En matemáticas , particularmente en topología algebraica , los conjuntos de cohomotopía son functores contravariantes particulares de la categoría de espacios topológicos puntiagudos y mapas continuos que preservan el punto base a la categoría de conjuntos y funciones . Son duales a los grupos de homotopía , pero menos estudiados.
Descripción general
El p -ésimo conjunto de cohomotopía de un espacio topológico puntiagudo X se define por
el conjunto de clases de homotopía puntiagudas de mapeos continuos dea la p - esfera . Para p = 1, este conjunto tiene una estructura de grupo abeliano y, siempre quees un complejo CW , es isomorfo al primer grupo de cohomología, ya que el circulo es un espacio de tipo Eilenberg-MacLane. De hecho, es un teorema de Heinz Hopf que sies un complejo CW de dimensión como máximo p , entoncesestá en biyección con el p -ésimo grupo de cohomología.
El conjunto también tiene una estructura de grupo natural sies una suspensión , como una esfera por .
Si X no es homotopia equivalente a un complejo CW, entonces podría no ser isomorfo a . Un contraejemplo lo da el círculo de Varsovia , cuyo primer grupo de cohomología desaparece, pero admite un mapa paraque no es homotópico a un mapa constante. [1]
Propiedades
Algunos datos básicos sobre los conjuntos de cohomotopía, algunos más obvios que otros:
- para todos p y q .
- Para o , el grupo es igual a . (Para probar este resultado, Lev Pontryagin desarrolló el concepto de cobordismo enmarcado ).
- Si posee para todo x , entonces, y la homotopía es suave si f y g son.
- Para un colector compacto y liso ,es isomorfo al conjunto de clases de homotopía de mapas suaves; en este caso, cada mapa continuo puede aproximarse uniformemente mediante un mapa uniforme y cualquier mapa uniforme homotópico será homotópico uniformemente.
- Si es un - colector , entonces por .
- Si es un - colector con límite , el conjuntoestá canónicamente en biyección con el conjunto de clases de codimensión de cobordismo - p subvariedades enmarcadas del interior .
- El grupo de cohomotopía estable dees el colimit
- que es un grupo abeliano.
Referencias
- ^ Círculo polaco . Consultado el 17 de julio de 2014.