Azulejos triangulares Order-8 | |
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Modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico | |
Tipo | Mosaico hiperbólico regular |
Configuración de vértice | 3 8 |
Símbolo de Schläfli | {3,8} (3,4,3) |
Símbolo de Wythoff | 8 | 3 2 4 | 3 3 |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | [8,3], (* 832) [(4,3,3)], (* 433) [(4,4,4)], (* 444) |
Doble | Azulejos octogonal |
Propiedades | Vértice-transitivo , borde-transitivo , cara-transitivo |
En geometría , el mosaico triangular de orden 8 es un mosaico regular del plano hiperbólico . Está representado por el símbolo de Schläfli de {3,8} , que tiene ocho triángulos regulares alrededor de cada vértice.
Colorantes uniformes
La media simetría [1 + , 8,3] = [(4,3,3)] se puede mostrar alternando dos colores de triángulos:
Simetría
A partir de la simetría [(4,4,4)], hay 15 subgrupos de índice pequeño (7 únicos) por operadores de alternancia y eliminación de espejos. Los espejos se pueden eliminar si todos los pedidos de las sucursales son iguales y se reducen a la mitad los pedidos de las sucursales vecinas. Quitar dos espejos deja un punto de giro de medio orden donde se unen los espejos quitados. En estas imágenes, los dominios fundamentales se colorean alternativamente en blanco y negro, y existen espejos en los límites entre los colores. Agregar 3 espejos bisectantes en cada dominio fundamental crea 832 simetría . El subgrupo índice -8 grupo, [(1 + , 4,1 + , 4,1 + , 4)] (222222) es el subgrupo del conmutador de [(4,4,4)].
Se construye un subgrupo más grande [(4,4,4 * )], índice 8, ya que (2 * 2222) con los puntos de giro eliminados, se convierte en (* 22222222).
La simetría se puede duplicar a 842 simetría agregando un espejo bisector a través de los dominios fundamentales. La simetría se puede extender en 6, como simetría 832 , en 3 espejos bisectantes por dominio.
Índice | 1 | 2 | 4 | |||
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Diagrama | ||||||
Coxeter | [(4,4,4)] | [(1 + , 4,4,4)] = | [(4,1 + , 4,4)] = | [(4,4,1 + , 4)] = | [(1 + , 4,1 + , 4,4)] | [(4 + , 4 + , 4)] |
Orbifold | * 444 | * 4242 | 2 * 222 | 222 × | ||
Diagrama | ||||||
Coxeter | [(4,4 + , 4)] | [(4,4,4 + )] | [(4 + , 4,4)] | [(4,1 + , 4,1 + , 4)] | [(1 + , 4,4,1 + , 4)] = | |
Orbifold | 4 * 22 | 2 * 222 | ||||
Subgrupos directos | ||||||
Índice | 2 | 4 | 8 | |||
Diagrama | ||||||
Coxeter | [(4,4,4)] + | [(4,4 + , 4)] + = | [(4,4,4 + )] + = | [(4 + , 4,4)] + = | [(4,1 + , 4,1 + , 4)] + = | |
Orbifold | 444 | 4242 | 222222 | |||
Subgrupos radicales | ||||||
Índice | 8 | dieciséis | ||||
Diagrama | ||||||
Coxeter | [(4,4 *, 4)] | [(4,4,4 *)] | [(4 *, 4,4)] | [(4,4 *, 4)] + | [(4,4,4 *)] + | [(4 *, 4,4)] + |
Orbifold | * 22222222 | 22222222 |
Poliedros y teselados relacionados
* n 32 mutación de simetría de teselaciones regulares: {3, n } | |||||||||||
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Esférico | Euclides. | Hiper compacto. | Paraco. | Hiperbólico no compacto | |||||||
3.3 | 3 3 | 3 4 | 3 5 | 3 6 | 3 7 | 3 8 | 3 ∞ | 3 12i | 3 9i | 3 6i | 3 3i |
De una construcción de Wythoff hay diez mosaicos uniformes hiperbólicos que pueden basarse en los mosaicos octagonales regulares y triangulares de orden 8.
Dibujando los mosaicos de color rojo en las caras originales, amarillo en los vértices originales y azul a lo largo de los bordes originales, hay 10 formas.
Azulejos uniformes octogonales / triangulares | |||||||||||||
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Simetría: [8,3], (* 832) | [8,3] + (832) | [1 + , 8,3] (* 443) | [8,3 + ] (3 * 4) | ||||||||||
{8,3} | t {8,3} | r {8,3} | t {3,8} | {3,8} | rr {8,3} s 2 {3,8} | tr {8,3} | sr {8,3} | h {8,3} | h 2 {8,3} | s {3,8} | |||
o | o | ||||||||||||
Duales uniformes | |||||||||||||
V8 3 | V3.16.16 | V3.8.3.8 | V6.6.8 | V3 8 | V3.4.8.4 | V4.6.16 | V3 4 .8 | V (3,4) 3 | V8.6.6 | V3 5 .4 | |||
Mosaicos regulares: {n, 8} | |||||||||||
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Esférico | Azulejos hiperbólicos | ||||||||||
{2,8} | {3,8} | {4,8} | {5,8} | {6,8} | {7,8} | {8,8} | ... | {∞, 8} |
También se puede generar a partir de los mosaicos hiperbólicos (4 3 3):
Azulejos uniformes (4,3,3) | |||||||||||
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Simetría: [(4,3,3)], (* 433) | [(4,3,3)] + , (433) | ||||||||||
h {8,3} t 0 (4,3,3) | r {3,8} 1 / 2 t 0,1 (4,3,3) | h {8,3} t 1 (4,3,3) | h 2 {8,3} t 1,2 (4,3,3) | {3,8} 1 / 2 t 2 (4,3,3) | h 2 {8,3} t 0,2 (4,3,3) | t {3,8} 1 / 2 t 0,1,2 (4,3,3) | s {3,8} 1 / 2 s (4,3,3) | ||||
Duales uniformes | |||||||||||
V (3,4) 3 | V3.8.3.8 | V (3,4) 3 | V3.6.4.6 | V (3,3) 4 | V3.6.4.6 | V6.6.8 | V3.3.3.3.3.4 |
Azulejos uniformes (4,4,4) | |||||||||||
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Simetría: [(4,4,4)], (* 444) | [(4,4,4)] + (444) | [(1 + , 4 , 4 , 4)] (* 4242) | [(4 + , 4,4)] (4 * 22) | ||||||||
t 0 (4,4,4) h {8,4} | t 0,1 (4,4,4) h 2 {8,4} | t 1 (4,4,4) {4,8} 1 / 2 | t 1,2 (4,4,4) h 2 {8,4} | t 2 (4,4,4) h {8,4} | t 0,2 (4,4,4) r {4,8} 1 / 2 | t 0,1,2 (4,4,4) t {4,8} 1 / 2 | s (4,4,4) s {4,8} 1 / 2 | h (4,4,4) h {4,8} 1 / 2 | hr (4,4,4) hr {4,8} 1 / 2 | ||
Duales uniformes | |||||||||||
V (4,4) 4 | V4.8.4.8 | V (4,4) 4 | V4.8.4.8 | V (4,4) 4 | V4.8.4.8 | V8.8.8 | V3.4.3.4.3.4 | V8 8 | V (4,4) 3 |
Ver también
- Nido de abeja tetraédrico Order-8
- Mosaicos de polígonos regulares
- Lista de teselaciones planas uniformes
- Lista de politopos regulares
Referencias
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 19, Las teselaciones hiperbólicas de Arquímedes)
- "Capítulo 10: panales regulares en el espacio hiperbólico". La belleza de la geometría: doce ensayos . Publicaciones de Dover. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Mosaico hiperbólico" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Disco hiperbólico de Poincaré" . MathWorld .
- Galería de mosaico hiperbólico y esférico
- KaleidoTile 3: software educativo para crear mosaicos esféricos, planos e hiperbólicos
- Teselaciones planas hiperbólicas, Don Hatch