Circle Limit III es un grabado en madera realizado en 1959 por el artista holandés MC Escher , en el que "hileras de peces se disparan como cohetes desde infinitamente lejos" y luego "vuelven a caer de donde vinieron". [1]
Es uno de una serie de cuatro grabados en madera de Escher que representan ideas de geometría hiperbólica . El físico y matemático holandés Bruno Ernst lo llamó "el mejor de los cuatro". [2]
Inspiración
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/6/60/Hyperbolic_domains_642.png/180px-Hyperbolic_domains_642.png)
Escher se interesó en los teselados del avión después de una visita en 1936 a la Alhambra en Granada , España, [3] [4] y desde el momento de su obra Metamorfosis I de 1937 había comenzado a incorporar figuras humanas y animales teseladas en sus obras de arte. [4]
En una carta de 1958 de Escher a HSM Coxeter , Escher escribió que se inspiró para hacer su serie Circle Limit por una figura en el artículo de Coxeter "Crystal Symmetry and its Generalizations". [2] [3] La figura de Coxeter representa una teselación del plano hiperbólico por triángulos rectángulos con ángulos de 30 °, 45 ° y 90 °; los triángulos con estos ángulos son posibles en geometría hiperbólica pero no en geometría euclidiana. Esta teselación puede interpretarse como la representación de las líneas de reflexión y los dominios fundamentales del grupo de triángulos (6,4,2) . [5] Casselman (2010) ofrece un análisis elemental de la figura de Coxeter, tal como la habría entendido Escher . [6]
Geometría
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/thumb/f/f4/Circle_limits_III_with_overlay.png/220px-Circle_limits_III_with_overlay.png)
Escher parece haber creído que las curvas blancas de su grabado en madera, que bisecan al pez, representan líneas hiperbólicas en el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, en el que todo el plano hiperbólico se modela como un disco en el plano euclidiano, y líneas hiperbólicas. se modelan como arcos circulares perpendiculares al límite del disco. De hecho, Escher escribió que los peces se mueven "perpendicularmente al límite". [1] Sin embargo, como demostró Coxeter, no existe una disposición hiperbólica de líneas cuyas caras sean alternativamente cuadrados y triángulos equiláteros, como lo muestra la figura. Más bien, las curvas blancas son hiperciclos que se encuentran con el círculo límite en ángulos de cos −1 2 1/4 - 2 −1/4/2, aproximadamente 80 °. [2]
Los ejes de simetría de los triángulos y cuadrados que se encuentran entre las líneas blancas son verdaderas líneas hiperbólicas. Los cuadrados y triángulos del grabado en madera se parecen mucho al mosaico octogonal alternado del plano hiperbólico, que también presenta cuadrados y triángulos que se encuentran en el mismo patrón de incidencia. Sin embargo, la geometría precisa de estas formas no es la misma. En el mosaico octogonal alternado, los lados de los cuadrados y triángulos son segmentos de línea hiperbólicamente rectos, que no se enlazan en curvas suaves; en cambio, forman cadenas poligonales con esquinas. En el grabado en madera de Escher, los lados de los cuadrados y triángulos están formados por arcos de hiperciclos, que no son rectos en geometría hiperbólica, pero que se conectan suavemente entre sí sin esquinas.
Los puntos en los centros de los cuadrados, donde cuatro peces se encuentran en sus aletas, forman los vértices de un mosaico triangular de orden 8 , mientras que los puntos donde se juntan tres aletas de pescado y los puntos donde tres líneas blancas se cruzan forman los vértices de su dual , el alicatado octogonal . [2] Pueden construirse mosaicos similares por líneas de peces para otros mosaicos hiperbólicos formados por polígonos distintos de triángulos y cuadrados, o con más de tres curvas blancas en cada cruce. [7]
Las coordenadas euclidianas de los círculos que contienen las tres curvas blancas más prominentes en el grabado en madera se pueden obtener mediante cálculos en el campo de los números racionales extendidos por las raíces cuadradas de dos y tres. [8]
Simetría
Visto como un patrón, ignorando los colores del pez, en el plano hiperbólico, el grabado en madera tiene simetría rotacional triple y cuádruple en los centros de sus triángulos y cuadrados, respectivamente, y simetría diedro de orden tres (la simetría de un triángulo equilátero) en los puntos donde se cruzan las curvas blancas. En la notación orbifold de John Conway , este conjunto de simetrías se denota 433. Cada pez proporciona una región fundamental para este grupo de simetría. Contrariamente a las apariencias, los peces no tienen simetría bilateral : las curvas blancas del dibujo no son ejes de simetría de reflexión. [9] [10] Por ejemplo, el ángulo en la parte posterior de la aleta derecha es de 90 ° (donde se unen cuatro aletas), pero en la parte posterior de la aleta izquierda mucho más pequeña es de 120 ° (donde se juntan tres aletas).
Imprimir detalles
Los peces en Circle Limit III están representados en cuatro colores, lo que permite que cada cadena de peces tenga un solo color y que cada dos peces adyacentes tengan colores diferentes. Junto con la tinta negra utilizada para delinear el pez, el grabado en madera en general tiene cinco colores. Está impreso a partir de cinco bloques de madera, cada uno de los cuales proporciona uno de los colores dentro de un cuarto del disco, para un total de 20 impresiones. El diámetro del círculo exterior, tal como está impreso, es de 41,5 cm ( 16+3 ⁄ 8 pulgadas). [11]
Exhibiciones
Además de estar incluido en la colección del Museo Escher en La Haya , hay una copia de Circle Limit III en la colección de la Galería Nacional de Canadá . [12]
Referencias
- ↑ a b Escher, citado por Coxeter (1979) .
- ^ a b c d Coxeter, HSM (1979), "La simetría no euclidiana de la imagen de Escher 'Circle Limit III ' ", Leonardo , 12 : 19-25, JSTOR 1574078.
- ^ a b Emmer, Michele (2006), "Escher, Coxeter y simetría", International Journal of Geometric Methods in Modern Physics , 3 (5-6): 869-879, doi : 10.1142 / S0219887806001594 , MR 2264394.
- ^ a b Schattschneider, Doris (2010), "El lado matemático de MC Escher" (PDF) , Notices of the AMS , 57 (6): 706–718.
- ^ Coxeter amplió las matemáticas de las teselaciones de grupos de triángulos, incluida esta en Coxeter, HSM (1997), "La trigonometría de las teselaciones hiperbólicas", Canadian Mathematical Bulletin , 40 (2): 158-168, doi : 10.4153 / CMB-1997-019-0 , MR 1451269.
- ^ Casselman, Bill (junio de 2010), ¿Cómo lo hizo Escher? , Columna de funciones AMS.
- ^ Dunham, Douglas, "More" Circle Limit III "patterns", The Bridges Conference: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, Londres, 2006 (PDF).
- ^ Coxeter, HSM (2003), "The trigonometry of Escher's woodcut Circle Limit III ", MC Escher's Legacy: A Centennial Celebration , Springer, págs. 297-304, doi : 10.1007 / 3-540-28849-X_29.
- ^ Conway, JH (1992), "La notación orbifold para grupos de superficies", Groups, Combinatorics & Geometry (Durham, 1990) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 165 , Cambridge: Cambridge Univ. Prensa, págs. 438–447, doi : 10.1017 / CBO9780511629259.038 , MR 1200280. Conway escribió que "La obra Circle Limit III es igualmente intrigante" (en comparación con Circle Limit IV , que tiene un grupo de simetría diferente), y lo utiliza como ejemplo de este grupo de simetría.
- ^ Herford, Peter (1999), "La geometría de MC Escher's circle-Limit-Woodcuts", Zentralblatt für Didaktik der Mathematik , 31 (5): 144–148, doi : 10.1007 / BF02659805. Documento presentado en la 8ª Conferencia Internacional de Geometría, Nahsholim (Israel), del 7 al 14 de marzo de 1999.
- ^ Escher, MC (2001), MC Escher: La obra gráfica , Taschen , p. 10.
- ↑ Circle Limit III , National Gallery of Canada , consultado el 9 de julio de 2013.
enlaces externos
- Douglas Dunham Departamento de Ciencias de la Computación Universidad de Minnesota, Duluth
- Ejemplos basados en Circle Limits III y IV , 2006: Más patrones de "Circle Limit III" , 2007: Un cálculo de "Circle Limit III"