grupo circular
En matemáticas , el círculo grupo , denotado por o 1 , es el grupo multiplicativo de todos los números complejos con valor absoluto 1, es decir, el círculo unitario en el plano complejo o simplemente los números complejos unitarios [1]
La notación para el grupo circular surge del hecho de que, con la topología estándar (ver más abajo), el grupo circular es un toro de 1 . Más generalmente (el producto directo de tiempos consigo mismo ) es geométricamente un toroide.
Una forma de pensar en el grupo circular es que describe cómo agregar ángulos , donde solo se permiten ángulos entre 0° y 360°. Por ejemplo, el diagrama ilustra cómo sumar 150° a 270°. La respuesta debería ser 150° + 270° = 420° , pero cuando pensamos en términos del grupo circular, debemos "olvidar" el hecho de que hemos dado una vuelta al círculo. Por lo tanto, ajustamos nuestra respuesta en 360°, lo que da 420° = 60° ( mod 360° ).
Otra descripción es en términos de suma ordinaria, donde solo se permiten números entre 0 y 1 (donde 1 corresponde a una rotación completa). Para lograr esto, es posible que debamos descartar los dígitos que se encuentran antes del punto decimal. Por ejemplo, cuando calculamos 0,784 + 0,925 + 0,446 , la respuesta debería ser 2,155, pero descartamos el 2 inicial, por lo que la respuesta (en el grupo circular) es solo 0,155.
El grupo circular es más que un simple objeto algebraico abstracto. Tiene una topología natural cuando se considera como un subespacio del plano complejo. Desde la multiplicación y la inversión son funciones continuas sobre , el grupo de círculo tiene la estructura de un grupo topológico . Además, dado que el círculo unitario es un subconjunto cerrado del plano complejo, el grupo circular es un subgrupo cerrado de (en sí mismo considerado como un grupo topológico).
Se puede decir aún más. El círculo es una variedad real unidimensional y la multiplicación y la inversión son mapas analíticos reales en el círculo. Esto le da al grupo circular la estructura de un grupo de un parámetro , una instancia de un grupo de Lie . De hecho, salvo isomorfismo, es el único grupo de Lie conectado , compacto unidimensional. Además, cada grupo de Lie abeliano compacto, conectado y dimensional es isomorfo a .
