La teoría de la relatividad especial juega un papel importante en la teoría moderna del electromagnetismo clásico . En primer lugar, da fórmulas sobre cómo los objetos electromagnéticos, en particular los campos eléctrico y magnético , se alteran bajo una transformación de Lorentz de un marco de referencia inercial a otro. En segundo lugar, arroja luz sobre la relación entre la electricidad y el magnetismo, mostrando que el marco de referencia determina si una observación sigue leyes electrostáticas o magnéticas. En tercer lugar, motiva una notación compacta y conveniente para las leyes del electromagnetismo, a saber, la forma tensorial "manifiestamente covariante".
Las ecuaciones de Maxwell, cuando se establecieron por primera vez en su forma completa en 1865, resultaron ser compatibles con la relatividad especial. [1] Además, las aparentes coincidencias en las que se observó el mismo efecto debido a diferentes fenómenos físicos por dos observadores diferentes se demostraría que no son coincidencia en lo más mínimo por la relatividad especial. De hecho, la mitad del primer artículo de 1905 de Einstein sobre relatividad especial, " Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento ", explica cómo transformar las ecuaciones de Maxwell.
Transformación de los campos entre marcos inerciales
Los campos E y B
Esta ecuación, también llamada ecuación de Joules-Bernoulli , considera dos marcos inerciales . El marco cebado se mueve en relación con el marco no cebado a una velocidad v . Los campos definidos en la trama cebada se indican mediante números primos, y los campos definidos en la trama no cebada carecen de primos. Los componentes del campo paralelos a la velocidad v se denotan por y mientras que los componentes del campo perpendiculares av se denotan comoy . En estos dos fotogramas que se mueven a una velocidad relativa v , los campos E y los campos B están relacionados por: [2]
dónde
se llama el factor de Lorentz y c es la velocidad de la luz en el espacio libre . Las ecuaciones anteriores están en SI . En CGS, estas ecuaciones se pueden derivar reemplazando con , excepto . Factor de Lorentz () es el mismo en ambos sistemas . Las transformaciones inversas son las mismas excepto v → - v .
Una expresión alternativa equivalente es: [3]
dónde es el vector unitario de velocidad . Con notaciones anteriores, uno realmente tiene y .
Si uno de los campos es cero en un marco de referencia, eso no significa necesariamente que sea cero en todos los demás marcos de referencia. Esto se puede ver, por ejemplo, haciendo que el campo eléctrico no cebado sea cero en la transformación al campo eléctrico cebado. En este caso, dependiendo de la orientación del campo magnético, el sistema cebado podría ver un campo eléctrico, aunque no haya ninguno en el sistema no cebado.
Esto no significa que se vean dos conjuntos de eventos completamente diferentes en los dos fotogramas, sino que la misma secuencia de eventos se describe de dos formas diferentes (consulte el problema del conductor y el imán móvil a continuación).
Si una partícula de carga q se mueve con velocidad u con respecto al marco S, entonces la fuerza de Lorentz en el marco S es:
En el cuadro S ', la fuerza de Lorentz es:
Si S y S 'tienen ejes alineados, entonces: [4]
Aquí se da una derivación para la transformación de la fuerza de Lorentz para el caso particular u = 0 . [5] Aquí se puede ver uno más general. [6]
Componente por componente, para el movimiento relativo a lo largo del eje x, esto resulta ser el siguiente:
Las transformaciones en esta forma se pueden hacer más compactas introduciendo el tensor electromagnético (definido a continuación), que es un tensor covariante .
Los campos D y H
Para el desplazamiento eléctrico D y la intensidad magnética H , usando las relaciones constitutivas y el resultado de c 2 :
da
De manera análoga para E y B , D y H forman el tensor de desplazamiento electromagnético .
Los campos φ y A
Una transformación alternativa más simple del campo EM utiliza los potenciales electromagnéticos : el potencial eléctrico φ y el potencial magnético A : [7]
dónde es la componente paralela de A a la dirección de la velocidad relativa entre los fotogramas v , yes el componente perpendicular. Estos se asemejan claramente a la forma característica de otras transformaciones de Lorentz (como la posición temporal y el momento energético), mientras que las transformaciones de E y B anteriores son un poco más complicadas. Los componentes se pueden recopilar juntos como:
Los campos ρ y J
De manera análoga para la densidad de carga ρ y la densidad de corriente J , [7]
Recopilación de componentes juntos:
Aproximaciones no relativistas
Para velocidades v ≪ c , el factor relativista γ ≈ 1, que produce:
de modo que no hay necesidad de distinguir entre las coordenadas espaciales y temporales en las ecuaciones de Maxwell .
Relación entre electricidad y magnetismo.
Una parte de la fuerza entre cargas en movimiento la llamamos fuerza magnética. Realmente es un aspecto de un efecto eléctrico.
- Richard Feynman [8]
Derivación del magnetismo de la electrostática
El marco de referencia elegido determina si un fenómeno electromagnético se ve como un efecto de la electrostática o el magnetismo o una combinación de los dos. Los autores suelen derivar el magnetismo de la electrostática cuando se tienen en cuenta la relatividad especial y la invariancia de carga . Las Conferencias de Física de Feynman (vol. 2, cap. 13-6) utilizan este método para derivar la fuerza "magnética" sobre una carga en movimiento junto a un cable portador de corriente. Véase también Haskell [9] y Landau. [10]
Los campos se entremezclan en diferentes marcos
Las reglas de transformación anteriores muestran que el campo eléctrico en un cuadro contribuye al campo magnético en otro cuadro y viceversa. [11] Esto se describe a menudo diciendo que el campo eléctrico y el campo magnético son dos aspectos interrelacionados de un solo objeto, llamado campo electromagnético . De hecho, todo el campo electromagnético se puede representar en un solo tensor de rango 2 llamado tensor electromagnético ; vea abajo.
Problema del conductor y el imán móvil
Un ejemplo famoso de la mezcla de fenómenos eléctricos y magnéticos en diferentes marcos de referencia se llama el "problema del conductor y el imán en movimiento", citado por Einstein en su artículo de 1905 sobre la relatividad especial.
Si un conductor se mueve con una velocidad constante a través del campo de un imán estacionario, se producirán corrientes parásitas debido a una fuerza magnética sobre los electrones en el conductor. En el marco de descanso del conductor, por otro lado, el imán se moverá y el conductor estará estacionario. La teoría electromagnética clásica predice que se producirán precisamente las mismas corrientes de Foucault microscópicas, pero se deben a una fuerza eléctrica . [12]
Formulación covariante al vacío
Las leyes y los objetos matemáticos del electromagnetismo clásico pueden escribirse en una forma manifiestamente covariante . Aquí, esto solo se hace para el vacío (o para las ecuaciones microscópicas de Maxwell, sin usar descripciones macroscópicas de materiales como la permitividad eléctrica ) y usa unidades SI .
Esta sección utiliza la notación de Einstein , incluida la convención de suma de Einstein . Consulte también Cálculo de Ricci para obtener un resumen de las notaciones de los índices de tensores , y los índices de subida y bajada para la definición de índices de superíndice y subíndice, y cómo cambiar entre ellos. El tensor métrico de Minkowski η aquí tiene firma métrica (+ - - -).
Tensor de campo y 4 corrientes
Las transformaciones relativistas anteriores sugieren los campos eléctricos y magnéticos están acoplados entre sí, en un objeto matemático con 6 componentes: un antisimétrico de segundo orden tensor , o una bivector . Esto se llama tensor de campo electromagnético , generalmente escrito como F μν . En forma de matriz: [13]
donde c la velocidad de la luz - en unidades naturales c = 1.
Hay otra forma de fusionar los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico, reemplazando E / c → B y B → - E / c , para obtener el tensor dual G μν .
En el contexto de la relatividad especial , ambos se transforman según la transformación de Lorentz según
- ,
donde Λ α ν es el tensor de transformación de Lorentz para un cambio de un marco de referencia a otro. El mismo tensor se usa dos veces en la suma.
La carga y la densidad de corriente, las fuentes de los campos, también se combinan en los cuatro vectores.
llamado las cuatro corrientes .
Ecuaciones de Maxwell en forma tensorial
Usando estos tensores, las ecuaciones de Maxwell se reducen a: [13]
donde las derivadas parciales pueden escribirse de varias formas, ver gradiente 4 . La primera ecuación enumerada anteriormente corresponde tanto a la Ley de Gauss (para β = 0) como a la Ley de Ampère-Maxwell (para β = 1, 2, 3). La segunda ecuación corresponde a las dos ecuaciones restantes, la ley de Gauss para el magnetismo (para β = 0) y la ley de Faraday (para β = 1, 2, 3).
Estas ecuaciones de tensor son manifiestamente covariantes , lo que significa que se puede ver que las ecuaciones son covariantes por las posiciones del índice. Esta forma corta de escribir las ecuaciones de Maxwell ilustra una idea compartida entre algunos físicos, a saber, que las leyes de la física adquieren una forma más simple cuando se escriben usando tensores .
Al reducir los índices de F αβ para obtener F αβ (ver índices de subida y bajada ):
la segunda ecuación se puede escribir en términos de F αβ como:
dónde es el símbolo contravariante de Levi-Civita . Observe la permutación cíclica de índices en esta ecuación:.
Otro objeto electromagnético covariante es el tensor de tensión-energía electromagnética , un tensor covariante de rango 2 que incluye el vector de Poynting , el tensor de tensión de Maxwell y la densidad de energía electromagnética.
4 potenciales
El tensor de campo EM también se puede escribir [14]
dónde
es el cuatro-potencial y
es el de cuatro posiciones .
Usando el potencial 4 en el medidor de Lorenz, se puede encontrar una formulación alternativa manifiestamente covariante en una sola ecuación (una generalización de una ecuación debida a Bernhard Riemann por Arnold Sommerfeld , conocida como la ecuación de Riemann-Sommerfeld, [15] o la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell [16] ):
dónde es el operador d'Alembertian , o cuatro-laplaciano. Para una presentación más completa de estos temas, consulte Formulación covariante del electromagnetismo clásico .
Ver también
- Matemáticas del campo EM
- Electromagnetismo relativista
- No invariancia galileana del electromagnetismo clásico
Notas al pie
- ^ Quedan preguntas sobre el tratamiento de las cargas aceleradas: Haskell, " Relatividad especial y ecuaciones de Maxwell. Archivado 2008-01-01 en Wayback Machine ".
- ^ Tai L. Chow (2006). Teoría electromagnética . Sudbury MA: Jones y Bartlett. pag. Capítulo 10.21; pag. 402–403 y sigs. ISBN 0-7637-3827-1.
- ^ Daniel, Herbert (1997), "4.5.1", Physik: Elektrodynamik, relativistische Physik , Walter de Gruyter, págs. 360–361, ISBN 3-11-015777-2, Extracto de las páginas 360-361
- ^ RCTolman "Termodinámica y cosmología de la relatividad" pp25
- ^ Leyes de la fuerza y ecuaciones de Maxwell http://www.mathpages.com/rr/s2-02/2-02.htm en MathPages
- ^ "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 26 de febrero de 2009 . Consultado el 6 de noviembre de 2008 .CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )
- ^ a b El manual de fórmulas de física de Cambridge, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
- ^ Conferencias de Feynman vol. 2, cap. 1-1
- ^ "Copia archivada" . Archivado desde el original el 1 de enero de 2008 . Consultado el 10 de abril de 2008 .CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )
- ^ LD Landau; EM Lifshitz (1980). La teoría clásica de campos . Curso de Física Teórica . Vol. 2 (Cuarta ed.). Oxford Reino Unido: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) - ^ Tai L. Chow (2006). Teoría electromagnética . Sudbury MA: Jones y Bartlett. pag. 395. ISBN 0-7637-3827-1.
- ^ David J. Griffiths (1999). Introducción a la electrodinámica (Tercera ed.). Prentice Hall. págs. 478–9 . ISBN 0-13-805326-X.
- ^ a b Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. pag. 557 . ISBN 0-13-805326-X.
- ^ DJ Griffiths (1999). Introducción a la electrodinámica . Saddle River Nueva Jersey: Pearson / Addison-Wesley. pag. 541 . ISBN 0-13-805326-X.
- ^ Carver A. Mead (7 de agosto de 2002). Electrodinámica colectiva: fundamentos cuánticos del electromagnetismo . Prensa del MIT. págs. 37–38. ISBN 978-0-262-63260-7.
- ^ Frederic V. Hartemann (2002). Electrodinámica de campo alto . Prensa CRC. pag. 102. ISBN 978-0-8493-2378-2.