En topología general , una rama de las matemáticas , se dice que una familia A no vacía de subconjuntos de un conjunto X tiene la propiedad de intersección finita (FIP) si la intersección sobre cualquier subcolección finita de A no está vacía . Tiene la propiedad de intersección finita fuerte (SFIP) si la intersección sobre cualquier subcolección finita de A es infinita.
Un sistema de conjuntos centrado es una colección de conjuntos con la propiedad de intersección finita.
Definición
Dejar ser un set y dejar ser una familia no vacía de subconjuntos de indexado por un conjunto arbitrario. La coleccióntiene la propiedad de intersección finita ( FIP ) si cualquier subcolección finita de dos o más conjuntos tiene una intersección no vacía, es decir, es un conjunto no vacío para cada finito no vacío .
Si es una familia de conjuntos no vacía, los siguientes son equivalentes:
- tiene la propiedad de intersección finita.
- El ¸ -Sistema generada por no tiene el conjunto vacío como elemento.
- es una subbase de filtro .
- es un subconjunto de algún prefiltro .
- es un subconjunto de algún filtro adecuado .
Discusión
El conjunto vacío no puede pertenecer a ninguna colección con la propiedad de intersección finita. La condición se cumple trivialmente si la intersección de toda la colección no está vacía (en particular, si la colección en sí está vacía), y también se cumple trivialmente si la colección está anidada, lo que significa que la colección está totalmente ordenada por inclusión ( de manera equivalente, para cualquier subcolección finita, un elemento particular de la subcolección está contenido en todos los demás elementos de la subcolección), por ejemplo, la secuencia anidada de intervalos (0, 1 / n ). Sin embargo, estas no son las únicas posibilidades. Por ejemplo, si X = (0, 1) y para cada entero positivo i , X i es el conjunto de elementos de X que tienen una expansión decimal con el dígito 0 en el i- ésimo lugar decimal, entonces cualquier intersección finita no está vacía ( simplemente tome 0 en esos lugares finitos y 1 en el resto), pero la intersección de todo X i para i ≥ 1 está vacía, ya que ningún elemento de (0, 1) tiene todos los dígitos cero.
La propiedad de intersección finita es útil para formular una definición alternativa de compacidad :
- un espacio es compacto si y solo si cada familia de subconjuntos cerrados que tienen la propiedad de intersección finita tiene una intersección no vacía. [1] [2]
Esta formulación de compacidad se utiliza en algunas pruebas del teorema de Tychonoff y la incontabilidad de los números reales (véase la siguiente sección).
Aplicaciones
Teorema - Let X ser un no-vacío compacto espacio de Hausdorff que satisface la propiedad de que ningún conjunto de un punto es abierta . Entonces X es incontable .
Prueba |
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Demostraremos que si U ⊆ X no está vacío y es abierto, y si x es un punto de X , entonces hay una vecindad V ⊂ U cuyo cierre no contiene x ( x puede estar o no en U ). Elija y en U diferente de x (si x está en U , entonces debe existir tal y porque, de lo contrario, U sería un conjunto de un punto abierto; si x no está en U , esto es posible ya que U no está vacío). Entonces por la condición de Hausdorff, elegir barrios disjuntos W y K de x y Y respectivamente. Entonces K ∩ U será una vecindad de y contenida en U cuyo cierre no contiene x como se desea. Ahora suponga que f : N → X es una biyección , y sea { x i : i ∈ N } la imagen de f . Sea X el primer conjunto abierto y elija una vecindad U 1 ⊂ X cuyo cierre no contenga x 1 . En segundo lugar, elija una vecindad U 2 ⊂ U 1 cuyo cierre no contenga x 2 . Continúe este proceso eligiendo un vecindario U n +1 ⊂ U n cuyo cierre no contenga x n +1 . Entonces la colección { U i : i ∈ N } satisface la propiedad de intersección finita y, por tanto, la intersección de sus cierres no está vacío por la compacidad de X . Por lo tanto, hay un punto x en esta intersección. Ningún x i puede pertenecer a esta intersección porque x i no pertenece al cierre de U i . Esto significa que x no es igual ax i para todo i y f no es sobreyectiva ; una contradicción. Por tanto, X es incontable. |
Todas las condiciones en el enunciado del teorema son necesarias:
1. No podemos eliminar la condición de Hausdorff; un conjunto contable (con al menos dos puntos) con la topología indiscreta es compacto, tiene más de un punto y satisface la propiedad de que ningún conjunto de un punto está abierto, pero no es incontable.
2. No podemos eliminar la condición de compacidad, como muestra el conjunto de números racionales .
3. No podemos eliminar la condición de que los conjuntos de un punto no pueden estar abiertos, como lo muestra cualquier espacio finito con la topología discreta .
Corolario - Todo intervalo cerrado [ a , b ] con a < b es incontable. Por tanto, R es incontable.
Corolario : cada espacio de Hausdorff perfecto y localmente compacto es incontable.
Prueba |
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Sea X un espacio de Hausdorff perfecto y compacto, entonces el teorema implica inmediatamente que X es incontable. Si X es un espacio de Hausdorff perfecto, localmente compacto que no es compacto, entonces la compactificación de un punto de X es un espacio de Hausdorff perfecto y compacto. Por lo tanto, la compactación de un punto de X es incontable. Dado que eliminar un punto de un conjunto incontable todavía deja un conjunto incontable, X también es incontable. |
Ejemplos de
Un filtro adecuado en un conjunto tiene la propiedad de intersección finita. Un π -sistema tiene la propiedad de intersección finita si y sólo si no tiene el conjunto vacío como elemento.
Teoremas
Sea X no vacío, F ⊆ 2 X , F tiene la propiedad de intersección finita. Entonces existe una U ultrafiltro (en 2 X ) tal que F ⊆ U .
Véanse detalles y pruebas en Csirmaz y Hajnal (1994) . [3] Este resultado se conoce como el lema del ultrafiltro .
Variantes
Una familia de conjuntos A tiene la propiedad de intersección finita fuerte (SFIP), si cada subfamilia finita de A tiene una intersección infinita.
Referencias
- ^ Munkres, James (2004). Topología . New Dehli: Prentice-Hall de India. pag. 169. ISBN 978-81-203-2046-8.
- ^ "Un espacio es compacto si cualquier familia de conjuntos cerrados que tienen fip tiene una intersección no vacía" . PlanetMath .
- ^ Csirmaz, László; Hajnal, András (1994), Matematikai logika (en húngaro) , Budapest: Universidad Eötvös Loránd.
- "Propiedad de intersección finita" . PlanetMath .