En matemáticas , una categoría C autónoma * (léase "autónoma en estrella") es una categoría cerrada monoidal simétrica equipada con un objeto dualizador . El concepto también se conoce como categoría Grothendieck-Verdier en vista de su relación con la noción de dualidad Verdier .
Definición
Sea C una categoría cerrada monoidal simétrica. Para cualquier objeto A y, existe un morfismo
definida como la imagen por la biyección que define el cierre monoidal
del morfismo
dónde es la simetría del producto tensorial. Un objetode la categoría C se llama dualizante cuando el morfismo asociadoes un isomorfismo para cada objeto A de la categoría C .
De manera equivalente, una categoría autónoma * es una categoría monoidal simétrica C junto con un funtortal que para cada objeto A hay un isomorfismo natural, y por cada tres objetos A , B y C hay una biyección natural
- .
El objeto dualizador de C se define entonces por. La equivalencia de las dos definiciones se muestra identificando.
Propiedades
Las categorías cerradas compactas son * -autónomas, con la unidad monoidal como objeto de dualización. Por el contrario, si la unidad de una categoría autónoma * es un objeto de dualización, entonces hay una familia canónica de mapas.
- .
Estos son todos isomorfismos si y solo si la categoría * -autónoma es compacta y cerrada.
Ejemplos de
Un ejemplo familiar es la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre cualquier campo k hecho monoidal con el producto tensorial habitual de los espacios vectoriales. El objeto de dualización es k , el espacio vectorial unidimensional, y la dualización corresponde a la transposición. Aunque la categoría de todos los espacios vectoriales sobre k no es * -autónoma, las extensiones adecuadas a las categorías de espacios vectoriales topológicos pueden hacerse * -autónomo.
Por otro lado, la categoría de espacios vectoriales topológicos contiene una subcategoría completa extremadamente amplia, la categoría Ste de espacios estereotipados , que es una * -categoría autónoma con el objeto dualizante y el producto tensorial .
Varios modelos de lógica lineal forman * categorías autónomas, la primera de las cuales fue la categoría de espacios de coherencia de Jean-Yves Girard .
La categoría de semirretículas completas con morfismos que preservan todas las uniones pero no necesariamente se reúnen es * -autónoma con dualizador de la cadena de dos elementos. Un ejemplo degenerado (todos los homsets de cardinalidad como máximo uno) viene dado por cualquier álgebra booleana (como un conjunto parcialmente ordenado ) hecho monoidal usando conjunción para el producto tensorial y tomando 0 como el objeto de dualización.
El formalismo de la dualidad de Verdier da más ejemplos de categorías autónomas *. Por ejemplo, Boyarchenko y Drinfeld (2013) mencionan que la categoría derivada acotada de gavillas l-ádicas construibles en una variedad algebraica tiene esta propiedad. Otros ejemplos incluyen categorías derivadas de roldanas construibles en varios tipos de espacios topológicos.
Un ejemplo de una categoría auto-dual que no es * -autónoma son los órdenes lineales finitos y las funciones continuas, que tiene * pero no es autónoma: su objeto de dualización es la cadena de dos elementos pero no hay un producto tensorial.
La categoría de conjuntos y sus inyecciones parciales es auto-dual porque lo contrario de este último es nuevamente una inyección parcial.
El concepto de categoría autónoma * fue introducido por Michael Barr en 1979 en una monografía con ese título. Barr definió la noción para la situación más general de las categorías V , categorías enriquecidas en una categoría V monoidal o autónoma simétrica . La definición anterior especializa la definición de Barr en el caso V = Conjunto de categorías ordinarias, aquellos cuyos homobjetos forman conjuntos (de morfismos). La monografía de Barr incluye un apéndice de su alumno Po-Hsiang Chu que desarrolla los detalles de una construcción debida a Barr que muestra la existencia de categorías V no triviales * autónomas para todas las categorías monoidales simétricas V con retrocesos, cuyos objetos se conocieron una década más tarde como Chu espacios .
Caso no simétrico
En una categoría monoidal bicerrada C , no necesariamente simétrica, todavía es posible definir un objeto dualizante y luego definir una categoría autónoma * como una categoría monoidal bicerrada con un objeto dualizante. Son definiciones equivalentes, como en el caso simétrico.
Referencias
- Michael Barr (1979). * -Categorías autónomas . Apuntes de clase en matemáticas. 752 . Springer-Verlag. doi : 10.1007 / BFb0064579 . ISBN 978-3-540-09563-7.
- Michael Barr (1995). "Categorías autónomas no simétricas *". Informática Teórica . 139 : 115-130. doi : 10.1016 / 0304-3975 (94) 00089-2 . S2CID 14721961 .
- Michael Barr (1999). "* -categorías autónomas: una vez más alrededor de la pista" (PDF) . Teoría y aplicaciones de categorías . 6 : 5-24.
- Boyarchenko, Mitya; Drinfeld, Vladimir (2013), "Un formalismo de dualidad en el espíritu de Grothendieck y Verdier", Quantum Topology , 4 (4): 447–489, arXiv : 1108.6020 , doi : 10.4171 / QT / 45 , MR 3134025