Los espacios Chu generalizan la noción de espacio topológico al eliminar los requisitos de que el conjunto de conjuntos abiertos esté cerrado bajo unión e intersección finita , que los conjuntos abiertos sean extensionales y que el predicado de pertenencia (de puntos en conjuntos abiertos) sea de dos valores. La definición de función continua permanece sin cambios, salvo tener que redactarse con cuidado para seguir teniendo sentido después de estas generalizaciones.
El nombre se debe a Po-Hsiang Chu, quien originalmente construyó una verificación de categorías autónomas como estudiante de posgrado bajo la dirección de Michael Barr en 1979. [1]
Definición
Entendido estáticamente, un espacio Chu ( A , R , X ) sobre un conjunto K consta de un conjunto A de puntos, un conjunto X de estados, y una función de r : A × X → K . Esto hace que sea un A × X matriz con entradas procedentes de K , o de forma equivalente una K -valued relación binaria entre A y X (relaciones binarias ordinarias siendo 2 valorada).
Entendido dinámicamente, los espacios de Chu se transforman a la manera de espacios topológicos, con A como el conjunto de puntos, X como el conjunto de conjuntos abiertos yr como la relación de pertenencia entre ellos, donde K es el conjunto de todos los grados posibles de pertenencia de un punto en un conjunto abierto. La contraparte de una función continua de ( A , r , X ) a ( B , s , Y ) es un par ( f , g ) de funciones f : A → B , g : Y → X que satisface la condición de adyacencia s ( f ( una ), y ) = r ( a , g ( y )) para todo un ∈ a y y ∈ y . Es decir, f mapea puntos hacia adelante al mismo tiempo que g mapea estados hacia atrás. La condición de contigüidad hace que g sea la función de imagen inversa f −1 , mientras que la elección de X para el codominio de g corresponde al requisito para las funciones continuas de que la imagen inversa de los conjuntos abiertos sea abierta. Este par se denomina transformada Chu o morfismo de los espacios Chu.
Un espacio topológico ( X , T ) donde X es el conjunto de puntos y T el conjunto de conjuntos abiertos, puede entenderse como un espacio Chu ( X , ∈, T ) sobre {0, 1}. Es decir, los puntos del espacio topológico se convierten en los del espacio Chu mientras que los conjuntos abiertos se convierten en estados y la relación de pertenencia "∈" entre puntos y conjuntos abiertos se hace explícita en el espacio Chu. La condición de que el conjunto de conjuntos abiertos se cierre bajo una unión arbitraria (incluso vacía) y una intersección finita (incluso vacía) se convierte en la condición correspondiente en las columnas de la matriz. Una función continua f : X → X ' entre dos espacios topológicos se convierte en un par adjunto ( f , g ) en el que f ahora se empareja con una realización de la condición de continuidad construida como una función testigo explícita g que exhibe los conjuntos abiertos requeridos en el dominio de f .
Estructura categórica
La categoría de espacios Chu sobre K y sus mapas se denota por Chu ( Set , K ). Como se desprende de la simetría de las definiciones, es una categoría auto-dual : es equivalente (de hecho isomorfa) a su dual, la categoría que se obtiene al invertir todos los mapas. Además, es una categoría autónoma * con objeto de dualización ( K , λ, {*}) donde λ: K × {*} → K se define por λ ( k , *) = k (Barr 1979). Como tal, es un modelo de Jean-Yves Girard 's lógica lineal (Girard 1987).
Variantes
La categoría enriquecida más general Chu ( V , k ) apareció originalmente en un apéndice de Barr (1979). El concepto espacial Chu se originó con Michael Barr y los detalles fueron desarrollados por su alumno Po-Hsiang Chu, cuya tesis de maestría formó el apéndice. Los espacios de Chu ordinarios surgen como el caso V = Conjunto , es decir, cuando la categoría monoidal V se especializa en el Conjunto de conjuntos de categoría cerrada cartesiana y sus funciones, pero no se estudiaron por derecho propio hasta más de una década después de la aparición de la noción enriquecida más general. Una variante de los espacios Chu, llamados espacios dialécticos , debido a de Paiva (1989) reemplaza la condición del mapa (1) con la condición del mapa (2):
- s ( f ( a ), y ) = r ( a , g ( y )).
- s ( f ( a ), y ) ≤ r ( a , g ( y )).
Universalidad
La categoría Top de los espacios topológicos y sus funciones continuas se incrusta en Chu ( Set , 2) en el sentido de que existe un completo y fiel functor F : Top → Chu ( Set , 2) proporcionando para cada espacio topológico ( X , T ) su representación F (( X , T )) = ( X , ∈, T ) como se indicó anteriormente. Esta representación es además una realización en el sentido de Pultr y Trnková (1980), es decir, que el espacio Chu que representa tiene el mismo conjunto de puntos que el espacio topológico representado y se transforma de la misma manera a través de las mismas funciones.
Los espacios Chu son notables por la amplia variedad de estructuras familiares que realizan. Lafont y Streicher (1991) señalan que los espacios Chu sobre 2 realizan tanto espacios topológicos como espacios coherentes (introducidos por J.-Y. Girard (1987) para modelar la lógica lineal), mientras que los espacios Chu sobre K realizan cualquier categoría de espacios vectoriales sobre un campo cuya cardinalidad es como máximo la de K . Esto fue extendido por Vaughan Pratt (1995) a la realización de estructuras relacionales k -ary por espacios de Chu de más de 2 k . Por ejemplo, la categoría Grp de grupos y sus homomorfismos es realizada por Chu ( Set , 8 ) ya que la multiplicación de grupos se puede organizar como una relación ternaria . Chu ( Conjunto , 2) realiza una amplia gama de estructuras "lógicas" como semirretices, retículas distributivas, retículas completas y completamente distributivas, álgebras booleanas, álgebras booleanas atómicas completas, etc. Más información sobre éste y otros aspectos de los espacios Chu, incluyendo su aplicación al modelado de comportamiento concurrente, se puede encontrar en Chu Spaces .
Aplicaciones
Autómatas
Los espacios Chu pueden servir como modelo de cálculo concurrente en la teoría de autómatas para expresar el tiempo de ramificación y la verdadera concurrencia . Los espacios Chu exhiben los fenómenos de la mecánica cuántica de complementariedad e incertidumbre. La complementariedad surge como la dualidad de información y tiempo, autómatas y horarios, y estados y eventos. La incertidumbre surge cuando una medida se define como un morfismo tal que el aumento de la estructura en el objeto observado reduce la claridad de la observación. Esta incertidumbre se puede calcular numéricamente a partir de su factor de forma para producir la relación de incertidumbre habitual de Heisenberg . Los espacios Chu corresponden a funciones de onda como vectores del espacio de Hilbert . [2]
Referencias
- ^ La construcción de Chu: Historia de una idea Universidad Michael Barr McGill
- ^ Pratt, VR (1994). "Espacios Chu: Autómatas con aspectos cuánticos". Taller de Actas de Física y Computación. Phys Comp '94 . págs. 186-195. doi : 10.1109 / PHYCMP.1994.363682 . ISBN 978-0-8186-6715-2.
Otras lecturas
- Barr, M. (1979). * -Categorías autónomas . Apuntes de clase en matemáticas. 752 . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09563-7.
- Barr, M. (1996). "La construcción de Chu". Teoría y aplicaciones de categorías . 2 (2): 17–35.
- Girard, J.-Y. (1987). "Lógica lineal". Informática Teórica . 50 : 1–102. doi : 10.1016 / 0304-3975 (87) 90045-4 . hdl : 10338.dmlcz / 120513 .
- Lafont, Y. y Streicher, T. (1991). "Semántica de juegos para lógica lineal". Proc. 6ta edición anual de IEEE Symp. On Logic in Computer Science, Amsterdam, julio de 1991 . Los Alamitos: IEEE Computer Society Press : 43–49.
- de Paiva, V. (1989). "Un modelo dialéctico de lógica lineal". Proc. Conf. sobre teoría de categorías y ciencias de la computación, Springer-Verlag Lecture Notes in Computer Science, Manchester, septiembre de 1989 . 389 . págs. 341–356.
- Pratt, VR "La gama de piedra: una coordinación de las matemáticas". Proc. Décima edición anual de IEEE Symp. en Lógica en Ciencias de la Computación, Montreal, junio de 1995 . págs. 444–454.
- Pultr, A. y Trnková, V. (1980). Representaciones combinatorias, algebraicas y topológicas de grupos, semigrupos y categorías . Holanda Septentrional .
enlaces externos
- Guía de artículos sobre Chu Spaces , página web .