En geometría , el cissoide de Diocles es una curva plana cúbica que se destaca por la propiedad de que puede usarse para construir dos medias proporcionales a una razón dada . En particular, se puede utilizar para doblar un cubo . Puede definirse como el cissoide de un círculo y una línea tangente a él con respecto al punto del círculo opuesto al punto de tangencia. De hecho, la familia de curvas de cisoides se nombra para este ejemplo y algunos autores se refieren a ella simplemente como la cisoide. Tiene una sola cúspideen el polo, y es simétrico con respecto al diámetro del círculo que es la línea de tangencia de la cúspide. La línea es una asíntota . Es un miembro de la familia de curvas concoides de de Sluze y en forma se asemeja a una tractriz .
La palabra "cissoide" proviene del griego κισσοειδής kissoeidēs "en forma de hiedra " de κισσός kissos "hiedra" y -οειδής - oeidēs "que tiene la semejanza de". La curva lleva el nombre de Diocles, quien la estudió en el siglo II a. C.
Construcción y ecuaciones
Deje el radio de C sea una . Por traslación y rotación, podemos tomar O como el origen y el centro del círculo como ( a , 0), entonces A es (2 a , 0). Entonces las ecuaciones polares de L y C son:
- .
Por construcción, la distancia desde el origen a un punto de la cisoide es igual a la diferencia entre las distancias entre el origen y los puntos correspondientes en L y C . En otras palabras, la ecuación polar del cissoide es
- .
Aplicando algunas identidades trigonométricas, esto equivale a
- .
Dejar en la ecuación anterior. Luego
son ecuaciones paramétricas para el cissoide.
La conversión de la forma polar a coordenadas cartesianas produce
Construcción por doble proyección
Una construcción de compás y regla no graduada de varios puntos en el cissoide procede de la siguiente manera. Dada una línea L y un punto O no en L , la construcción de la línea L' a través de O en paralelo a L . Elija un punto variable P en L y construya Q , la proyección ortogonal de P en L ' , luego R , la proyección ortogonal de Q en OP . Entonces el cisoide es el lugar geométrico de los puntos R .
Para ver esto, sea O el origen y L la línea x = 2a como arriba. Sea P el punto (2 a , 2 en ); entonces Q es (0, 2 en ) y la ecuación de la línea OP es y = tx . La línea que pasa por Q perpendicular a OP es
- .
Para encontrar el punto de intersección R , establezca y = tx en esta ecuación para obtener
que son las ecuaciones paramétricas dadas arriba.
Si bien esta construcción produce arbitrariamente muchos puntos en el cissoide, no puede trazar ningún segmento continuo de la curva.
Construcción de Newton
Isaac Newton dio la siguiente construcción . Deje que J sea una línea y la B un punto exterior a J . Deje BST sea un ángulo recto, que se mueve de manera que ST es igual a la distancia de B a J y T permanece en J , mientras que la otra pierna BS desliza a lo largo B . Entonces, el punto medio P de ST describe la curva.
Para ver esto, [1] sea la distancia entre B y J 2 a . Por traslación y rotación, tome B = (−a, 0) y J la línea x = a . Sea P = ( x , y ) y sea ψ el ángulo entre SB y el eje x ; esto es igual al ángulo entre ST y J . Por construcción, PT = a , por lo que la distancia de P a J es un pecado ψ. En otras palabras, a - x = a sin ψ. Además, SP = a es la coordenada y de ( x , y ) si se rota en un ángulo ψ, entonces a = ( x + a ) sin ψ + y cos ψ. Después de la simplificación, esto produce ecuaciones paramétricas.
Cambie los parámetros reemplazando ψ con su complemento para obtener
o, aplicando fórmulas de doble ángulo,
Pero esta es la ecuación polar
dado arriba con θ = Ψ / 2.
Tenga en cuenta que, al igual que con la construcción de doble proyección, esto se puede adaptar para producir un dispositivo mecánico que genera la curva.
Problema de Delian
El geómetra griego Diocles usó el cissoide para obtener dos medias proporcionales a una razón dada . Esto significa que dado longitudes de un y b , la curva se pueden utilizar para encontrar u y v para que una es a u como u es v como v es b es decir, una / u = u / v = v / b , como descubierto por Hipócrates de Quíos . Como caso especial, esto se puede utilizar para resolver el problema de Delian: ¿cuánto debe aumentarse la longitud de un cubo para duplicar su volumen ? Específicamente, si a es el lado de un cubo y b = 2 a , entonces el volumen de un cubo de lado u es
entonces u es el lado de un cubo con el doble del volumen del cubo original. Sin embargo, tenga en cuenta que esta solución no entra dentro de las reglas de construcción de la regla y el compás, ya que se basa en la existencia del cissoide.
Deje una y b ser dado. Es necesario encontrar u modo que u 3 = un 2 b , dando u y v = u 2 / a como las medias proporcionales. Deje que el cissoide
construirse como arriba, con O el origen, A el punto (2 a , 0) y J la recta x = a , también como se indicó anteriormente. Sea C el punto de intersección de J con OA . De la longitud dada b , marque B en J de modo que CB = b . Dibuja BA y deja que P = ( x , y ) sea el punto donde se cruza con el cissoide. Dibuje OP y dejar que se cruzan J en U . Entonces u = CU es la longitud requerida.
Para ver esto, [2] reescribe la ecuación de la curva como
y dejar que N = ( x , 0), por lo PN es la perpendicular a OA a través de P . De la ecuación de la curva,
De esto,
Por triángulos semejantes PN / ON = UC / OC y PN / NA = AC / CA . Entonces la ecuación se convierte en
entonces
según sea necesario.
Diocles no resolvió realmente el problema de Delos. La razón es que el cissoide de Diocles no se puede construir perfectamente, al menos no con compás y regla. Para construir el cissoide de Diocles, uno construiría un número finito de sus puntos individuales, luego conectaría todos estos puntos para formar una curva. El problema es que no existe una forma bien definida de conectar los puntos. Si están conectados por segmentos de línea, entonces la construcción estará bien definida, pero no será un cissoide exacto de Diocles, sino solo una aproximación. Asimismo, si los puntos están conectados con arcos circulares, la construcción estará bien definida, pero incorrecta. O simplemente se podría dibujar una curva directamente, tratando de observar la forma de la curva, pero el resultado solo sería una conjetura imprecisa.
Una vez que se ha dibujado el conjunto finito de puntos en el cissoide, entonces la línea PC probablemente no intersecará uno de estos puntos exactamente, sino que pasará entre ellos, cruzando el cissoide de Diocles en algún punto cuya ubicación exacta no se ha construido, pero se ha sólo se ha aproximado. Una alternativa es seguir agregando puntos construidos al cissoide que se acercan cada vez más a la intersección con la línea PC , pero el número de pasos puede ser infinito, y los griegos no reconocían las aproximaciones como límites de pasos infinitos (por lo que eran muy desconcertado por las paradojas de Zenón ).
También se podría construir un cisoide de Diocles por medio de una herramienta mecánica especialmente diseñada para ese propósito, pero esto viola la regla de usar solo brújula y regla. Esta regla se estableció por razones de coherencia lógica - axiomática. Permitir la construcción con nuevas herramientas sería como agregar nuevos axiomas , pero se supone que los axiomas son simples y evidentes por sí mismos, pero tales herramientas no lo son. Entonces, según las reglas de la geometría sintética clásica, Diocles no resolvió el problema de Delos, que en realidad no puede resolverse por tales medios.
Por otro lado, si se acepta que cisoides de Diocles hacen existir , entonces debe existir al menos un ejemplo de un cisoide tales. Este cissoide podría luego trasladarse, rotarse y expandirse o contraerse en tamaño (sin cambiar su forma proporcional ) a voluntad para encajar en cualquier posición. Entonces uno fácilmente admitiría que tal cissoide puede usarse para resolver correctamente el problema de Delian.
Como una curva de pedal
La curva de pedal de una parábola con respecto a su vértice es un cissoide de Diocles. [3] Las propiedades geométricas de las curvas del pedal en general producen varios métodos alternativos de construcción del cissoide. Son las envolventes de círculos cuyos centros se encuentran en una parábola y que pasan por el vértice de la parábola. Además, si se establecen dos parábolas congruentes vértice a vértice y una se rueda a lo largo de la otra; el vértice de la parábola rodante trazará el cissoide.
Inversión
El cissoide de Diocles también se puede definir como la curva inversa de una parábola con el centro de inversión en el vértice. Para ver esto, tome la parábola como x = y 2 , en coordenada polar o:
La curva inversa es así:
que concuerda con la ecuación polar del cissoide anterior.
Referencias
- ^ Ver Basset para la derivación, muchas otras fuentes dan la construcción.
- ^ Proof es una versión ligeramente modificada de la dada en Basset.
- ^ J. Edwards (1892). Cálculo diferencial . Londres: MacMillan and Co. p. 166 , ejemplo 3.
- J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover. págs. 95, 98-100 . ISBN 0-486-60288-5.
- Weisstein, Eric W. "Cissoide de Diocles" . MathWorld .
- "Cissoide de Diocles" en Diccionario visual de curvas planas especiales
- "Cissoide de Diocles" en el índice de curvas famosas de MacTutor
- "Cissoid" en 2dcurves.com
- "Cissoïde de Dioclès ou Cissoïde Droite" en Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (en francés)
- "El cissoide" Un tratado elemental sobre curvas cúbicas y cuárticas Alfred Barnard Basset (1901) Cambridge pp. 85ff