriza la dimensión 1, grado 2 ciclos en . Esta variedad de Chow tiene dos componentes irreductibles.
- Los módulos de las cónicas contenidas en un plano proyectivo (y sus degeneraciones).
- Los módulos de pares de líneas.
Estos dos componentes de 8 dimensiones se cruzan en los módulos de pares de líneas coplanares, que es el lugar singular en . Esto muestra que, en contraste con los casos especiales anteriores, las variedades de Chow no necesitan ser suaves o irreductibles.
La incrustación de Chow
Sea X una subvariedad irreducible en de dimensión k-1 y grado d. Según la definición del grado, la mayoría-subespacios proyectivos dimensionales deintersecar X en d-muchos puntos. Por el contrario, la mayoría-subespacios proyectivos dimensionales deno se crucen en X en absoluto. Esto se puede mejorar de la siguiente manera.
Lema. [6] El conjunto parametrizar los subespacios de que se cruza con X de manera no trivial es una hipersuperficie irreductible de grado [7] d.
Como consecuencia, existe una forma de grado d [8] en que se desvanece precisamente en , y esta forma es única hasta el escalado. Esta construcción se puede extender a un ciclo algebraico. declarando que . Para cada ciclo algebraico de grado d, esto asocia una forma de grado d en , llamada la forma Chow de X, que está bien definida hasta la escala.
Dejar denotar el espacio vectorial de formas de grado d en .
El teorema de Chow-van-der-Waerden. [9] El mapa que envía es una inclusión cerrada de variedades.
En particular, un ciclo algebraico efectivo X está determinado por su forma de Chow .
Si una base para ha sido elegido, enviando a los coeficientes de en esta base da un sistema de coordenadas homogéneas en la variedad Chow , llamadas las coordenadas de Chow de. Sin embargo, como no hay consenso sobre la 'mejor' base para, este término puede ser ambiguo.
Desde una perspectiva fundamental, el teorema anterior se usa generalmente como la definición de . Es decir, la variedad Chow se suele definir como una subvariedad de, y solo entonces se demuestra que es un espacio de módulos fino para el problema de módulos en cuestión.
Relación con el esquema de Hilbert
Una solución más sofisticada al problema de contar 'correctamente' el grado de una subvariedad degenerada es trabajar con subesquemas deen lugar de subvariedades. Los esquemas pueden realizar un seguimiento de información infinitesimal que las variedades y los ciclos algebraicos no pueden.
Por ejemplo, si dos puntos en una variedad se acercan entre sí en una familia algebraica, la subvariedad limitante es un solo punto, el ciclo algebraico limitante es un punto con multiplicidad 2 y el subesquema limitante es un 'punto gordo' que contiene la tangente dirección a lo largo de la cual chocan los dos puntos.
El esquema de Hilbert es el esquema de módulos finos de subesquemas cerrados de dimensión k-1 y grado d dentro. [10] Cada subesquema cerrado determina un ciclo algebraico efectivo, y el mapa inducido
- .
se llama mapa del ciclo o morfismo de Hilbert-Chow . Este mapa es genéricamente un isomorfismo sobre los puntos en correspondientes a subvariedades irreductibles de grado d, pero las fibras sobre ciclos algebraicos no simples pueden ser más interesantes.
Cociente de comida
Un cociente de Chow parametriza cierres de órbitas genéricas . Está construido como una subvariedad cerrada de una variedad Chow.
El teorema de Kapranov dice que el espacio de módulos de curvas de género cero estables con n puntos marcados es el cociente de Chow de Grassmannian por el toro máximo estándar.
Ver también
Referencias
- ^ La notación para las variedades Chow no es estándar entre referencias.
- ^ Aquí y en todas partes, asumimos que el campo base es algebraicamente cerrado y característico 0, por lo que podemos definir "genérico" como cualquier fenómeno caracterizado por una condición abierta de Zariski. El grado puede definirse con mayor generalidad, pero contar las intersecciones genéricas es posiblemente el más intuitivo.
- ^ Tenga en cuenta que el grado no es intrínseco a X como variedad, sino más bien a su incrustación en.
- ^ Se supone que todas las familias son planas .
- ^ Un ciclo algebraico de codimensión 1 también se llama divisor de Weil .
- ^ [GKZ94, Capítulo 3, Proposición 2.2]
- ^ 'Grado' solo se ha definido en este artículo para subvariedades del espacio proyectivo. Sin embargo, las coordenadas de Plucker permiten una definición análoga de grado para las subvariedades de Grassmannianos.
- ^ Una forma de grado d en este contexto significa una coordenada homogénea de grado d. Para un Grassmanniano, esto puede estar dado por un polinomio de grado d en las coordenadas de Plücker, y está bien definido hasta las relaciones de Plücker.
- ^ cf [GKZ94, Capítulo 4, Teorema 1.1]
- ^ Existe una variación considerable en la forma en que se utiliza el término "esquema de Hilbert". Algunos autores no subdividen por dimensión o grado, otros asumen que la dimensión es 0 (es decir, un esquema de puntos de Hilbert), y otros consideran esquemas más generales que.
- Chow, W.-L. ; van der Waerden, BL (1937), "Zur algebraische Geometrie IX.", Mathematische Annalen , 113 : 692–704, doi : 10.1007 / BF01571660 , S2CID 125073468
- Gelfand, Israel M .; Kapranov, Mikhail M .; Zelevinsky, IAndrei V. (1994). Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales . Birkhäuser , Boston, MA. ISBN 978-0-8176-4771-1.
- Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994) [1947]. Métodos de geometría algebraica, Volumen I (Libro II) . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-46900-5. Señor 0028055 .
- Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994) [1952]. Métodos de Geometría Algebraica: Volumen 2 Libro III: Teoría general de las variedades algebraicas en el espacio proyectivo. Libro IV: Variedades Quadrics y Grassmann . Biblioteca de matemáticas de Cambridge. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-46901-2. Señor 0048065 .
- Mikhail Kapranov, Cocientes de Chow de Grassmannian, Colección Seminario IM Gelfand, 29–110, Adv. Matemáticas soviéticas., 16, Parte 2, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 1993.
- Kollár, János (1996), Curvas racionales sobre variedades algebraicas , Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag
- Kollár, János , "Capítulo 1" , Libro sobre módulos de superficies
- Kulikov, Val.S. (2001) [1994], "Variedad Chow" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Mumford, David ; Fogarty, John; Kirwan, Frances (1994). Teoría geométrica invariante . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (2)]. 34 (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3. Señor 1304906 .