Variedad compleja
En geometría diferencial y geometría compleja , una variedad compleja es una variedad con un atlas de gráficos en el disco unitario abierto [1] en , de modo que los mapas de transición son holomorfos .
El término variedad compleja se usa de diversas formas para referirse a una variedad compleja en el sentido anterior (que se puede especificar como una variedad compleja integrable ) y una variedad casi compleja .
Dado que las funciones holomorfas son mucho más rígidas que las funciones suaves , las teorías de las variedades suaves y complejas tienen sabores muy diferentes: las variedades complejas compactas están mucho más cerca de las variedades algebraicas que de las variedades diferenciables.
Por ejemplo, el teorema de incrustación de Whitney nos dice que cada variedad n -dimensional suave puede estar incrustada como una subvariedad suave de R 2 n , mientras que es "raro" que una variedad compleja tenga una incrustación holomorfa en C n . Considere, por ejemplo, cualquier variedad compleja compacta conexa M : cualquier función holomorfa en ella es constante según el teorema de Liouville . Ahora bien, si tuviéramos una incrustación holomorfa de M en C n , entonces las funciones de coordenadas de C nse restringiría a funciones holomorfas no constantes en M , contradiciendo la compacidad, excepto en el caso de que M sea solo un punto. Las variedades complejas que se pueden incrustar en C n se denominan variedades de Stein y forman una clase muy especial de variedades que incluyen, por ejemplo, variedades algebraicas afines complejas suaves.
La clasificación de las variedades complejas es mucho más sutil que la de las variedades diferenciables. Por ejemplo, mientras que en dimensiones distintas de cuatro, una variedad topológica dada tiene, como máximo, un número finito de estructuras uniformes , una variedad topológica que soporta una estructura compleja puede soportar, y a menudo lo hace, innumerables estructuras complejas. Las superficies de Riemann , variedades bidimensionales dotadas de una estructura compleja, que se clasifican topológicamente por género , son un ejemplo importante de este fenómeno. El conjunto de estructuras complejas en una superficie orientable dada, equivalencia módulo biholomórfica, forma en sí mismo una variedad algebraica compleja llamada espacio de módulos , cuya estructura sigue siendo un área de investigación activa.
Dado que los mapas de transición entre gráficos son biholomórficos, las variedades complejas son, en particular, suaves y están orientadas canónicamente (no solo orientables : un mapa biholomórfico a (un subconjunto de) C n da una orientación, ya que los mapas biholomórficos conservan la orientación).
