En los campos matemáticos de geometría y topología , una estructura gruesa sobre un conjunto X es una colección de subconjuntos del producto cartesiano X × X con ciertas propiedades que permiten definir la estructura a gran escala de espacios métricos y espacios topológicos .
La preocupación de la geometría y la topología tradicionales es la estructura a pequeña escala del espacio: propiedades tales como la continuidad de una función dependen de si las imágenes inversas de pequeños conjuntos abiertos , o vecindades , son en sí mismas abiertas. Las propiedades a gran escala de un espacio, como la delimitación o los grados de libertad del espacio, no dependen de tales características. La geometría gruesa y la topología gruesa proporcionan herramientas para medir las propiedades a gran escala de un espacio, y al igual que una métrica o una topologíacontiene información sobre la estructura a pequeña escala de un espacio, una estructura gruesa contiene información sobre sus propiedades a gran escala.
Propiamente, una estructura gruesa no es el análogo a gran escala de una estructura topológica, sino de una estructura uniforme .
Una estructura gruesa en un conjunto X es una colección E de subconjuntos de X × X (por lo tanto, cae dentro de la categorización más general de relaciones binarias en X ) llamados conjuntos controlados , y para que E posea la relación de identidad , se cierra tomando subconjuntos, inversas y uniones finitas, y es cerrada bajo composición de relaciones . Explícitamente:
El conjunto E [ K ] se define como { x en X : hay una y en K tal que ( x , y ) está en E }. Definimos la sección de E por x como el conjunto E [{ x }], también denotado E x . El símbolo E y denota el conjunto E −1 [{ y }]. Estas son formas de proyecciones .
Los conjuntos controlados son conjuntos "pequeños" o " conjuntos insignificantes ": un conjunto A tal que A × A está controlado es insignificante, mientras que una función f : X → X tal que su gráfica está controlada está "cerca" de la identidad. En la estructura gruesa acotada, estos conjuntos son los conjuntos acotados, y las funciones son las que están a una distancia finita de la identidad en la métrica uniforme .