Divisor (geometría algebraica)

Generalizaciones de subvariedades de codimensión-1 de variedades algebraicas

En geometría algebraica , los divisores son una generalización de subvariedades de codimensión -1 de variedades algebraicas . Dos generalizaciones diferentes son de uso común, los divisores de Cartier y los divisores de Weil (llamados así por Pierre Cartier y André Weil por David Mumford ). Ambos se derivan en última instancia de la noción de divisibilidad en los campos de números enteros y algebraicos .

El trasfondo es que las subvariedades de codimensión 1 se entienden mucho mejor que las subvariedades de codimensión superior. Esto sucede tanto de manera global como local. Globalmente, cada subvariedad de codimensión-1 del espacio proyectivo se define por la desaparición de un polinomio homogéneo ; Por el contrario, una subvariedad de codimensión- r no necesita ser definida por solo r ecuaciones cuando r es mayor que 1. (Es decir, no todas las subvariedades del espacio proyectivo son una intersección completa ). Localmente, cada subvariedad de codimensión-1 de una variedad suavese puede definir mediante una ecuación en una vecindad de cada punto. Nuevamente, la declaración análoga falla para las subvariedades de codimensión superior. Como resultado de esta buena propiedad, gran parte de la geometría algebraica estudia una variedad arbitraria analizando sus subvariedades de codimensión-1 y los paquetes de líneas correspondientes .

En variedades singulares, esta buena propiedad puede fallar, por lo que hay que distinguir entre subvariedades de codimensión 1 y variedades que pueden definirse localmente mediante una ecuación. Los primeros son divisores de Weil, mientras que los segundos son divisores de Cartier. Topológicamente, los divisores de Weil desempeñan el papel de clases de homología , mientras que los divisores de Cartier representan clases de cohomología . En una variedad suave (o más generalmente un esquema regular ), un resultado análogo a la dualidad de Poincaré dice que los divisores de Weil y Cartier son iguales.

El nombre "divisor" se remonta al trabajo de Dedekind y Weber , quienes mostraron la relevancia de los dominios de Dedekind para el estudio de las curvas algebraicas . ^[1] El grupo de divisores en una curva (el grupo abeliano libre generado por todos los divisores) está estrechamente relacionado con el grupo de ideales fraccionarios para un dominio Dedekind.

Un ciclo algebraico es una generalización de codimensión superior de un divisor; por definición, un divisor de Weil es un ciclo de codimensión 1.

Divisores en una superficie de Riemann

A Riemann superficie es un 1-dimensional colector complejo , y por lo que sus subvariedades codimensión-1 tienen dimensión 0. El grupo de divisores en un compacto Riemann superficie X es el grupo abeliano libre en los puntos de X .

De manera equivalente, un divisor en una superficie compacta de Riemann X es una combinación lineal finita de puntos de X con coeficientes enteros . El grado de un divisor en X es la suma de sus coeficientes.

Para cualquier función meromórfica distinta de cero f en X , se puede definir el orden de desaparición de f en un punto p en X , ord _p ( f ). Es un número entero, negativo si f tiene un polo en p . El divisor de una función meromórfica f distinta de cero en la superficie compacta de Riemann X se define como

${\displaystyle (f):=\sum _{p\in X}\operatorname {ord} _{p}(f)p,}$

que es una suma finita. Los divisores de la forma ( f ) también se denominan divisores principales . Dado que ( fg ) = ( f ) + ( g ), el conjunto de divisores principales es un subgrupo del grupo de divisores. Dos divisores que se diferencian por un divisor principal se denominan linealmente equivalentes .

En una superficie compacta de Riemann, el grado de un divisor principal es cero; es decir, el número de ceros de una función meromórfica es igual al número de polos, contados con multiplicidad. Como resultado, el grado está bien definido en clases de equivalencia lineal de divisores.

Dado un divisor D en una superficie compacta de Riemann X , es importante estudiar el espacio vectorial complejo de funciones meromórficas en X con polos como máximo dados por D , llamado H ⁰ ( X , O ( D )) o el espacio de secciones de el haz de línea asociado a D . El grado de D dice mucho sobre la dimensión de este espacio vectorial. Por ejemplo, si D tiene un grado negativo, entonces este espacio vectorial es cero (porque una función meromórfica no puede tener más ceros que polos). Si Dtiene un grado positivo, entonces la dimensión de H ⁰ ( X , O ( mD )) crece linealmente en m para m suficientemente grande. El teorema de Riemann-Roch es una declaración más precisa en este sentido. Por otra parte, la dimensión exacta de H ⁰ ( X , O ( D )) para divisores D de bajo grado es sutil, y no completamente determinado por el grado de D . Las características distintivas de una superficie compacta de Riemann se reflejan en estas dimensiones.

Un divisor clave en una superficie compacta de Riemann es el divisor canónico . Para definirlo, primero se define el divisor de una forma 1 meromórfica distinta de cero a lo largo de las líneas anteriores. Dado que el espacio de las formas 1 meromórficas es un espacio vectorial unidimensional sobre el campo de las funciones meromórficas, cualesquiera dos formas 1 meromórficas distintas de cero producen divisores linealmente equivalentes. Cualquier divisor en esta clase de equivalencia lineal se llama el divisor canónico de X , K _X . El género g de X se puede leer a partir del divisor canónico: es decir, K _X tiene grado 2 g- 2. La tricotomía clave entre las superficies compactas de Riemann X es si el divisor canónico tiene grado negativo (por lo que X tiene género cero), grado cero (género uno) o grado positivo (género al menos 2). Por ejemplo, esto determina si X tiene una métrica de Kähler con curvatura positiva , curvatura cero o curvatura negativa. El divisor canónico tiene grado negativo si y solo si X es isomorfo a la esfera de Riemann CP ¹ .

Divisores de Weil

Sea X un esquema integral localmente noetheriano . Un divisor primo o divisor irreducible en X es un integral subesquema cerrado Z de codimensión 1 en X . Un divisor de Weil en X es una suma formal sobre los divisores primos Z de X ,

${\displaystyle \sum _{Z}n_{Z}Z,}$

donde la coleccion ${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$es localmente finito. Si X es cuasi-compacto, la finitud local es equivalente a${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$siendo finito. El grupo de todos los divisores de Weil se denota Div ( X ) . Un divisor de Weil D es efectivo si todos los coeficientes son no negativos. Se escribe D ≥ D ′ si la diferencia D - D ′ es efectiva.

Por ejemplo, un divisor en una curva algebraica sobre un campo es una suma formal de un número finito de puntos cerrados. Un divisor en Spec Z es una suma formal de los números primos con coeficientes enteros y por lo tanto corresponde a un no-cero ideales fraccional en Q . Una caracterización similar es cierta para los divisores en${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K},}$donde K es un campo numérico.

Si Z ⊂ X es un divisor primo, entonces el anillo local${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$tiene Krull dimensión uno. Si${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X,Z}}$es distinto de cero, entonces el orden de desaparición de f a lo largo de Z , escrito ord _Z ( f ) , es la longitud de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}/(f).}$Esta longitud es finita, ^[2] y es aditiva con respecto a la multiplicación, es decir, ord _Z ( fg ) = ord _Z ( f ) + ord _Z ( g ) . ^[3] Si k ( X ) es el campo de funciones racionales en X , entonces cualquier f ∈ k ( X ) distinto de cero puede escribirse como un cociente g / h , donde g y h están en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z},}$y el orden de desaparición de f se define como ord _Z ( g ) - ord _Z ( h ) . ^[4] Con esta definición, el orden de fuga es una función ord _Z  : k ( X ) ^× → Z . Si X es normal , entonces el timbre local${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$es un anillo de valoración discreto y la función ord _Z es la valoración correspondiente. Para una función racional distinta de cero f en X , el divisor de Weil principal asociado af se define como el divisor de Weil

${\displaystyle \operatorname {div} f=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z.}$

Se puede demostrar que esta suma es localmente finita y, por tanto, define un divisor de Weil. El divisor de Weil principal asociado af también se anota ( f ) . Si f es una función regular, entonces su principal divisor de Weil es efectivo, pero en general esto no es cierto. La aditividad del orden de la función de desaparición implica que

${\displaystyle \operatorname {div} fg=\operatorname {div} f+\operatorname {div} g.}$

En consecuencia, div es un homomorfismo y, en particular, su imagen es un subgrupo del grupo de todos los divisores de Weil.

Sea X un esquema noetheriano integral normal. Cada divisor D de Weil determina una gavilla coherente ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$en X . Concretamente se puede definir como subgajo del haz de funciones racionales ^[5]

${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\{f\in k(X):f=0{\text{ or }}\operatorname {div} (f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}.}$

Es decir, una función racional f distinta de cero es una sección de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$sobre U si y solo si para cualquier divisor primo Z que interseque a U ,

${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)\geq -n_{Z}}$

donde n _Z es el coeficiente de Z en D . Si D es principal, entonces D es el divisor de una función racional g , entonces hay un isomorfismo

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\\f\mapsto fg\end{cases}}}$

ya que ${\displaystyle \operatorname {div} (fg)}$ es un divisor efectivo y por lo tanto ${\displaystyle fg}$es regular gracias a la normalidad de X . Por el contrario, si${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ es isomorfo a ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ como un ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo, entonces D es principal. De ello se deduce que D es localmente principal si y solo si${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$es invertible; es decir, un paquete de líneas.

Si D es un divisor efectivo que corresponde a un subesquema de X (por ejemplo, D puede ser un divisor reducido o un divisor primo), entonces la gavilla ideal del subesquema D es igual a${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D).}$Esto conduce a una secuencia exacta corta de uso frecuente,

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0.}$

La cohomología de gavilla de esta secuencia muestra que${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D))}$contiene información sobre si las funciones regulares sobre D son las restricciones de las funciones regulares sobre X .

También hay una inclusión de gavillas.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D).}$

Esto proporciona un elemento canónico de ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),}$es decir, la imagen de la sección global 1. Esto se llama la sección canónica y puede ser denotado s _D . Si bien la sección canónica es la imagen de una función racional que no desaparece en ninguna parte, su imagen en${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$se desvanece a lo largo de D debido a que las funciones de transición desaparecen a lo largo de D . Cuando D es un divisor de Cartier uniforme, se puede identificar el cokernel de la inclusión anterior; consulte los divisores de #Cartier a continuación.

Suponga que X es un esquema separado integral normal de tipo finito sobre un campo. Sea D un divisor de Weil. Luego${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$es una gavilla reflexiva de rango uno , y desde${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ se define como una subhaz de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X},}$es una gavilla ideal fraccionada (ver más abajo). A la inversa, cada gavilla reflexiva de rango uno corresponde a un divisor de Weil: la gavilla se puede restringir al locus regular, donde se libera y, por lo tanto, corresponde a un divisor de Cartier (nuevamente, ver más abajo), y porque el locus singular tiene al menos codimensión dos, el cierre del divisor Cartier es un divisor Weil.

Grupo de clase de divisor

El grupo de clases de divisores de Weil Cl ( X ) es el cociente de Div ( X ) por el subgrupo de todos los divisores de Weil principales. Se dice que dos divisores son linealmente equivalentes si su diferencia es principal, por lo que el grupo de clases de divisores es el grupo de divisores módulo de equivalencia lineal. Para una variedad X de dimensión n sobre un campo, el grupo de clase divisor es un grupo Chow ; a saber, Cl ( X ) es el grupo de Chow CH _{n −1} ( X ) de ( n −1) -ciclos dimensionales.

Deje que Z sea un subconjunto cerrado de X . Si Z es irreducible de una codimensión, a continuación, Cl ( X - Z ) es isomorfo al grupo cociente de Cl ( X ) por la clase de Z . Si Z tiene codimensión al menos 2 en X , entonces la restricción Cl ( X ) → Cl ( X - Z ) es un isomorfismo. ^[6] (Estos hechos son casos especiales de la secuencia de localización para grupos Chow).

En un esquema noetheriano integral normal X , dos divisores de Weil D , E son linealmente equivalentes si y solo si${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ y ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$ son isomorfos como ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos. Las clases de isomorfismo de las poleas reflexivas en X forman un monoide con el producto dado como el casco reflexivo de un producto tensorial. Luego${\displaystyle D\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)}$define un isomorfismo monoid del grupo clase divisor Weil de X a la monoid de clases de isomorfismo de rango-uno poleas reflexivos en X .

Ejemplos

• Sea k un campo y n un entero positivo. Dado que el anillo polinomial k [ x ₁ , ..., x _n ] es un dominio de factorización único, el grupo de clases de divisores del espacio afín A ⁿ sobre k es igual a cero. ^[7] Dado que el espacio proyectivo P ⁿ sobre k menos un hiperplano H es isomorfo a A ⁿ , se deduce que el grupo de clases divisor de P ⁿ es generado por la clase de H. A partir de ahí, es sencillo para comprobar que Cl ( P ⁿ ) es, de hecho isomorfo a los números enteros Z , generada por H . Concretamente, esto significa que cada subvariedad de codimensión-1 de P ⁿ está definida por la desaparición de un único polinomio homogéneo.

• Sea X una curva algebraica sobre un campo k . Todo punto cerrado p en X tiene la forma Spec E para algún campo de extensión finito E de k , y el grado de p se define como el grado de E sobre k . La extensión de esta por la linealidad da la noción de grado de un divisor de X . Si X es una curva proyectiva sobre k , entonces el divisor de una función racional distinta de cero f en Xtiene grado cero. ^[8] Como resultado, para una curva proyectiva X , el grado da una deg homomorfismo: Cl ( X ) → Z .

• Para la línea proyectiva P ¹ sobre un campo k , el grado da un isomorfismo Cl ( P ¹ ) ≅ Z . Para cualquier curva proyectiva uniforme X con un punto k - racional , el grado de homomorfismo es sobreyectivo y el núcleo es isomorfo al grupo de k puntos en la variedad jacobiana de X , que es una variedad abeliana de dimensión igual al género de X . De ello se deduce, por ejemplo, que el grupo de clases divisor de una curva elíptica compleja es un grupo abeliano incontable .

• Generalizando el ejemplo anterior: para cualquier variedad proyectiva suave X sobre un campo k tal que X tiene un k -punto racional, el grupo de clase divisor Cl ( X ) es una extensión de un grupo abeliano generado finitamente , el grupo Néron-Severi , por el grupo de k -puntos de un esquema de grupo conectado ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/k}^{0}.}$^[9] Para k de característica cero,${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/k}^{0}}$es una variedad abelian, la variedad Picard de X .

• Para R el anillo de los enteros de un campo de número , el grupo clase divisor Cl ( R ): = Cl (Spec R ) también se llama el grupo ideal de la clase de R . Es un grupo abeliano finito. Comprender los grupos de clases ideales es un objetivo central de la teoría algebraica de números .

• 

  El cono cuádrico afín xy = z ² .
  Sea X el cono cuádrico de dimensión 2, definido por la ecuación xy = z ² en el espacio tridimensional afín sobre un campo. Entonces la línea D en X definida por x = z = 0 no es principal en X cerca del origen. Tenga en cuenta que D puede definirse como un conjunto mediante una ecuación en X , a saber, x = 0; pero la función x en X desaparece para ordenar 2 a lo largo de D , por lo que solo encontramos que 2 D es Cartier (como se define a continuación) en X. De hecho, el grupo de la clase divisor Cl ( X ) es isomorfo al grupo cíclico Z / 2, generado por la clase de D . ^[10]

• Sea X el cono cuádrico de dimensión 3, definido por la ecuación xy = zw en el espacio 4 afín sobre un campo. Entonces, el plano D en X definido por x = z = 0 no puede definirse en X por una ecuación cerca del origen, incluso como un conjunto. De ello se deduce que D no es Q-Cartier en X ; es decir, ningún múltiplo positivo de D es Cartier. De hecho, el grupo de la clase divisor Cl ( X ) es isomorfo a los números enteros Z , generada por la clase de D . ^[11]

El divisor canónico

Sea X una variedad normal sobre un campo perfecto . El locus liso U de X es un subconjunto abierto cuyo complemento tiene codimensión al menos 2. Sea j : U → X el mapa de inclusión, luego el homomorfismo de restricción:

${\displaystyle j^{*}:\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Cl} (U)=\operatorname {Pic} (U)}$

es un isomorfismo, ya que X - T tiene codimensión al menos 2 en X . Por ejemplo, uno puede utilizar este isomorfismo para definir el divisor canónico K _X de X : es el divisor Weil (hasta lineal equivalencia) correspondiente a la línea paquete de formas diferenciales de la parte superior grado en U . De manera equivalente, la gavilla${\displaystyle {\mathcal {O}}(K_{X})}$en X es la gavilla de imagen directa ${\displaystyle j_{*}\Omega _{U}^{n},}$donde n es la dimensión de X .

Ejemplo : Sea X = P ⁿ el n- espacio proyectivo con las coordenadas homogéneas x ₀ , ..., x _n . Sea U = { x ₀ ≠ 0}. Entonces U es isomorfo al n- espacio afín con las coordenadas y _i = x _i / x ₀ . Dejar

${\displaystyle \omega ={dy_{1} \over y_{1}}\wedge \dots \wedge {dy_{n} \over y_{n}}.}$

Entonces ω es una forma diferencial racional en U ; por lo tanto, es una sección racional de${\displaystyle \Omega _{\mathbf {P} ^{n}}^{n}}$que tiene polos simples a lo largo de Z _i = { x _i = 0}, i = 1, ..., n . Cambiar a un gráfico afín diferente cambia solo el signo de ω y, por lo tanto, vemos que ω también tiene un polo simple a lo largo de Z ₀ . Por tanto, el divisor de ω es

${\displaystyle \operatorname {div} (\omega )=-Z_{0}-\dots -Z_{n}}$

y su clase divisor es

${\displaystyle K_{\mathbf {P} ^{n}}=[\operatorname {div} (\omega )]=-(n+1)[H]}$

donde [ H ] = [ Z _i ], i = 0, ..., n . (Ver también la secuencia de Euler ).

Divisores Cartier

Sea X un esquema noetheriano integral. Entonces X tiene un conjunto de funciones racionales${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ Todas las funciones regulares son funciones racionales, lo que conduce a una breve secuencia exacta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.}$

Un divisor de Cartier en X es una sección global de${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$ Una descripción equivalente es que un divisor Cartier es una colección ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$ donde ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ es una tapa abierta de ${\displaystyle X,f_{i}}$ es una sección de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }}$ en ${\displaystyle U_{i},}$ y ${\displaystyle f_{i}=f_{j}}$ en ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ hasta la multiplicación por una sección de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$

Los divisores de Cartier también tienen una descripción teórica de la gavilla. Una gavilla ideal fraccionaria es una sub-${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$Una gavilla ideal fraccionaria J es invertible si, para cada x en X , existe una vecindad abierta U de x en la que la restricción de J a U es igual a${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}\cdot f,}$ donde ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{X}^{\times }(U)}$ y se toma el producto ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ Cada divisor Cartier define una gavilla ideal fraccionaria invertible utilizando la descripción del divisor Cartier como una colección. ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$ya la inversa, las poleas ideales fraccionarias invertibles definen los divisores Cartier. Si el divisor de Cartier se denota D , entonces la gavilla ideal fraccionaria correspondiente se denota O ( D ) o L ( D ).

Por la secuencia exacta anterior, hay una secuencia exacta de grupos de cohomología de gavillas :

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X).}$

Se dice que un divisor de Cartier es principal si está en la imagen del homomorfismo${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }),}$es decir, si es el divisor de una función racional en X . Dos divisores de Cartier son linealmente equivalentes si su diferencia es principal. Cada paquete de líneas L sobre X en un esquema noetheriano integral es la clase de algún divisor de Cartier. Como resultado, la secuencia exacta anterior identifica el grupo Picard de paquetes de líneas en un esquema noetheriano integral X con el grupo de equivalencia lineal módulo de divisores de Cartier. Esto es válido de manera más general para esquemas noetherianos reducidos, o para esquemas cuasi-proyectivos sobre un anillo noetheriano, ^[12] pero puede fallar en general (incluso para esquemas adecuados sobre C), lo que disminuye el interés de los divisores de Cartier en total generalidad. ^[13]

Suponga que D es un divisor de Cartier eficaz. Luego hay una breve secuencia exacta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)\to {\mathcal {O}}_{D}(D)\to 0.}$

Esta secuencia se deriva de la secuencia corta exacta relativa las poleas estructura de X y D y la gavilla ideal de D . Debido a que D es un divisor de Cartier, O ( D ) es localmente libre y, por lo tanto, al tensar esa secuencia con O ( D ) se obtiene otra secuencia corta exacta, la anterior. Cuando D es suave, O _D ( D ) es el paquete normal de D en X .

Comparación de divisores de Weil y divisores de Cartier

Se dice que un divisor de Weil D es Cartier si y solo si la gavilla O ( D ) es invertible. Cuando esto sucede, O ( D ) (con su incrustación en M _X ) es el paquete de líneas asociado a un divisor de Cartier. Más precisamente, si O ( D ) es invertible, entonces existe una cubierta abierta { U _i } tal que O ( D ) se restringe a un paquete trivial en cada conjunto abierto. Para cada U _i , elija un isomorfismo${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}\to {\mathcal {O}}(D)|_{U_{i}}.}$ La imagen de ${\displaystyle 1\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})=\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})}$debajo de este mapa hay una sección de O ( D ) en U _i . Dado que O ( D ) se define como una subhaz del conjunto de funciones racionales, la imagen de 1 puede identificarse con alguna función racional f _i . La colección${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$es entonces un divisor de Cartier. Esto está bien definido porque las únicas opciones involucradas fueron la cobertura y el isomorfismo, ninguno de los cuales cambia el divisor de Cartier. Este divisor de Cartier se puede utilizar para producir una gavilla, que para distinción anotaremos L ( D ). Hay un isomorfismo de O ( D ) con L ( D ) definido trabajando en la cubierta abierta { U _i }. El hecho clave para verificar aquí es que las funciones de transición de O ( D ) y L ( D ) son compatibles, y esto equivale al hecho de que todas estas funciones tienen la forma${\displaystyle f_{i}/f_{j}.}$

En la dirección opuesta, un divisor de Cartier ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$en un esquema noetheriano integral, X determina un divisor de Weil en X de forma natural, aplicando${\displaystyle \operatorname {div} }$a las funciones f _i en los conjuntos abiertos U _i .

Si X es normal, un divisor de Cartier está determinado por el divisor de Weil asociado, y un divisor de Weil es Cartier si y solo si es localmente principal.

Un esquema noetheriano X se llama factorial si todos los anillos locales de X son dominios de factorización únicos . ^[5] (Algunos autores dicen "localmente factorial".) En particular, todo esquema regular es factorial. ^[14] En un esquema factorial X , cada divisor de Weil D es localmente principal, por lo que O ( D ) es siempre un conjunto de líneas. ^[7] En general, sin embargo, un divisor de Weil en un esquema normal no necesita ser principal localmente; vea los ejemplos de conos cuádruples arriba.

Divisores Cartier efectivos

Los divisores Cartier efectivos son aquellos que corresponden a poleas ideales. De hecho, la teoría de los divisores de Cartier efectivos se puede desarrollar sin ninguna referencia a haces de funciones racionales o haces ideales fraccionarios.

Sea X un esquema. Un divisor de Cartier efectivo en X es un haz ideal I que es invertible y tal que para cada punto x en X , el tallo I _x es principal. Es equivalente a requerir que alrededor de cada x , exista un subconjunto afín abierto U = Spec A tal que U ∩ D = Spec A / ( f ) , donde f es un divisor distinto de cero en A. La suma de dos divisores de Cartier efectivos corresponde a la multiplicación de haces ideales.

Existe una buena teoría de familias de divisores de Cartier efectivos. Sea φ: X → S un morfismo. Un divisor Cartier eficaz relativa para X sobre S es un eficaz divisor Cartier D en X que es plana sobre S . Debido al supuesto de planitud, para cada${\displaystyle S'\to S,}$hay un retroceso de D para${\displaystyle X\times _{S}S',}$y este retroceso es un divisor de Cartier eficaz. En particular, esto es cierto para las fibras de φ.

Functorialidad

Sea φ: X → Y un morfismo de esquemas integrales localmente noetherianos. A menudo, pero no siempre, es posible utilizar φ para transferir un divisor D de un esquema a otro. Si esto es posible depende de si el divisor es un divisor de Weil o Cartier, si el divisor se debe mover de X a Y o viceversa, y qué propiedades adicionales φ podría tener.

Si Z es un divisor de Weil primo en X , entonces${\displaystyle {\overline {\phi (Z)}}}$es un subesquema irreducible cerrado de Y . Dependiendo de φ, puede o no ser un divisor principal de Weil. Por ejemplo, si φ es la explosión de un punto en el plano y Z es el divisor excepcional, entonces su imagen no es un divisor de Weil. Por lo tanto, φ _* Z se define como${\displaystyle {\overline {\phi (Z)}}}$si ese subesquema es un divisor primo y se define como el divisor cero en caso contrario. Extender esto por linealidad, asumiendo que X es cuasi-compacto, definirá un homomorfismo Div ( X ) → Div ( Y ) llamado pushforward . (Si X no es cuasi-compacto, entonces el pushforward puede no ser una suma localmente finita). Este es un caso especial del pushforward en grupos Chow.

Si Z es un divisor de Cartier, entonces bajo hipótesis leves en φ, hay un retroceso φ ^* Z . En teoría, cuando hay un mapa de retroceso φ ⁻¹ M _Y → M _X , este retroceso se puede utilizar para definir el retroceso de los divisores de Cartier. En términos de secciones locales, el retroceso de${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ se define como ${\displaystyle \{(\phi ^{-1}(U_{i}),f_{i}\circ \phi )\}}$. El retroceso siempre se define si φ es dominante, pero no se puede definir en general. Por ejemplo, si X = Z y φ es la inclusión de Z en Y , entonces φ ^* Z no está definido porque las secciones locales correspondientes serían cero en todas partes. (Sin embargo, se define el retroceso del paquete de líneas correspondiente).

Si φ es plano, entonces se define el retroceso de los divisores de Weil. En este caso, el retroceso de Z es φ ^* Z = φ ⁻¹ ( Z ) . La planitud de φ asegura que la imagen inversa de Z continúe teniendo codimensión uno. Esto puede fallar para morfismos que no son planos, por ejemplo, para una pequeña contracción .

La primera clase Chern

Para un esquema noetheriano integral X , el homomorfismo natural del grupo de divisores de Cartier al de los divisores de Weil da un homomorfismo

${\displaystyle c_{1}:\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Cl} (X),}$

conocida como la primera clase Chern . ^[15] La primera clase de Chern es inyectiva si X es normal, y es un isomorfismo si X es factorial (como se definió anteriormente). En particular, los divisores de Cartier se pueden identificar con los divisores de Weil en cualquier esquema regular, por lo que la primera clase Chern es un isomorfismo para X regular.

Explícitamente, la primera clase Chern se puede definir de la siguiente manera. Para una línea de haz de L en un esquema integral Noetherian X , vamos s ser una sección racional no nulo de L (es decir, una sección sobre algún subconjunto abierto no vacío de L ), que existe por trivialidad local de la L . Defina el ( los ) divisor ( es ) de Weil en X por analogía con el divisor de una función racional. A continuación, la primera clase de Chern de L puede ser definido para ser el divisor ( s ). Cambiar la sección racional s cambia este divisor por equivalencia lineal, ya que ( fs ) = ( f ) + (s ) para un distinto de cero racional función f una sección diferente de cero racional y s de L . Entonces, el elemento c ₁ ( L ) en Cl ( X ) está bien definido.

Para una variedad compleja X de dimensión n , no necesariamente suave o adecuada sobre C , existe un homomorfismo natural, el mapa de ciclo , desde el grupo de clase divisor hasta la homología de Borel-Moore :

${\displaystyle \operatorname {Cl} (X)\to H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} ).}$

Este último grupo se define utilizando el espacio X ( C ) de puntos complejos de X , con su topología clásica (euclidiana). Asimismo, el grupo Picard se mapea a la cohomología integral , por la primera clase Chern en el sentido topológico:

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mathbf {Z} ).}$

Los dos homomorfismos están relacionados por un diagrama conmutativo , donde el mapa vertical de la derecha es el producto cap con la clase fundamental de X en la homología de Borel-Moore:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Pic} (X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{array}}}$

Para X suave sobre C , ambos mapas verticales son isomorfismos.

Secciones globales de paquetes de líneas y sistemas lineales

Un divisor de Cartier es eficaz si sus funciones de definición locales f _i son regulares (no solo funciones racionales). En ese caso, el divisor de Cartier se puede identificar con un subesquema cerrado de codimensión 1 en X , el subesquema definido localmente por f _i = 0. Un divisor de Cartier D es linealmente equivalente a un divisor efectivo si y solo si su paquete de líneas asociado O ( D ) tiene una sección global s distinta de cero ; entonces D es linealmente equivalente al lugar geométrico cero de s .

Sea X una variedad proyectiva sobre un campo k . Entonces, multiplicar una sección global de O ( D ) por un escalar distinto de cero en k no cambia su lugar geométrico cero. Como resultado, el espacio proyectivo de líneas en el k espacio-vector de secciones globales H ⁰ ( X , O ( D )) se pueden identificar con el conjunto de divisores eficaces linealmente equivalentes a D , llamado el sistema lineal completa de D . Un subespacio lineal proyectivo de este espacio proyectivo se denomina sistema lineal de divisores..

Una razón para estudiar el espacio de las secciones globales de un paquete de líneas es comprender los posibles mapas de una variedad dada al espacio proyectivo. Esto es esencial para la clasificación de variedades algebraicas. Explícitamente, un morfismo de una variedad X al espacio proyectivo P ⁿ sobre un campo k determina un paquete de líneas L en X , el retroceso del paquete de líneas estándar O (1) en P ⁿ . Además, L viene con n +1 secciones cuyo lugar geométrico base (la intersección de sus conjuntos de ceros) está vacío. Por el contrario, cualquier paquete de líneas L conn +1 secciones globales cuyo lugar de base común está vacío determina un morfismo X → P ⁿ . ^[16] Estas observaciones conducen a varias nociones de positividad para los divisores de Cartier (o paquetes de líneas), como divisores amplios y divisores nef . ^[17]

Para un divisor D en una variedad proyectiva X sobre un campo k , el espacio vectorial k H ⁰ ( X , O ( D )) tiene una dimensión finita. El teorema de Riemann-Roch es una herramienta fundamental para calcular la dimensión de este espacio vectorial cuando X es una curva proyectiva. Generalizaciones sucesivas, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , dan alguna información sobre la dimensión de H ⁰ ( X , O ( D)) para una variedad proyectiva X de cualquier dimensión sobre un campo.

Debido a que el divisor canónico está intrínsecamente asociado a una variedad, los mapas del espacio proyectivo dados por K _X y sus múltiplos positivos juegan un papel clave en la clasificación de variedades . La dimensión de Kodaira de X es un invariante biracional clave , que mide el crecimiento de los espacios vectoriales H ⁰ ( X , mK _X ) (es decir, H ⁰ ( X , O ( mK _X ))) a medida que m aumenta. La dimensión de Kodaira divide todas las variedades n- dimensionales en n+2 clases, que (muy aproximadamente) van de curvatura positiva a curvatura negativa.

Divisores "Q"

Sea X una variedad normal. Un divisor (Weil) Q es una combinación lineal formal finita de subvariedades de codimensión 1 irreductibles de X con coeficientes racionales. (Un divisor R se define de manera similar). Un divisor Q es efectivo si los coeficientes no son negativos. A Q -divisor D es Q-Cartier si mD es un divisor Cartier para algún entero positivo m . Si X es suave, entonces cada Q -divisor es Q -Cartier.

Si

${\displaystyle D=\sum _{j}a_{j}Z_{j}}$

es un divisor Q , entonces su redondeo es el divisor

${\displaystyle \lfloor D\rfloor =\sum \lfloor a_{j}\rfloor Z_{j},}$

donde ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$es el mayor entero menor o igual a una . La gavilla${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ entonces se define como ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\lfloor D\rfloor ).}$

El teorema del hiperplano de Grothendieck-Lefschetz

El teorema del hiperplano de Lefschetz implica que para una variedad proyectiva compleja suave X de dimensión al menos 4 y un divisor amplio suave Y en X , la restricción Pic ( X ) → Pic ( Y ) es un isomorfismo. Por ejemplo, si Y es una variedad de intersección completa suave de dimensión al menos 3 en el espacio proyectivo complejo, entonces el grupo Picard de Y es isomorfo a Z , generado por la restricción del haz de líneas O (1) en el espacio proyectivo.

Grothendieck generalizó el teorema de Lefschetz en varias direcciones, involucrando campos de base arbitrarios, variedades singulares y resultados en anillos locales en lugar de variedades proyectivas. En particular, si R es un anillo local de intersección completo que es factorial en codimensión como máximo 3 (por ejemplo, si el locus no regular de R tiene codimensión al menos 4), entonces R es un dominio de factorización único (y por lo tanto cada Weil divisor en Spec ( R ) es Cartier). ^[18] La dimensión acotada aquí es óptima, como se muestra en el ejemplo del cono cuádrico tridimensional, arriba.

Notas

1. Dieudonné (1985), sección VI.6.
2. Proyecto de pilas, etiqueta 00PF.
3. Proyecto de pilas, etiqueta 02MC.
4. Proyecto de pilas, etiqueta 02MD.
5. Kollár (2013), Notación 1.2.
6. Hartshorne (1977), Proposición II.6.5.
7. Hartshorne (1977), Proposición II.6.2.
8. Proyecto de pilas, etiqueta 02RS.
9. Kleiman (2005), Teoremas 2.5 y 5.4, Observación 6.19.
10. Hartshorne (1977), ejemplo II.6.5.2.
11. Hartshorne (1977), ejercicio II.6.5.
12. Grothendieck, EGA IV, Parte 4, Proposición 21.3.4, Corollaire 21.3.5.
13. Lazarsfeld (2004), ejemplo 1.1.6.
14. Proyecto de pilas, etiqueta 0AFW.
15. Para una variedad X sobre un campo, las clases Chern de cualquier paquete de vectores en X actúan por producto de capa sobre los grupos Chow de X , y el homomorfismo aquí se puede describir como L ↦ c ₁ ( L ) ∩ [ X ].
16. Hartshorne (1977), Teorema II.7.1.
17. Lazarsfeld (2004), Capítulo 1.
18. Grothendieck, SGA 2, Corollaire XI.3.14.

Referencias

• Dieudonné, Jean (1985), History of Algebraic Geometry , Wadsworth Mathematics Series, traducido por Judith D. Sally , Belmont, CA: Wadsworth International Group, ISBN 0-534-03723-2, MR  0780183
• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5-361. doi : 10.1007 / bf02732123 . Señor  0238860 .
• Grothendieck, Alexander ; Raynaud, Michèle (2005) [1968], Laszlo, Yves (ed.), Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2) , Documents Mathématiques, 4 , París: Société Mathématique de France , arXiv : math / 0511279 , Bibcode : 2005math ..... 11279G , ISBN 978-2-85629-169-6, MR  2171939
• Sección II.6 de Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas, 52 , Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90244-9, MR  0463157
• Kleiman, Steven (2005), "El esquema de Picard", Geometría Algebraica Fundamental , Matemáticas. Surveys Monogr., 123 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 235–321, arXiv : math / 0504020 , Bibcode : 2005math ...... 4020K , MR  2223410
• Kollár, János (2013), Singularities of the Minimal Model Program , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-03534-8, MR  3057950
• Lazarsfeld, Robert (2004), Positividad en la geometría algebraica , 1 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-22533-1, MR  2095471

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