En la computación cuántica y la teoría de la información cuántica , las puertas de Clifford son los elementos del grupo de Clifford , un conjunto de transformaciones matemáticas que efectúan permutaciones de los operadores de Pauli . La noción fue introducida por Daniel Gottesman y lleva el nombre del matemático William Kingdon Clifford . [1] Los circuitos cuánticos que constan solo de puertas de Clifford se pueden simular de manera eficiente con una computadora clásica debido al teorema de Gottesman-Knill .
Definición de Clifford Group
Las matrices de Pauli ,
proporcionan una base para los operadores de densidad de un solo qubit , así como para los unitarios que se les pueden aplicar. Para el-En caso de qubit, se puede construir un grupo, conocido como grupo Pauli , según
El grupo de Clifford se define como el grupo de unitarios que normalizan al grupo de Pauli: Las puertas de Clifford se definen entonces como elementos del grupo Clifford.
Algunos autores optan por definir el grupo de Clifford como el grupo cociente . Para1, 2 y 3, este grupo contiene 24, 11,520 y 92,897,280 elementos, respectivamente. [2]
Generadores del grupo Clifford
El grupo Clifford es generado por tres puertas, Hadamard , CNOT y las puertas S. [3] Dado que todas las matrices de Pauli se pueden construir a partir de las puertas de fase S y Hadamard, cada puerta de Pauli también es trivialmente un elemento del grupo Clifford.
La puerta es igual al producto de y puertas. Para demostrar que un unitario es miembro del grupo Clifford, basta con demostrar que para todos que constan solo de los productos tensoriales de y , tenemos .
Puerta de Hadamard
La puerta de Hadamard
es miembro del grupo Clifford como y .
Puerta S
La puerta de fase
es una puerta de Clifford como y .
Puerta CNOT
La puerta CNOT se aplica a dos qubits. Entre y hay cuatro opciones:
CNOT CNOT | |
---|---|
Propiedades y aplicaciones
El teorema de Gottesman-Knill establece que un circuito cuántico que utiliza solo los siguientes elementos se puede simular de manera eficiente en una computadora clásica:
- Preparación de qubits en estados de base computacional,
- Puertas de Clifford, y
- Medidas en la base computacional.
El teorema de Gottesman-Knill muestra que incluso algunos estados altamente entrelazados pueden simularse de manera eficiente. Varios tipos importantes de algoritmos cuánticos utilizan solo puertas de Clifford, lo más importante son los algoritmos estándar para la purificación de entrelazamientos y para la corrección de errores cuánticos .
Construyendo un conjunto universal de puertas cuánticas
Las puertas de Clifford no forman un conjunto universal de puertas cuánticas, ya que no todas las puertas son miembros del grupo de Clifford y algunas puertas no pueden aproximarse arbitrariamente con un conjunto finito de operaciones. Un ejemplo es la puerta de fase.
- .
Para mostrar que el puerta no mapea el Pauli- puerta a otra matriz de Pauli:
Sin embargo, el grupo de Clifford, cuando se amplió con el puerta, forma un conjunto de puerta cuántica universal para el cálculo cuántico.
Ver también
Referencias
- ↑ Gottesman, Daniel (1 de enero de 1998). "Teoría de la computación cuántica tolerante a fallas" (PDF) . Physical Review A . 57 (1): 127-137. doi : 10.1103 / physreva.57.127 . ISSN 1050-2947 .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A003956 (orden del grupo Clifford)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ "Grupo de Clifford" (PDF) . Consultado el 23 de abril de 2021 .