Cissoide

En geometría , un cissoide es una curva generada a partir de dos curvas determinadas C ₁ , C ₂ y un punto O (el polo ). Sea L una línea variable que pasa por O e interseca C ₁ en P ₁ y C ₂ en P ₂ . Sea P el punto en L de modo que OP = P ₁ P ₂ . (En realidad, hay dos de esos puntos, pero P se elige de modo que P esté en la misma dirección que Ocomo P ₂ es de P ₁ ). A continuación, el locus de tales puntos P se define para ser la cisoide de las curvas C ₁ , C ₂ en relación con O .

Diferentes autores utilizan definiciones ligeramente diferentes pero esencialmente equivalentes. Por ejemplo, P puede definirse como el punto de modo que OP = OP ₁ + OP ₂ . Esto es equivalente a la otra definición si C ₁ se sustituye por su reflexión a través de O . O P puede definirse como el punto medio de P ₁ y P ₂ ; esto produce la curva generada por la curva anterior escalada por un factor de 1/2.

La palabra "cissoide" viene del griego : κισσοειδής , lit.  'en forma de hiedra' de κισσός , 'ivy' y -οειδής , 'que tiene la semejanza de'.

Ecuaciones

Si C ₁ y C ₂ se dan en coordenadas polares por y respectivamente, entonces la ecuación describe el cissoide de C ₁ y C _{2 en} relación con el origen. Sin embargo, debido a que un punto puede representarse de múltiples formas en coordenadas polares, puede haber otras ramas del cissoide que tengan una ecuación diferente. Específicamente, C ₁ también viene dado por ${\displaystyle r=f_{1}(\theta )}$${\displaystyle r=f_{2}(\theta )}$${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )}$

${\displaystyle r=-f_{1}(\theta +\pi ),\ r=-f_{1}(\theta -\pi ),\ r=f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$.

Entonces el cissoide es en realidad la unión de las curvas dadas por las ecuaciones

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta +\pi ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta -\pi ),\ }$

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$.

Se puede determinar de forma individual en función de los períodos de f ₁ y f ₂ , cuál de estas ecuaciones puede eliminarse por duplicación.

Elipse en rojo, con sus dos ramas cissoides en negro y azul (origen)${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}}$

Por ejemplo, sean C ₁ y C ₂ la elipse

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}}$.

La primera rama del cissoide está dada por

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}-{\frac {1}{2-\cos \theta }}=0}$,

que es simplemente el origen. La elipse también está dada por

${\displaystyle r={\frac {-1}{2+\cos \theta }}}$,

por lo que una segunda rama del cissoide viene dada por

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}+{\frac {1}{2+\cos \theta }}}$

que es una curva de forma ovalada.

Si cada C ₁ y C ₂ están dados por las ecuaciones paramétricas

${\displaystyle x=f_{1}(p),\ y=px}$

y

${\displaystyle x=f_{2}(p),\ y=px}$,

entonces el cissoide relativo al origen viene dado por

${\displaystyle x=f_{2}(p)-f_{1}(p),\ y=px}$.

Casos específicos

Cuando C ₁ es un círculo con centro O, entonces el cissoide es concoide de C ₂ .

Cuando C ₁ y C ₂ son líneas paralelas, entonces el cissoide es una tercera línea paralela a las líneas dadas.

Hipérbolas

Sean C ₁ y C ₂ dos rectas no paralelas y sea O el origen. Que las ecuaciones polares de C ₁ y C ₂ be

${\displaystyle r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}}$

y

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}}$.

Por rotación a través del ángulo , podemos asumir eso . Entonces el cissoide de C ₁ y C ₂ relativo al origen viene dado por${\displaystyle (\alpha _{1}-\alpha 2)/2}$${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha }$

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )}}-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )}}}$

${\displaystyle ={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\theta -\alpha )}}}$

${\displaystyle ={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}}$.

La combinación de constantes da

${\displaystyle r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

que en coordenadas cartesianas es

${\displaystyle x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy}$.

Esta es una hipérbola que pasa por el origen. Entonces, el cissoide de dos líneas no paralelas es una hipérbola que contiene el polo. Una derivación similar muestra que, a la inversa, cualquier hipérbola es el cissoide de dos líneas no paralelas en relación con cualquier punto de ella.

Cisoides de Zahradnik

Un cissoide de Zahradnik (llamado así por Karel Zahradnik ) se define como el cissoide de una sección cónica y una línea relativa a cualquier punto de la cónica. Se trata de una amplia familia de curvas cúbicas racionales que contiene varios ejemplos bien conocidos. Específicamente:

• La Trisectrix de Maclaurin dada por

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$

es el cissoide del círculo y la línea relativa al origen.${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$

• El estrofoide correcto

${\displaystyle y^{2}(a+x)=x^{2}(a-x)}$

es el cissoide del círculo y la línea relativa al origen.${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle x=-a}$

• El cisoide de Diocles

${\displaystyle x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0}$

es el cissoide del círculo y la línea relativa al origen. Esta es, de hecho, la curva por la que se nombra a la familia y algunos autores se refieren a esto simplemente como cissoide.${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle x=-2a}$

• El cissoide del círculo y la línea , donde k es un parámetro, se llama concoide de de Sluze . (Estas curvas no son en realidad concoides). Esta familia incluye los ejemplos anteriores.${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle x=ka}$
• El folio de Descartes

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$

es el cissoide de la elipse y la línea relativa al origen. Para ver esto, tenga en cuenta que la línea se puede escribir${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)}$${\displaystyle x+y=-a}$

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}},\ y=px}$

y la elipse se puede escribir

${\displaystyle x=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=px}$.

Entonces el cissoide viene dado por

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{1+p^{3}}},\ y=px}$

que es una forma paramétrica del folio.

Ver también

• Concoide
• Estrófoide

Referencias

• J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover. págs.  53–56 . ISBN 0-486-60288-5.
• CA Nelson "Nota sobre cúbicos planos racionales" Bull. Amer. Matemáticas. Soc. Volumen 32, Número 1 (1926), 71-76.

Enlaces externos

• "Cissoid" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Cissoid" . MathWorld .
• Curvas 2D