William Rowan Hamilton inventó los cuaterniones , una entidad matemática en 1843. Este artículo describe el tratamiento original de Hamilton de los cuaterniones, usando su notación y términos. El tratamiento de Hamilton es más geométrico que el enfoque moderno, que enfatiza las propiedades algebraicas de los cuaterniones . Matemáticamente, los cuaterniones discutidos difieren de la definición moderna solo por la terminología que se utiliza.
Elementos clásicos de un cuaternión
Hamilton definió un cuaternión como el cociente de dos líneas dirigidas en un espacio tridimensional ; [1] o, más generalmente, como el cociente de dos vectores. [2]
Un cuaternión se puede representar como la suma de un escalar y un vector . También se puede representar como el producto de su tensor y su versor .
Escalar
Hamilton inventó el término escalares para los números reales , porque abarcan la "escala de progresión desde el infinito positivo al negativo" [3] o porque representan la "comparación de posiciones en una escala común". [4] Hamilton consideraba el álgebra escalar ordinaria como la ciencia del tiempo puro. [5]
Vector
Hamilton definió un vector como "una línea recta ... que no solo tiene longitud sino también dirección". [6] Hamilton derivó la palabra vector del latín vehere , llevar. [7]
Hamilton concibió un vector como la "diferencia de sus dos puntos extremos". [6] Para Hamilton, un vector era siempre una entidad tridimensional, que tenía tres coordenadas relativas a cualquier sistema de coordenadas dado, incluidos, entre otros, los sistemas polares y rectangulares . [8] Por lo tanto, se refirió a los vectores como "tripletes".
Hamilton definió la suma de vectores en términos geométricos, colocando el origen del segundo vector al final del primero. [9] Continuó definiendo la resta de vectores.
Añadiendo un vector a sí mismo varias veces, definió la multiplicación de un vector por un número entero , luego lo extendió a la división por un número entero y la multiplicación (y división) de un vector por un número racional. Finalmente, tomando límites, definió el resultado de multiplicar un vector α por cualquier escalar x como un vector β con la misma dirección que α si x es positivo; la dirección opuesta a α si x es negativo; y una longitud que es | x | veces la longitud de α. [10]
El cociente de dos vectores paralelos o antiparalelos es, por tanto, un escalar con valor absoluto igual a la relación de las longitudes de los dos vectores; el escalar es positivo si los vectores son paralelos y negativo si son antiparalelos. [11]
Vector unitario
Un vector unitario es un vector de longitud uno. Los ejemplos de vectores unitarios incluyen i, j y k.
Tensor
- Nota: El uso de la palabra tensor por Hamilton no coincide con la terminología moderna. El tensor de Hamilton es en realidad el valor absoluto en el álgebra del cuaternión, lo que lo convierte en un espacio vectorial normalizado .
Hamilton definió el tensor como una cantidad numérica positiva o, más propiamente, un número sin signo. [12] [13] [14] Un tensor puede considerarse un escalar positivo. [15] Se puede pensar que el "tensor" representa un "factor de estiramiento". [dieciséis]
Hamilton introdujo el término tensor en su primer libro, Lectures on Quaternions, basado en conferencias que dio poco después de su invención de los cuaterniones:
- parece conveniente ampliar por definición el significado del nuevo tensor de la palabra, para hacerlo capaz de incluir también aquellos otros casos en los que operamos sobre una línea disminuyendo en lugar de aumentar su longitud; y generalmente alterando esa longitud en cualquier proporción definida. Así tendremos (como se insinuó al final del artículo en cuestión) tendremos tensores fraccionarios e incluso inconmensurables , que serán simplemente multiplicadores numéricos, y todos serán positivos o (para hablar más correctamente) Números sin signo , es decir, desnudos con los signos algebraicos de positivo y negativo ; porque, en la operación aquí considerada, nos abstraemos de las direcciones (así como de las situaciones) de las líneas que se comparan u operan.
Cada cuaternión tiene un tensor, que es una medida de su magnitud (del mismo modo que la longitud de un vector es una medida de la magnitud de un vector). Cuando un cuaternión se define como el cociente de dos vectores, su tensor es la razón de las longitudes de estos vectores.
Versor
Un versor es un cuaternión con un tensor de 1. Alternativamente, un versor se puede definir como el cociente de dos vectores de igual longitud. [17] [18]
En general, un versor define todo lo siguiente: un eje direccional; el plano normal a ese eje; y un ángulo de rotación. [19]
Cuando se multiplican un versor y un vector que se encuentra en el plano del versor, el resultado es un nuevo vector de la misma longitud pero girado por el ángulo del versor.
Arco vectorial
Dado que cada vector unitario puede considerarse como un punto en una esfera unitaria , y dado que un versor puede considerarse como el cociente de dos vectores, un versor tiene un gran arco de círculo representativo , llamado arco vectorial , que conecta estos dos puntos, extraído del divisor o parte inferior del cociente, al dividendo o parte superior del cociente. [20] [21]
Versor derecho
Cuando el arco de un versor tiene la magnitud de un ángulo recto , entonces se llama versor recto , versor radial o cuadrante recto .
Formas degeneradas
Hay dos casos versores degenerados especiales, llamados escalares unitarios. [22] Estos dos escalares (unidad negativa y positiva) pueden considerarse cuaterniones escalares . Estos dos escalares son casos límite especiales, correspondientes a versores con ángulos de cero o π.
A diferencia de otros versores, estos dos no se pueden representar mediante un arco único. El arco de 1 es un solo punto, y –1 se puede representar con un número infinito de arcos, porque hay un número infinito de líneas más cortas entre los puntos antípodas de una esfera.
Cuaternio
Cada cuaternión se puede descomponer en un escalar y un vector.
Estas dos operaciones S y V se denominan "tomar el escalar de" y "tomar el vector de" un cuaternión. La parte vectorial de un cuaternión también se denomina parte derecha. [23]
Cada cuaternión es igual a un versor multiplicado por el tensor del cuaternión. Denotando el versor de un cuaternión por
y el tensor de un cuaternión por
tenemos
Cuaternión derecho
Un cuaternión derecho es un cuaternión cuyo componente escalar es cero,
El ángulo de un cuaternión recto es de 90 grados. Un cuaternión derecho también se puede considerar como un vector más un escalar cero. Los cuaterniones derechos se pueden poner en lo que se llamó la forma trinomial estándar. Por ejemplo, si Q es un cuaternión derecho, se puede escribir como:
- [24]
Cuatro operaciones
Cuatro operaciones son de fundamental importancia en la notación de cuaterniones. [25]
- + - ÷ ×
En particular, es importante entender que hay una sola operación de multiplicación, una sola operación de división y una sola operación de suma y resta. Este único operador de multiplicación puede operar en cualquiera de los tipos de entidades matemáticas. Asimismo, todo tipo de entidad se puede dividir, sumar o restar de cualquier otro tipo de entidad. Comprender el significado del símbolo de resta es fundamental en la teoría del cuaternión, porque conduce a la comprensión del concepto de vector.
Operadores ordinales
Las dos operaciones ordinales en la notación clásica de cuaterniones eran la suma y la resta o + y -.
Estas marcas son:
"... características de síntesis y análisis de un estado de progresión, según se considere que este estado se deriva de, o se compara con, algún otro estado de esa progresión". [26]
Sustracción
La resta es un tipo de análisis llamado análisis ordinal [27]
... consideremos ahora el espacio como el campo de progresión que se va a estudiar, y los PUNTOS como estados de esa progresión. ... Me veo llevado a considerar la palabra "Menos", o la marca -, en geometría, como el signo o característica del análisis de una posición geométrica (en el espacio), en comparación con otra (tal) posición. La comparación de un punto matemático con otro con miras a la determinación de lo que se puede llamar su relación ordinal, o su posición relativa en el espacio ... [28]
El primer ejemplo de resta es tomar el punto A para representar la tierra y el punto B para representar el sol, luego una flecha dibujada de A a B representa el acto de mover o vección de A a B.
- B - A
esto representa el primer ejemplo en las conferencias de Hamilton de un vector. En este caso el acto de viajar de la tierra a la luna. [29] [30]
Adición
La suma es un tipo de análisis llamado síntesis ordinal. [31]
Suma de vectores y escalares
Se pueden agregar vectores y escalares. Cuando se agrega un vector a un escalar, una entidad completamente diferente, se crea un cuaternión.
Un vector más un escalar es siempre un cuaternión incluso si el escalar es cero. Si el escalar agregado al vector es cero, entonces el nuevo cuaternión producido se llama cuaternión derecho. Tiene una característica de ángulo de 90 grados.
Operaciones cardinales
Las dos operaciones cardinales [32] en notación de cuaterniones son multiplicación geométrica y división geométrica y se pueden escribir:
- ÷, ×
No es necesario aprender los siguientes términos más avanzados para usar la división y la multiplicación.
La división es un tipo de análisis llamado análisis cardinal. [33] La multiplicación es un tipo de síntesis llamada síntesis cardinal [34]
División
Clásicamente, el cuaternión se veía como la proporción de dos vectores, a veces llamado fracción geométrica.
Si OA y OB representan dos vectores dibujados desde el origen O a otros dos puntos A y B, entonces la fracción geométrica se escribió como
Alternativamente, si los dos vectores están representados por α y β, el cociente se escribió como
o
Hamilton afirma: "El cociente de dos vectores es generalmente un cuaternión". [35] Lectures on Quaternions también introduce primero el concepto de un cuaternión como el cociente de dos vectores:
Lógicamente y por definición, [36] [37]
Si
luego .
En el cálculo de Hamilton el producto no es conmutativo , es decir, el orden de las variables es de gran importancia. Si se invirtiera el orden de q y β, el resultado no sería en general α. Se puede pensar en el cuaternión q como un operador que cambia β en α, primero rotándolo, antes un acto de versión y luego cambiando su longitud, antes llamado acto de tensión .
También, por definición, el cociente de dos vectores es igual al numerador multiplicado por el recíproco del denominador . Dado que la multiplicación de vectores no es conmutativa, el orden no se puede cambiar en la siguiente expresión.
Nuevamente, el orden de las dos cantidades en el lado derecho es significativo.
Hardy presenta la definición de división en términos de reglas de cancelación mnemotécnicas. "Cancelación de la ejecución mediante un golpe hacia arriba con la mano derecha". [38]
Si alfa y beta son vectores yq es un cuaternión tal que
luego
y [39]
- y son operaciones inversas, tales que:
- y [40]
y
- [41]
Una forma importante de pensar en q es como un operador que cambia β en α, primero rotándolo ( versión ) y luego cambiando su longitud (tensión).
- [42]
División de los vectores unitarios i , j , k
Los resultados de usar el operador de división en i , j y k fueron los siguientes. [43]
El recíproco de un vector unitario es el vector invertido. [44]
Debido a que un vector unitario y su recíproco son paralelos entre sí pero apuntan en direcciones opuestas, el producto de un vector unitario y su recíproco tienen una propiedad conmutativa de caso especial, por ejemplo, si a es cualquier vector unitario, entonces: [45]
Sin embargo, en el caso más general que involucra a más de un vector (sea o no un vector unitario), la propiedad conmutativa no se cumple. [46] Por ejemplo:
- ≠
Esto se debe a que k / i se define cuidadosamente como:
- .
Así que eso:
- ,
sin embargo
División de dos vectores paralelos
Mientras que en general el cociente de dos vectores es un cuaternión, si α y β son dos vectores paralelos, entonces el cociente de estos dos vectores es un escalar. Por ejemplo, si
,
y luego
Donde a / b es un escalar. [47]
División de dos vectores no paralelos
El cociente de dos vectores es, en general, el cuaternión:
Donde α y β son dos vectores no paralelos, φ es el ángulo entre ellos y ε es un vector unitario perpendicular al plano de los vectores α y β, con su dirección dada por la regla estándar de la mano derecha. [48]
Multiplicación
La notación clásica de cuaterniones solo tenía un concepto de multiplicación. La multiplicación de dos números reales, dos números imaginarios o un número real por un número imaginario en el sistema de notación clásico era la misma operación.
La multiplicación de un escalar y un vector se realizó con el mismo operador de multiplicación simple; la multiplicación de dos vectores de cuaterniones utilizó esta misma operación que la multiplicación de un cuaternión y un vector o de dos cuaterniones.
Factor, Faciend y Factum
- Factor × Faciend = Factum [49]
Cuando se multiplican dos cantidades, la primera cantidad se llama factor, [50] la segunda cantidad se llama factor facial y el resultado se llama factum.
Distributivo
En notación clásica, la multiplicación era distributiva . Comprender esto hace que sea sencillo ver por qué el producto de dos vectores en notación clásica produjo un cuaternión.
Usando la tabla de multiplicar de cuaterniones tenemos:
Luego recolectando términos:
Los primeros tres términos son escalares.
Dejando
De modo que el producto de dos vectores es un cuaternión y se puede escribir en la forma:
Producto de dos cuaterniones derechos
El producto de dos cuaterniones rectos es generalmente un cuaternión.
Sean α y β los cuaterniones correctos que resultan de tomar los vectores de dos cuaterniones:
Su producto en general es un nuevo cuaternión representado aquí por r. Este producto no es ambiguo porque la notación clásica tiene un solo producto.
Como todos los cuaterniones, r ahora puede descomponerse en sus partes vectoriales y escalares.
Los términos de la derecha se denominan escalar del producto y vector del producto [51] de dos cuaterniones rectos.
- Nota: "Escalar del producto" corresponde al producto escalar euclidiano de dos vectores hasta el cambio de signo (multiplicación por -1).
Otros operadores en detalle
Escalar y vector
Dos operaciones importantes en dos del sistema clásico de notación de cuaterniones fueron S (q) y V (q), lo que significaba tomar la parte escalar de, y tomar la parte imaginaria, lo que Hamilton llamó la parte vectorial del cuaternión. Aquí S y V son operadores que actúan sobre q. Los paréntesis se pueden omitir en este tipo de expresiones sin ambigüedad. Notación clásica:
Aquí, q es un cuaternión. S q es el escalar del cuaternión mientras que V q es el vector del cuaternión.
Conjugado
K es el operador conjugado. El conjugado de un cuaternión es un cuaternión obtenido al multiplicar la parte del vector del primer cuaternión por menos uno.
Si
luego
- .
La expresion
- ,
significa, asignar al cuaternión r el valor del conjugado del cuaternión q.
Tensor
T es el operador tensorial. Devuelve una especie de número llamado tensor .
El tensor de un escalar positivo es ese escalar. El tensor de un escalar negativo es el valor absoluto del escalar (es decir, sin el signo negativo). Por ejemplo:
El tensor de un vector es, por definición, la longitud del vector. Por ejemplo, si:
Luego
El tensor de un vector unitario es uno. Dado que el versor de un vector es un vector unitario, el tensor del versor de cualquier vector es siempre igual a la unidad. Simbólicamente:
- [52]
Un cuaternión es por definición el cociente de dos vectores y el tensor de un cuaternión es por definición el cociente de los tensores de estos dos vectores. En símbolos:
- [53]
De esta definición se puede demostrar que una fórmula útil para el tensor de un cuaternión es: [54]
También se puede probar a partir de esta definición que otra fórmula para obtener el tensor de un cuaternión es a partir de la norma común, definida como el producto de un cuaternión y su conjugado. La raíz cuadrada de la norma común de un cuaternión es igual a su tensor.
Una identidad útil es que el cuadrado del tensor de un cuaternión es igual al tensor del cuadrado de un cuaternión, por lo que se pueden omitir los paréntesis. [55]
Además, los tensores de los cuaterniones conjugados son iguales. [56]
El tensor de un cuaternión ahora se llama su norma .
Eje y ángulo
Tomando el ángulo de un cuaternión no escalar, resultó en un valor mayor que cero y menor que π. [57] [58]
Cuando un cuaternión no escalar se ve como el cociente de dos vectores, entonces el eje del cuaternión es un vector unitario perpendicular al plano de los dos vectores en este cociente original, en una dirección especificada por la regla de la mano derecha. [59] El ángulo es el ángulo entre los dos vectores.
En símbolos,
Recíproco
Si
entonces su recíproco se define como
La expresion:
Los recíprocos tienen muchas aplicaciones importantes, [60] [61] por ejemplo rotaciones , particularmente cuando q es un versor. Un versor tiene una fórmula fácil para su recíproco. [62]
En palabras, el recíproco de un versor es igual a su conjugado. Los puntos entre los operadores muestran el orden de las operaciones y también ayudan a indicar que S y U, por ejemplo, son dos operaciones diferentes en lugar de una sola operación denominada SU.
Norma común
El producto de un cuaternión con su conjugado es su norma común. [63]
La operación de tomar la norma común de un cuaternión se representa con la letra N . Por definición, la norma común es el producto de un cuaternión con su conjugado. Se puede probar [64] [65] que la norma común es igual al cuadrado del tensor de un cuaternión. Sin embargo, esta prueba no constituye una definición. Hamilton da definiciones exactas e independientes tanto de la norma común como del tensor. Esta norma fue adoptada como se sugirió a partir de la teoría de los números, sin embargo, para citar a Hamilton, "a menudo no serán necesarios". El tensor es generalmente de mayor utilidad. La palabra norma no aparece en Lectures on Quaternions , y solo dos veces en la tabla de contenido de Elements of Quaternions .
En símbolos:
La norma común de un versor siempre es igual a la unidad positiva. [66]
Biquaternions
Números geométricamente reales y geométricamente imaginarios
En la literatura clásica de cuaterniones, la ecuación
Se pensaba que tenía infinitas soluciones que se llamaban geométricamente reales . Estas soluciones son los vectores unitarios que forman la superficie de una esfera unitaria.
Un cuaternión geométricamente real es uno que se puede escribir como una combinación lineal de i , j y k , de modo que los cuadrados de los coeficientes sumen uno. Hamilton demostró que tenía que haber raíces adicionales de esta ecuación además de las raíces geométricamente reales. Dada la existencia del escalar imaginario, se pueden escribir varias expresiones y darles nombres propios. Todos estos eran parte del cálculo de cuaterniones original de Hamilton. En símbolos:
donde q y q ′ son cuaterniones reales, y la raíz cuadrada de menos uno es el imaginario del álgebra ordinaria , y se denominan raíces imaginarias o simbólicas [67] y no una cantidad vectorial geométricamente real.
Escalar imaginario
Las cantidades geométricamente imaginarias son raíces adicionales de la ecuación anterior de naturaleza puramente simbólica. En el artículo 214 de Elements, Hamilton demuestra que si hay una i, j y k también tiene que haber otra cantidad h que sea un escalar imaginario, que él observa que ya debería haberle ocurrido a cualquiera que haya leído con atención los artículos anteriores. [68] El artículo 149 de Elements trata sobre los números geométricamente imaginarios e incluye una nota a pie de página que introduce el término biquaternion . [69] Los términos imaginario del álgebra ordinaria e imaginario escalar se utilizan a veces para estas cantidades geométricamente imaginarias.
Las raíces geométricamente imaginarias de una ecuación se interpretaron en el pensamiento clásico como situaciones geométricamente imposibles. El artículo 214 de elementos de cuaterniones explora el ejemplo de la ecuación de una línea y un círculo que no se intersecan, como lo indica la ecuación que tiene solo una raíz geométricamente imaginaria. [70]
En los escritos posteriores de Hamilton propuso usar la letra h para denotar el escalar imaginario [71] [72] [73]
Biquaternion
En la página 665 de Elements of Quaternions, Hamilton define un biquaternion como un cuaternión con coeficientes de números complejos . La parte escalar de un biquaternion es entonces un número complejo llamado biscalar . La parte vectorial de un biquaternion es un bivector que consta de tres componentes complejos. Los biquaternions son entonces la complexificación de los cuaterniones originales (reales).
Otros cuaterniones dobles
Hamilton inventó el término asociativo para distinguir entre el escalar imaginario (conocido ahora como un número complejo ) que es tanto conmutativo como asociativo, y otras cuatro posibles raíces de unidad negativa que designó L, M, N y O, mencionándolas brevemente en apéndice B de Conferencias sobre cuaterniones y en cartas privadas. Sin embargo, las raíces no asociativas de menos uno no aparecen en Elements of Quaternions . Hamilton murió antes de trabajar [ aclaración necesaria ] en estas extrañas entidades. Su hijo afirmó que eran "arcos reservados para las manos de otro Ulises". [74]
Ver también
- Construcción Cayley – Dickson
- Octonions
- Teorema de Frobenius
Notas al pie
- ^ Hamilton 1853 pág. 60 en Google Books
- ^ Hardy 1881 pág. 32 en Google Books
- ^ Hamilton, en la revista Philosophical , citado en el OED .
- ^ Hamilton (1866) Libro I Capítulo II Artículo 17 en Google Books
- ^ Hamilton 1853, pág. 2 párrafo 3 de la introducción. Se refiere a su primer artículo "El álgebra como ciencia del tiempo puro". en Google Books
- ^ a b Hamilton (1866) Libro I Capítulo I Artículo 1 en Google Books
- ^ Hamilton (1853) Conferencia I Artículo 15, introducción del vector de término, de vehere en Google Books
- ^ El vector del artículo 17 de la conferencia I de Hamilton (1853) es un triplete natural en Google Books
- ^ a Hamilton (1866) Libro I Capítulo I Artículo 6 en Google Books
- ^ Hamilton (1866) Libro I Capítulo I Artículo 15 en Google Books
- ^ Hamilton (1866) Libro I Capítulo II Artículo 19 en Google Books
- ^ Hamilton 1853 pg 57 en Google Books
- ^ Hardy 1881 pág. 5 en Google Books
- ^ Tait 1890 pg.31 explica la definición más antigua de Hamilton de un tensor como un número positivo en Google Books
- ^ Hamilton 1989 pg 165, se refiere a un tensor como un escalar positivo. en Google Books
- ↑ (1890), pág. 32 31 en Google Books
- ^ Hamilton 1898 sección 8 pg 133 art 151 En el versor de un cuaternión o un vector y alguna fórmula general de transformación en Google Books
- ↑ Hamilton (1899), art 156 pg 135, introducción del término versor en Google Books
- ^ Hamilton (1899), sección 8 artículo 151 pg 133 en Google Books
- ^ Hamilton 1898 sección 9 art 162 pg 142 Arcos vectoriales considerados como representativos de los versores de cuaterniones en Google Books
- ↑ (1881), art. 49 pág. 71-72 71 en Google Libros
- ^ Elementos de Quaternions Artículo 147 pg 130 130 en Google Books
- ^ Consulte la sección 13 de Elementos de cuaterniones a partir de la página 190 en Google Books
- ^ Hamilton (1899), artículo 221 de la sección 14 en la página 233 en Google Books
- ^ Hamilton 1853 pg 4 en Google Books
- ^ Hamilton 1853 art 5 pg 4-5 en Google Books
- ^ Hamilton pg 33 en Google Books
- ^ Hamilton 1853 pg 5-6 en Google Books
- ^ ver Hamilton 1853 pág. 8-15 en Google Books
- ^ Hamilton 1853 pág. 15 Introducción del término vector como la diferencia entre dos puntos. en Google Books
- ^ Hamilton 1853 pg.19 Hamilton asocia el signo más con la síntesis ordinal en Google Books
- ↑ Hamilton (1853), pg 35, Hamilton introduce por primera vez las operaciones cardinales en Google Books
- ^ División de Hamilton 1953 pg.36 definida como análisis cardinal en Google Books
- ^ Hamilton 1853 pg 37 en Google Books
- ^ Hamilton (1899), artículo 112 página 110 en Google Books
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- ^ Tratados de Tait sobre cuaterniones en Google Books
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- ^ Sección 103 de Hamilton 1898 en Google Books
- ^ (1887) escalar del vector de producto del producto definido, pág. 57 en Google Books
- ^ Hamilton 1898 pg164 El tensor del versor de un vector es la unidad. en Google Books
- ^ Elementos de cuaterniones, cap. 11 en Google Books
- ^ Hardy (1881), pág. 65 en Google Books
- ^ Hamilton 1898 pg 169 art 190 Tensor del cuadrado es el cuadrado del tensor en Google Books
- ^ Hamilton 1898 pág. 167 art. 187 ecuación 12 Los tensores de cuaterniones conjugados son iguales en Google Books
- ^ "Hamilton (1853), pág. 164, arte 148" .
- ^ Hamilton (1899), página 118 en Google Books
- ^ Hamilton (1899), página 118 en Google Books
- ^ Ver Goldstein (1980) Capítulo 7 para la misma función escrita en notación matricial
- ^ "Lorentz transforma a Hamilton (1853), pág. 268 1853" .
- ^ Hardy (1881), página 71 en Google Books
- ↑ Hamilton (1899), pág. 128-129 en Google Books
- ^ Ver nota al pie de página en la parte inferior de la página, donde la palabra probada está resaltada en Google Books
- ^ Véase Hamilton 1898 pág. 169 art. 190 para una prueba de la relación entre el tensor y la norma común en Google Books
- ^ Hamilton 1899 pg 138 en Google Books
- ^ Consulte los artículos 256 y 257 de Elements of Quaternions en Google Books
- ^ Comentario infame del artículo 214 de Hamilton Elements ... como ya se le habría ocurrido a cualquiera que hubiera leído los artículos anteriores con atención en Google Books
- ^ Elementos del artículo 149 de Quaternions en Google Books
- ^ Ver elementos del artículo 214 de cuaterniones en Google Books
- ^ Hamilton Elements of Quaternions pg 276 Ejemplo de notación h para escalares imaginarios en Google Books
- ^ Hamilton Elements Artículo 274 pg 300 Ejemplo de uso de la notación h en Google Books
- ^ Artículo 274 de Hamilton Elements pág. 300 Ejemplo de h que denota imaginario de álgebra ordinaria en Google Books
- ^ Hamilton, William Rowan (1899). Elementos de cuaterniones . Londres, Nueva York y Bombay: Longmans, Green y Co. p. v.
Referencias
- WR Hamilton (1853), Conferencias sobre cuaternionesen Google Books Dublin: Hodges y Smith
- WR Hamilton (1866), Elementos de cuaternionesen Google Books , segunda edición, editado por Charles Jasper Joly, Longmans Green & Company.
- AS Hardy (1887), Elementos de cuaterniones
- PG Tait (1890), Tratado elemental sobre cuaterniones , Cambridge: CJ Clay and Sons
- Herbert Goldstein (1980), Mecánica clásica , 2a edición, Número de catálogo de la Biblioteca del Congreso QA805.G6 1980