En lógica matemática , el teorema de compacidad establece que un conjunto de oraciones de primer orden tiene un modelo si y solo si cada subconjunto finito tiene un modelo. Este teorema es una herramienta importante en la teoría de modelos , ya que proporciona un método útil (pero generalmente no efectivo) para construir modelos de cualquier conjunto de oraciones que sea finitamente consistente .
El teorema de compacidad para el cálculo proposicional es una consecuencia del teorema de Tychonoff (que dice que el producto de espacios compactos es compacto) aplicado a espacios compactos de Stone , [1] de ahí el nombre del teorema. Asimismo, es análoga a la caracterización de la propiedad de la intersección finita de la compacidad en espacios topológicos : una colección de conjuntos cerrados en un espacio compacto tiene una intersección no vacía si cada subcolección finita tiene una intersección no vacía.
El teorema de compacidad es una de las dos propiedades clave, junto con el teorema de Löwenheim-Skolem hacia abajo , que se utiliza en el teorema de Lindström para caracterizar la lógica de primer orden. Aunque hay algunas generalizaciones del teorema de compacidad a lógicas que no son de primer orden, el teorema de compacidad en sí mismo no se cumple en ellas, excepto por un número muy limitado de ejemplos. [2]
Kurt Gödel demostró el teorema de la compacidad contable en 1930. Anatoly Maltsev demostró el caso incontable en 1936. [3] [4]
El teorema de la compacidad tiene muchas aplicaciones en la teoría de modelos; aquí se esbozan algunos resultados típicos.
El teorema de compacidad implica el siguiente resultado, establecido por Abraham Robinson en su disertación de 1949 .