Coálgebra
En matemáticas , las coalgebras o cogebras son estructuras que son duales (en el sentido teórico de categorías de flechas invertidas ) a álgebras asociativas unitarias . Los axiomas de las álgebras asociativas unitarias se pueden formular en términos de diagramas conmutativos . Dando la vuelta a todas las flechas, se obtienen los axiomas de coalgebras. Toda coalgebra, por dualidad ( espacio vectorial ) , da lugar a un álgebra, pero no en general a la inversa. En dimensiones finitas , esta dualidad va en ambas direcciones ( ver más abajo ).
Las coalgebras ocurren naturalmente en varios contextos (por ejemplo, la teoría de la representación , las álgebras envolventes universales y los esquemas de grupo ).
Un ejemplo frecuentemente recurrente de coalgebras ocurre en la teoría de la representación y, en particular, en la teoría de la representación del grupo de rotación . Una tarea primaria, de uso práctico en física, es obtener combinaciones de sistemas con diferentes estados de momento angular y espín . Para ello, se utilizan los coeficientes de Clebsch-Gordan . Dados dos sistemas con momentos angulares y , una tarea particularmente importante es encontrar el momento angular total dado el estado combinado . Esto es proporcionado por el operador de momento angular total, que extrae la cantidad necesaria de cada lado del producto tensorial. Se puede escribir como un producto tensorial "externo"
La palabra "externo" aparece aquí, en contraste con el producto tensorial "interno" de un álgebra tensorial . Un álgebra tensorial viene con un producto tensorial (el interno); también puede estar equipado con un segundo producto tensorial, el "externo", o el coproducto , que tiene la forma anterior. Se enfatiza que son dos productos diferentes recordando que el producto tensorial interno de un vector y un escalar es solo una simple multiplicación escalar. El producto externo los mantiene separados. En este escenario, el coproducto es el mapa
Para este ejemplo, puede tomarse como una de las representaciones de espín del grupo de rotación, siendo la representación fundamental la elección de sentido común. Este coproducto se puede elevar a toda el álgebra tensorial, mediante un lema simple que se aplica a objetos libres : el álgebra tensorial es un álgebra libre , por lo tanto, cualquier homomorfismo definido en un subconjunto se puede extender a toda el álgebra. Al examinar el levantamiento en detalle, se observa que el coproducto se comporta como el producto aleatorio , esencialmente porque los dos factores anteriores, el izquierdo y el derecho , deben mantenerse en orden secuencial durante los productos de múltiples momentos angulares (las rotaciones no son conmutativas).
