En álgebra lineal , una matriz cuadrada se llama diagonalizable o no defectuoso si es similar a una matriz diagonal , es decir, si existe una matriz invertible y una matriz diagonal tal que , o equivalentemente. (Semejante, no son únicos.) Para un espacio vectorial de dimensión finita , un mapa lineal se llama diagonalizable si existe una base ordenada de que consta de autovectores de. Estas definiciones son equivalentes: si tiene una representación matricial como arriba, entonces los vectores de columna de forman una base que consta de autovectores de , y las entradas diagonales de son los valores propios correspondientes de ; con respecto a esta base de vector propio, está representado por . La diagonalización es el proceso de encontrar lo anterior. y .
Las matrices y mapas diagonalizables son especialmente fáciles para los cálculos, una vez que se conocen sus autovalores y autovectores. Uno puede levantar una matriz diagonal a una potencia simplemente elevando las entradas diagonales a esa potencia, y el determinante de una matriz diagonal es simplemente el producto de todas las entradas diagonales; tales cálculos se generalizan fácilmente a. Geométricamente, una matriz diagonalizable es una dilatación no homogénea (o escala anisotrópica ) - escala el espacio, al igual que una dilatación homogénea , pero por un factor diferente a lo largo de cada eje de vector propio, el factor dado por el valor propio correspondiente.
Una matriz cuadrada que no es diagonalizable se llama defectuosa . Puede suceder que una matriz con entradas reales es defectuoso sobre los números reales, lo que significa que es imposible para cualquier invertible y diagonal con entradas reales, pero es posible con entradas complejas, de modo que es diagonalizable sobre los números complejos. Por ejemplo, este es el caso de una matriz de rotación genérica .
Muchos resultados para matrices diagonalizables se mantienen solo sobre un campo algebraicamente cerrado (como los números complejos). En este caso, las matrices diagonalizables son densas en el espacio de todas las matrices, lo que significa que cualquier matriz defectuosa puede deformarse en una matriz diagonalizable por una pequeña perturbación ; y el teorema de la forma normal de Jordan establece que cualquier matriz es únicamente la suma de una matriz diagonalizable y una matriz nilpotente . Sobre un campo algebraicamente cerrado, las matrices diagonalizables son equivalentes a matrices semi-simples .
Definición
Un cuadrado matriz sobre un campo se llama diagonalizable o no defectuoso si existe una matriz invertible tal que es una matriz diagonal. Formalmente,
Caracterización
El hecho fundamental sobre los mapas y matrices diagonalizables se expresa de la siguiente manera:
- Un matriz sobre un campo es diagonalizable si y solo si la suma de las dimensiones de sus espacios propios es igual a, que es el caso si y solo si existe una base de que consta de autovectores de . Si se ha encontrado tal base, se puede formar la matriztener estos vectores base como columnas, y será una matriz diagonal cuyas entradas diagonales son los valores propios de . La matrizse conoce como una matriz modal para.
- Un mapa lineal es diagonalizable si y solo si la suma de las dimensiones de sus espacios propios es igual a, que es el caso si y solo si existe una base de que consta de autovectores de . Con respecto a tal base,estará representado por una matriz diagonal. Las entradas diagonales de esta matriz son los valores propios de.
Otra caracterización: una matriz o mapa lineal es diagonalizable sobre el campo si y solo si su polinomio mínimo es un producto de distintos factores lineales sobre. (Dicho de otra manera, una matriz es diagonalizable si y solo si todos sus divisores elementales son lineales).
La siguiente condición suficiente (pero no necesaria) suele ser útil.
- Un matriz es diagonalizable sobre el campo si tiene distintos valores propios en , es decir , si su polinomio característico tiene distintas raíces en ; sin embargo, lo contrario puede ser falso. Considerar que tiene valores propios 1, 2, 2 (no todos distintos) y es diagonalizable con forma diagonal ( similar a)y cambio de matriz de base :Lo contrario falla cuando tiene un espacio propio de dimensión superior a 1. En este ejemplo, el espacio propio de asociado con el valor propio 2 tiene dimensión 2.
- Un mapa lineal con es diagonalizable si tiene valores propios distintos, es decir, si su polinomio característico tiene distintas raíces en .
Dejar ser una matriz sobre . Sies diagonalizable, entonces también lo es su potencia. Por el contrario, si es invertible, está algebraicamente cerrado, y es diagonalizable para algunos que no es un múltiplo entero de la característica de , a continuación,es diagonalizable. Prueba: si es diagonalizable, entonces es aniquilado por algún polinomio , que no tiene raíz múltiple (desde) y se divide por el polinomio mínimo de.
Sobre los números complejos , casi todas las matrices son diagonalizables. Más precisamente: el conjunto de complejosmatrices que no son diagonalizables sobre, considerado como un subconjunto de, tiene Lebesgue medida cero. También se puede decir que las matrices diagonalizables forman un subconjunto denso con respecto a la topología de Zariski : las matrices no diagonalizables se encuentran dentro del conjunto de fuga del discriminante del polinomio característico, que es una hipersuperficie . De ahí se sigue también la densidad en la topología habitual ( fuerte ) dada por una norma . Lo mismo no es cierto sobre.
La descomposición de Jordan-Chevalley expresa un operador como la suma de su parte semisimple (es decir, diagonalizable) y su parte nilpotente . Por tanto, una matriz es diagonalizable si y solo si su parte nilpotente es cero. Dicho de otra manera, una matriz es diagonalizable si cada bloque en su forma de Jordan no tiene parte nilpotente; es decir, cada "bloque" es una matriz uno por uno.
Diagonalización
Si una matriz puede ser diagonalizado, es decir,
luego:
Escritura como una matriz de bloques de sus vectores columna
la ecuación anterior se puede reescribir como
Entonces, los vectores de columna de son autovectores correctos de, y la entrada diagonal correspondiente es el valor propio correspondiente . La invertibilidad deTambién sugiere que los vectores propios son linealmente independientes y forman una base de. Ésta es la condición necesaria y suficiente para la diagonalizabilidad y el enfoque canónico de la diagonalización. Los vectores de fila deson los autovectores izquierdos de.
Cuando una matriz compleja es una matriz hermitiana (o más generalmente una matriz normal ), vectores propios depuede elegirse para formar una base ortonormal de, yse puede elegir para que sea una matriz unitaria . Si además,es una matriz simétrica real , entonces sus autovectores pueden elegirse para ser una base ortonormal de y se puede elegir para que sea una matriz ortogonal .
Para la mayoría de los trabajos prácticos, las matrices se diagonalizan numéricamente mediante software de computadora. Existen muchos algoritmos para lograr esto.
Diagonalización simultánea
Se dice que un conjunto de matrices es diagonalizable simultáneamente si existe una única matriz invertible tal que es una matriz diagonal para cada en el set. El siguiente teorema caracteriza las matrices diagonalizables simultáneamente: Un conjunto de matrices diagonalizables conmuta si y solo si el conjunto es simultáneamente diagonalizable. [1] : págs. 61–63
El conjunto de todos matrices diagonalizables (sobre ) conno es simultáneamente diagonalizable. Por ejemplo, las matrices
son diagonalizables pero no simultáneamente diagonalizables porque no se desplazan al trabajo.
Un conjunto consiste en conmutar matrices normales si y solo si es simultáneamente diagonalizable por una matriz unitaria ; es decir, existe una matriz unitaria tal que es diagonal para cada en el set.
En el lenguaje de la teoría de Lie , un conjunto de matrices diagonalizables simultáneamente genera un álgebra de Lie toral .
Ejemplos de
Matrices diagonalizables
- Las involuciones son diagonalizables sobre los reales (y de hecho cualquier campo de característica no 2), con ± 1 en la diagonal.
- Los endomorfismos de orden finito son diagonalizables sobre(o cualquier campo algebraicamente cerrado donde la característica del campo no divide el orden del endomorfismo) con raíces de unidad en la diagonal. Esto se sigue porque el polinomio mínimo es separable , porque las raíces de la unidad son distintas.
- Las proyecciones son diagonalizables, con 0 y 1 en diagonal.
- Las matrices simétricas reales se pueden diagonalizar mediante matrices ortogonales ; es decir, dada una matriz simétrica real, es diagonal para alguna matriz ortogonal . De manera más general, las matrices son diagonalizables por matrices unitarias si y solo si son normales . En el caso de la matriz simétrica real, vemos que, tan claramentesostiene. Ejemplos de matrices normales son matrices simétricas reales (o simétricas sesgadas ) (por ejemplo, matrices de covarianza) y matrices hermitianas (o matrices hermitianas sesgadas). Consulte los teoremas espectrales para generalizaciones a espacios vectoriales de dimensión infinita.
Matrices que no son diagonalizables
En general, una matriz de rotación no es diagonalizable sobre los reales, pero todas las matrices de rotación son diagonalizables sobre el campo complejo. Incluso si una matriz no es diagonalizable, siempre es posible "hacer lo mejor que se pueda" y encontrar una matriz con las mismas propiedades que consta de valores propios en la diagonal principal y unos o ceros en la superdiagonal, conocida como normal de Jordan forma .
Algunas matrices no se pueden diagonalizar sobre ningún campo, sobre todo las matrices nilpotentes distintas de cero . Esto sucede de manera más general si las multiplicidades algebraicas y geométricas de un valor propio no coinciden. Por ejemplo, considere
Esta matriz no es diagonalizable: no hay matriz tal que es una matriz diagonal. En efecto, tiene un valor propio (es decir, cero) y este valor propio tiene multiplicidad algebraica 2 y multiplicidad geométrica 1.
Algunas matrices reales no son diagonalizables sobre las reales. Considere, por ejemplo, la matriz
La matriz no tiene valores propios reales, por lo que no hay una matriz real tal que es una matriz diagonal. Sin embargo, podemos diagonalizarsi permitimos números complejos. De hecho, si tomamos
luego es diagonal. Es fácil de encontrar que es la matriz de rotación que gira en sentido antihorario por ángulo
Tenga en cuenta que los ejemplos anteriores muestran que la suma de matrices diagonalizables no necesita ser diagonalizable.
Cómo diagonalizar una matriz
Diagonalizar una matriz es el mismo proceso que encontrar sus autovalores y autovectores , en el caso de que los autovectores formen una base. Por ejemplo, considere la matriz
Las raíces del polinomio característico son los valores propios . Resolviendo el sistema lineal da los vectores propios y , mientras da ; es decir, por . Estos vectores forman la base de, por lo que podemos ensamblarlos como los vectores columna de una matriz de cambio de base Llegar:
Tenga en cuenta que no hay un orden preferido de los autovectores en ; cambiando el orden de los autovectores ensimplemente cambia el orden de los valores propios en la forma diagonalizada de. [2]
Aplicación a funciones matriciales
La diagonalización se puede utilizar para calcular de manera eficiente las potencias de una matriz :
y este último es fácil de calcular ya que solo involucra las potencias de una matriz diagonal. Por ejemplo, para la matriz con valores propios en el ejemplo anterior calculamos:
Este enfoque se puede generalizar a la matriz exponencial y otras funciones matriciales que se pueden definir como series de potencias. Por ejemplo, definir, tenemos:
Esto es particularmente útil para encontrar expresiones de forma cerrada para términos de secuencias recursivas lineales , como los números de Fibonacci .
Aplicación particular
Por ejemplo, considere la siguiente matriz:
Calculando las distintas potencias de revela un patrón sorprendente:
El fenómeno anterior se puede explicar diagonalizando . Para lograr esto, necesitamos una base de que consta de autovectores de . Una de estas bases de vectores propios viene dada por
donde e i denota la base estándar de R n . El cambio inverso de base viene dado por
Los cálculos sencillos muestran que
Por tanto, a y b son los valores propios correspondientes a u y v , respectivamente. Por linealidad de la multiplicación de matrices, tenemos que
Volviendo a la base estándar, tenemos
Las relaciones precedentes, expresadas en forma de matriz, son
explicando así el fenómeno anterior.
Aplicación mecánica cuántica
En los cálculos de la mecánica cuántica y la química cuántica, la diagonalización de matrices es uno de los procesos numéricos más frecuentemente aplicados. La razón básica es que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es una ecuación de valor propio, aunque en la mayoría de las situaciones físicas en un espacio de dimensión infinita (un espacio de Hilbert ).
Una aproximación muy común es truncar el espacio de Hilbert a una dimensión finita, después de lo cual la ecuación de Schrödinger se puede formular como un problema de valor propio de una matriz hermitiana simétrica o compleja real. Formalmente, esta aproximación se basa en el principio variacional , válido para los hamiltonianos que están delimitados desde abajo.
La teoría de la perturbación de primer orden también conduce al problema de los valores propios de la matriz para los estados degenerados.
Ver también
- Matriz defectuosa
- Escala (geometría)
- Matriz triangular
- Operador semisimple
- Grupo diagonalizable
- Jordan forma normal
- Módulo de peso - generalización de álgebra asociativa
- Diagonalización ortogonal
Notas
Referencias
- ↑ Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis, segunda edición . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521839402.
- ^ Anton, H .; Rorres, C. (22 de febrero de 2000). Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (8ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-17052-5.