En matemáticas, un espacio topológico X se dice que es de valor límite compacto [1] [2] o débilmente numerable compacto [3] si cada subconjunto infinito de X tiene un punto límite en X . Esta propiedad generaliza una propiedad de los espacios compactos . En un espacio métrico , la compacidad del punto límite, la compacidad y la compacidad secuencial son todas equivalentes. Para los espacios topológicos generales, sin embargo, estas tres nociones de compacidad no son equivalentes.
Propiedades y ejemplos
- En un espacio topológico, los subconjuntos sin punto límite son exactamente aquellos que están cerrados y discretos en la topología del subespacio. Entonces, un espacio es compacto de punto límite si y solo si todos sus subconjuntos discretos cerrados son finitos.
- Un espacio X no es compacto de punto límite si y solo si tiene un subespacio discreto cerrado infinito. Dado que cualquier subconjunto de un subconjunto discreto cerrado de X está en sí mismo cerrado en X y discreto, esto es equivalente a requerir que X tenga un subespacio discreto cerrado numerablemente infinito.
- Algunos ejemplos de espacios que no son compactos de punto límite: (1) El conjunto de todos los números reales con su topología habitual, ya que los enteros son un conjunto infinito pero no tienen un punto límite en ; (2) un conjunto infinito con topología discreta; (3) la topología del complemento contable en un conjunto incontable.
- Cada espacio sumamente compacto (y por lo tanto cada espacio compacto) es compacto en el punto límite.
- Para los espacios T 1 , la compacidad del punto límite es equivalente a la compacidad contable.
- Un ejemplo de espacio compacto de punto límite que no es contablemente compacto se obtiene "duplicando los números enteros", es decir, tomando el producto dónde es el conjunto de todos los enteros con la topología discreta ytiene la topología indiscreta . El espacioes homeomorfo a la topología impar-par . [4] Este espacio no es T 0 . Es un punto límite compacto porque cada subconjunto no vacío tiene un punto límite.
- Un ejemplo de espacio T 0 que es compacto en el punto límite y no compacta en, el conjunto de todos los números reales, con la topología de orden correcto , es decir, la topología generada por todos los intervalos. [5] El espacio es el punto límite compacto porque dado cualquier punto, cada es un punto límite de .
- Para espacios metrizables, la compacidad, la compacidad contable, la compacidad del punto límite y la compacidad secuencial son todas equivalentes.
- La imagen continua de un espacio compacto de punto límite no necesita ser compacto de punto límite. Por ejemplo, si con discreto y indiscreto como en el ejemplo anterior, el mapa dada por proyección sobre la primera coordenada es continua, pero no es compacto de punto límite.
- Un espacio compacto de punto límite no necesita ser pseudocompacto . Un ejemplo lo da el mismo con espacio indiscreto de dos puntos y el mapa , cuya imagen no está delimitada en .
- Un espacio pseudocompacto no necesita ser compacto en el punto límite. Un ejemplo lo da un conjunto incontable con la topología cocountable .
- Todo espacio pseudocompacto normal es compacto de punto límite. [6]
Prueba : supongamosEs un espacio normal que no es compacto de punto límite. Existe un subconjunto discreto cerrado numerablemente infinito de . Según el teorema de la extensión de Tietze, la función continua en definido por puede extenderse a una función continua de valor real (ilimitada) en todos los . Entonces no es pseudocompacto. - Los espacios compactos del punto límite tienen extensión contable .
- Si ( X , T ) y ( X , T * ) son espacios topológicos con T * más fino que T y ( X , T * ) es el punto límite compacto, entonces también lo es ( X , T ).
Ver también
Notas
- ^ La terminología "compacto de punto límite" aparece en un libro de texto de topología de James Munkres donde dice que históricamente tales espacios se habían llamado simplemente "compactos" y lo que ahora llamamos espacios compactos se llamaban "bicompactos". Luego hubo un cambio en la terminología con los espacios bicompactos que se denominan simplemente "compactos" y no hay un nombre generalmente aceptado para el primer concepto, algunos lo llaman "compacidad de Fréchet ", otros la "propiedad de Bolzano-Weierstrass". Dice que inventó el término "compacto de punto límite" para tener algo al menos descriptivo de la propiedad. Munkres, pág. 178-179.
- ^ Steen y Seebach, p. 19
- ^ Steen y Seebach, p. 19
- ^ Steen & Seebach, ejemplo 6
- ^ Steen & Seebach, ejemplo 50
- ^ Steen y Seebach, p. 20. Lo que ellos llaman "normal" es T 4 en la terminología de wikipedia, pero es esencialmente la misma prueba que aquí.
Referencias
- James Munkres (1999). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
- Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr., contraejemplos en topología . Springer-Verlag, Nueva York, 1978. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (edición Dover).
- Este artículo incorpora material de Weakly contablemente compacto en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .