La teoría de control clásica es una rama de la teoría de control que se ocupa del comportamiento de sistemas dinámicos con entradas, y cómo su comportamiento se modifica por retroalimentación , utilizando la transformada de Laplace como herramienta básica para modelar dichos sistemas.
El objetivo habitual de la teoría de control es controlar un sistema, a menudo llamado planta , por lo que su salida sigue una señal de control deseada, llamada referencia , que puede ser un valor fijo o cambiante. Para ello se diseña un controlador , que monitoriza la salida y la compara con la referencia. La diferencia entre la salida real y la deseada, llamada señal de error , se aplica como retroalimentación a la entrada del sistema, para acercar la salida real a la referencia.
La teoría de control clásica trata de sistemas lineales invariantes en el tiempo de una sola entrada y una salida (SISO). [1] Se puede calcular la transformada de Laplace de la señal de entrada y salida de tales sistemas. La función de transferencia relaciona la transformada de Laplace de la entrada y la salida.
Realimentación
Para superar las limitaciones del controlador de bucle abierto , la teoría de control clásica introduce la retroalimentación . Un controlador de circuito cerrado utiliza retroalimentación para controlar estados o salidas de un sistema dinámico . Su nombre proviene de la ruta de información en el sistema: las entradas del proceso (por ejemplo, el voltaje aplicado a un motor eléctrico ) tienen un efecto en las salidas del proceso (por ejemplo, la velocidad o el par del motor), que se mide con sensores y se procesa por el controlador; el resultado (la señal de control) se "retroalimenta" como entrada al proceso, cerrando el bucle.
Los controladores de circuito cerrado tienen las siguientes ventajas sobre los controladores de circuito abierto :
- rechazo de perturbaciones (como colinas en un control de crucero )
- Rendimiento garantizado incluso con incertidumbres del modelo , cuando la estructura del modelo no coincide perfectamente con el proceso real y los parámetros del modelo no son exactos.
- los procesos inestables se pueden estabilizar
- sensibilidad reducida a variaciones de parámetros
- rendimiento de seguimiento de referencia mejorado
En algunos sistemas, el control de bucle cerrado y de bucle abierto se utilizan simultáneamente. En tales sistemas, el control de bucle abierto se denomina feedforward y sirve para mejorar aún más el rendimiento del seguimiento de referencias.
Una arquitectura de controlador de circuito cerrado común es el controlador PID .
Clásico vs moderno
Un sistema físico se puede modelar en el "dominio del tiempo", donde la respuesta de un sistema dado es una función de las diversas entradas, los valores del sistema anterior y el tiempo. A medida que pasa el tiempo, el estado del sistema y su respuesta cambian. Sin embargo, los modelos de sistemas en el dominio del tiempo se modelan con frecuencia utilizando ecuaciones diferenciales de alto orden que pueden resultar imposiblemente difíciles de resolver para los humanos y algunas de las cuales incluso pueden volverse imposibles de resolver de manera eficiente para los sistemas informáticos modernos.
Para contrarrestar este problema, la teoría de control clásica utiliza la transformada de Laplace para cambiar una ecuación diferencial ordinaria (EDO) en el dominio del tiempo en un polinomio algebraico regular en el dominio de la frecuencia. Una vez que un sistema dado se ha convertido en el dominio de la frecuencia, se puede manipular con mayor facilidad.
La teoría de control moderna , en lugar de cambiar dominios para evitar las complejidades de las matemáticas ODE en el dominio del tiempo, convierte las ecuaciones diferenciales en un sistema de ecuaciones en el dominio del tiempo de orden inferior llamadas ecuaciones de estado , que luego pueden manipularse utilizando técnicas de álgebra lineal. [2]
Transformada de Laplace
La teoría de control clásica utiliza la transformada de Laplace para modelar los sistemas y las señales. La transformada de Laplace es un enfoque en el dominio de la frecuencia para señales de tiempo continuas, independientemente de si el sistema es estable o inestable. La transformada de Laplace de una función f ( t ) , definida para todos los números reales t ≥ 0 , es la función F ( s ) , que es una transformada unilateral definida por
donde s es un parámetro de frecuencia de número complejo
- , con números reales σ y ω .
Función de transferencia de bucle cerrado
Una arquitectura de control de retroalimentación común es el bucle de servo, en el que la salida del sistema y (t) se mide usando un sensor F y se resta del valor de referencia r (t) para formar el error de servo e . El controlador C usa entonces el error de servo e para ajustar la entrada u a la planta (sistema que está siendo controlado) P con el fin de conducir la salida de la planta hacia la referencia. Esto se muestra en el diagrama de bloques a continuación. Este tipo de controlador es un controlador de circuito cerrado o un controlador de retroalimentación.
Esto se denomina sistema de control de entrada única y salida única ( SISO ); Los sistemas MIMO (es decir, múltiples entradas y múltiples salidas), con más de una entrada / salida, son comunes. En tales casos, las variables se representan mediante vectores en lugar de valores escalares simples . Para algunos sistemas de parámetros distribuidos, los vectores pueden ser de dimensión infinita (típicamente funciones).
Si asumimos que el controlador C , la planta P y el sensor F son lineales e invariantes en el tiempo (es decir, los elementos de su función de transferencia C (s) , P (s) y F (s) no dependen del tiempo) , los sistemas anteriores se pueden analizar utilizando la transformada de Laplace en las variables. Esto da las siguientes relaciones:
Resolver para Y ( s ) en términos de R ( s ) da
La expresion se conoce como la función de transferencia de bucle cerrado del sistema. El numerador es la ganancia directa (bucle abierto) de a , y el denominador es uno más la ganancia al dar la vuelta al bucle de retroalimentación, la denominada ganancia de bucle. Si, es decir, tiene una norma grande con cada valor de s , y si, luego es aproximadamente igual a y la salida sigue de cerca la entrada de referencia.
Controlador PID
El controlador PID es probablemente el diseño de control de retroalimentación más utilizado (junto con el control Bang-bang mucho más crudo ). PID es un inicialismo de Proporcional-Integral-Derivado , refiriéndose a los tres términos que operan en la señal de error para producir una señal de control. Si es la señal de control enviada al sistema, es la salida medida y es la salida deseada y el error de seguimiento , un controlador PID tiene la forma general
La dinámica de circuito cerrado deseada se obtiene ajustando los tres parámetros , y , a menudo de forma iterativa "sintonizando" y sin conocimiento específico de un modelo de planta. La estabilidad a menudo se puede garantizar utilizando solo el término proporcional. El término integral permite el rechazo de una perturbación escalonada (a menudo una especificación sorprendente en el control de procesos ). El término derivado se utiliza para amortiguar o dar forma a la respuesta. Los controladores PID son la clase de sistemas de control mejor establecida; sin embargo, no pueden usarse en varios casos más complicados, especialmente si se consideran sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO).
La aplicación de la transformación de Laplace da como resultado la ecuación transformada del controlador PID
con la función de transferencia del controlador PID
Existe un buen ejemplo del sistema de circuito cerrado discutido anteriormente. Si tomamos
Función de transferencia del controlador PID en forma de serie
Filtro de primer orden en el circuito de retroalimentación
actuador lineal con entrada filtrada
- , = constante
e inserte todo esto en la expresión para la función de transferencia de bucle cerrado , entonces la puesta a punto es muy fácil: simplemente coloque
y obten idénticamente.
Para los controladores PID prácticos, un diferenciador puro no es físicamente realizable ni deseable [3] debido a la amplificación del ruido y los modos resonantes en el sistema. Por lo tanto, se utiliza en su lugar un enfoque de tipo compensador de avance de fase o un diferenciador con atenuación de paso bajo.
Herramientas
La teoría de control clásica utiliza una serie de herramientas para analizar sistemas y diseñar controladores para tales sistemas. Las herramientas incluyen el lugar de las raíces , el criterio de estabilidad de Nyquist , el diagrama de Bode , el margen de ganancia y el margen de fase . Las herramientas más avanzadas incluyen integrales de Bode para evaluar las limitaciones de rendimiento y las compensaciones, y la descripción de funciones para analizar las no linealidades en el dominio de la frecuencia. [4]
Ver también
- La retroalimentación de bucle menor es un método clásico para diseñar sistemas de control de retroalimentación.
- Espacio de estado (control)
Referencias
- ^ Zhong, Wan-Xie (2004). Sistema de Dualidad en Mecánica Aplicada y Control Óptimo . Kluwer. pag. 283 . ISBN 978-1-4020-7880-4.
La metodología clásica de diseño de controladores es iterativa y eficaz para el análisis y el diseño de sistemas lineales invariantes en el tiempo de una sola entrada y una sola salida.
- ^ Ogata, Katsuhiko (2010). Modern Control Systems (Quinta ed.). Prentice Hall. pag. 2. ISBN 978-0-13-615673-4.
teoría de control moderna, basada en análisis y síntesis en el dominio del tiempo utilizando variables de estado
- ^ Ang, KH, Chong, GCY y Li, Y. (2005). Análisis, diseño y tecnología del sistema de control PID, IEEE Trans Control Systems Tech , 13 (4), pp.559-576 .
- ^ Boris J. Lurie; Paul J. Enright (2019). Control de retroalimentación clásico con sistemas no lineales de bucles múltiples (3 ed.). Prensa CRC. ISBN 978-1-1385-4114-6.