Composición de funciones

Función
$x \mapsto f (x)$
Ejemplos de dominios y codominios
$X$ → , → , → $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ $X$ $\mathbb {N} ^{n}$ $X$ $X$ → , → $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $X$ $X$ → , → , → $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $X$ $\mathbb {R} ^{n}$ $X$ $X$ → , → , → $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $X$ $\mathbb {C} ^{n}$ $X$
Clases / propiedades
Constante Identidad Lineal Polinomio Racional Algebraico Analítico Suave Continuo Mensurable Inyectable Sobreyectiva Biyectiva
Construcciones
Restricción Composición λ Inverso
Generalizaciones
Parcial Multivalor Implícito
v t mi

En matemáticas , la composición de funciones es una operación que toma dos funciones $f$ y $gy$ produce una función $h$ tal que $h (x) = g (f (x))$ . En esta operación, la función $g$ se aplica al resultado de aplicar la función $f$ a $x$ . Es decir, las funciones $f : X \to Y$ y $g : Y \to Z$ están compuestaspara producir una función que mapea $x$ en $X$ para $g (f (x))$ en $Z$ .

Intuitivamente, si $z$ es una función de $y$ , e $y$ es una función de $x$ , entonces $z$ es una función de $x$ . El resultante compuesto función se denota $g \circ f : X \to Z$ , definida por $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ para todo $x$ en $X$ . ^{[nb 1]} La notación $g \circ f$ se lee como " $g$ círculo $f$ "," $g$ alrededor de $f$ "," $g$ sobre $f$ "," $g$ compuesto con $f$ "," $g$ después de $f$ "," $g$ después de $f$ "," $g$ de $f$ "," $f$ luego $g$ ", o" $g$ en $f$ ", o" la composición de $g$ y $f$ ". Intuitivamente, $La composición de funciones es un proceso de encadenamiento en el que la salida de la función f$ alimenta la entrada de la función $g$ .

La composición de funciones es un caso especial de la composición de relaciones , a veces también denotado por . ^[1] Como resultado, todas las propiedades de la composición de relaciones son verdaderas para la composición de funciones, ^[2] aunque la composición de funciones tiene algunas propiedades adicionales. $\circ$

La composición de funciones es diferente de la multiplicación de funciones y tiene propiedades bastante diferentes; ^[3] en particular, la composición de funciones no es conmutativa .

Ejemplos de

Ejemplo concreto de composición de dos funciones.

Composición de funciones en un conjunto finito: Si $f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ y $g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , luego $g \circ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}$ , como se muestra en la figura.
Composición de funciones en un conjunto infinito : Si $f : ℝ \to ℝ$ (donde $ℝ$ es el conjunto de todos los números reales ) está dado por $f (x) = 2 x + 4$ y $g : ℝ \to ℝ$ está dado por $g (x) = x 3$ , entonces:

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x 3) = 2 x 3 + 4

, y

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3

.

Si la altitud de un avión en el momento $t$ es $a (t)$ y la presión del aire en la altitud $x$ es $p (x)$ , entonces $(p \circ a) (t)$ es la presión alrededor del avión en el momento $t$ .

Propiedades

La composición de funciones es siempre asociativa, una propiedad heredada de la composición de relaciones . ^[2] Es decir, si $f$ , $g$ y $h$ son componibles, entonces $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ . ^[4] Dado que los paréntesis no cambian el resultado, generalmente se omiten.

En sentido estricto, la composición $g \circ f$ solo es significativa si el codominio de $f$ es igual al dominio de $g$ ; en un sentido más amplio, es suficiente que el primero sea un subconjunto del segundo. ^{[nb 2]} Además, a menudo es conveniente restringir tácitamente el dominio de $f$ , de modo que $f$ produzca sólo valores en el dominio de $g$ . Por ejemplo, la composición $g \circ f$ de las funciones $f : ℝ \to (-\infty, + 9]$ definida por $f (x) = 9 - x 2$ y $g : [0, + \infty) \to ℝ$ definido por se puede definir en el intervalo $[-3, + 3]$ . $g(x)={\sqrt {x}}$

Las composiciones de dos funciones reales , el valor absoluto y una función cúbica , en diferentes órdenes, muestran una no conmutatividad de composición.

Se dice que las funciones $g$ y $f$ se conmutan entre sí si $g \circ f = f \circ g$ . La conmutatividad es una propiedad especial, obtenida solo por funciones particulares y, a menudo, en circunstancias especiales. Por ejemplo, $| x | + 3 = | x + 3 |$ solo cuando $x \geq 0$ . La imagen muestra otro ejemplo.

La composición de las funciones uno a uno (inyectables) es siempre uno a uno. De manera similar, la composición de funciones sobre (sobreyectivas) siempre es sobre. De ello se deduce que la composición de dos biyecciones también es una biyección. La función inversa de una composición (supuestamente invertible) tiene la propiedad de que $(f \circ g) -1 = g -1 \circ f -1$ . ^[5]

Las derivadas de composiciones que involucran funciones diferenciables se pueden encontrar usando la regla de la cadena . Las derivadas superiores de tales funciones vienen dadas por la fórmula de Faà di Bruno . ^[4]

Composición monoides

Supongamos que uno tiene dos (o más) funciones $f : X \to X,$ $g : X \to X que$ tienen el mismo dominio y codominio; a menudo se les llama transformaciones . Entonces se pueden formar cadenas de transformaciones compuestas juntas, como $f \circ f \circ g \circ f$ . Dichas cadenas tienen la estructura algebraica de un monoide , llamado monoide de transformación o (mucho más raramente) monoide de composición.. En general, los monoides de transformación pueden tener una estructura notablemente complicada. Un ejemplo notable en particular es la curva de De Rham . El conjunto de todas las funciones $f : X \to X$ se llama el semigrupo transformación completa ^[6] o semigrupo simétrica ^[7] en $X$ . (De hecho, se pueden definir dos semigrupos dependiendo de cómo se defina la operación de semigrupo como la composición de funciones izquierda o derecha. ^[8] )

La similitud que transforma el triángulo EFA en el triángulo ATB es la composición de una homotecia

H

y una rotación

R

, cuyo centro común es S. Por ejemplo, la imagen de A debajo de la rotación

R

es U , que puede escribirse

R

( A ) = U. Y

H

( U ) = B significa que el mapeo

H

transforma U en B. Por lo tanto

H (R

( A )) =

(H \circ R)

( A ) = B .

Si las transformaciones son biyectivas (y por tanto invertibles), entonces el conjunto de todas las combinaciones posibles de estas funciones forma un grupo de transformación ; y se dice que el grupo es generado por estas funciones. Un resultado fundamental en la teoría de grupos, el teorema de Cayley , esencialmente dice que cualquier grupo es de hecho solo un subgrupo de un grupo de permutación (hasta el isomorfismo ). ^[9]

El conjunto de todas las funciones biyectivas $f : X \to X$ (llamadas permutaciones ) forma un grupo con respecto a la composición de la función. Este es el grupo simétrico , también llamado a veces grupo de composición .

En el semigrupo simétrico (de todas las transformaciones) también se encuentra una noción de inversa más débil y no única (llamada pseudoinverso) porque el semigrupo simétrico es un semigrupo regular . ^[10]

Poderes funcionales

Si $Y \subseteq X$ , entonces $f : X \to Y$ puede componerse consigo mismo; esto a veces se denota como $f 2$ . Eso es:

(f \circ f) (x) = f (f (x)) = f 2 (x)

(f \circ f \circ f) (x) = f (f (f (x))) = f 3 (x)

(f \circ f \circ f \circ f) (x) = f (f (f (f (x)))) = f 4 (x)

De manera más general, para cualquier número natural $n \geq 2$ , la $n-$ ésima potencia funcional se puede definir inductivamente por $f n = f \circ f n -1 = f n -1 \circ f$ , una notación introducida por Hans Heinrich Bürmann ^{[ cita requerida ]}^{[ 11]}^[12] y John Frederick William Herschel . ^[13]^[11]^[14]^[12] La composición repetida de una función de este tipo consigo misma se llama función iterada.

Por convención, $f 0$ se define como el mapa de identidad en $f$ 's de dominio, $Identificación del X$ .
Si incluso $Y = X$ y $f : X \to X$ admite una función inversa $f -1$ , las potencias funcionales negativas $f - n$ se definen para $n > 0$ como la potencia negada de la función inversa: $f - n = (f -1) n$ . ^[13]^[11]^[12]

Nota: Si $f$ toma sus valores en un anillo (en particular para $f$ real o de valor complejo ), existe el riesgo de confusión, ya que $f n$ también podría representar el producto $n-$ veces de $f$ , por ejemplo, $f 2 (x) = f (x) \cdot f (x)$ . ^[12] Para funciones trigonométricas, por lo general se entiende lo último, al menos para exponentes positivos. ^[12] Por ejemplo, en trigonometría , esta notación de superíndice representa la exponenciación estándarcuando se usa con funciones trigonométricas : $sin 2 (x) = sin (x) \cdot sin (x)$ . Sin embargo, para exponentes negativos (especialmente −1), normalmente se refiere a la función inversa, por ejemplo, $tan -1 = arctan \neq 1 / tan$ .

En algunos casos, cuando, para una función $f$ dada , la ecuación $g \circ g = f$ tiene una solución única $g$ , esa función puede definirse como la raíz cuadrada funcional de $f$ , y luego escribirse como $g = f 1/2$ .

De manera más general, cuando $g n = f$ tiene una solución única para algún número natural $n > 0$ , entonces $f m / n$ se puede definir como $g m$ .

Bajo restricciones adicionales, esta idea se puede generalizar para que el recuento de iteraciones se convierta en un parámetro continuo; en este caso, dicho sistema se denomina flujo y se especifica mediante soluciones de la ecuación de Schröder . Las funciones y los flujos iterados ocurren naturalmente en el estudio de fractales y sistemas dinámicos .

Para evitar la ambigüedad, algunos matemáticos ^{[ cita requerida ]} eligen usar $\circ$ para denotar el significado compositivo, escribiendo $f \circ n (x)$ para la $n$ -ésima iteración de la función $f (x)$ , como en, por ejemplo, $f \circ3 (x) que$ significa $f (f (f (x)))$ . Con el mismo propósito, Benjamin Peirce utilizó $f [n] (x)$ ^[15]^[12] mientras que Alfred Pringsheim y Jules Molk sugirieron $n f (x) en su$ lugar. ^[16]^[12]^{[nb 3]}

Notaciones alternativas

Muchos matemáticos, particularmente en teoría de grupos , omiten el símbolo de composición, escribiendo $gf$ por $g \circ f$ . ^[17]

A mediados del siglo XX, algunos matemáticos decidieron que escribir " $g \circ f$ " para significar "primero aplicar $f$ , luego aplicar $g$ " era demasiado confuso y decidieron cambiar las notaciones. Escriben " $xf$ " para " $f (x)$ " y " $(xf) g$ " para " $g (f (x))$ ". ^[18] Esto puede ser más natural y parecer más simple que escribir funciones a la izquierda en algunas áreas - en álgebra lineal , por ejemplo,cuando $x$ es un vector de filay $f$ y $g$ denotan matrices y la composición es por multiplicación de matrices . Esta notación alternativa se llama notación postfija . El orden es importante porque la composición de la función no es necesariamente conmutativa (por ejemplo, multiplicación de matrices). Las sucesivas transformaciones que se aplican y componen a la derecha concuerdan con la secuencia de lectura de izquierda a derecha.

Los matemáticos que usan la notación postfija pueden escribir " $fg$ ", lo que significa que primero aplican $f$ y luego aplican $g$ , de acuerdo con el orden en que aparecen los símbolos en la notación postfija, lo que hace que la notación " $fg$ " sea ambigua. Los científicos de la computación pueden escribir " $f; g$ " para esto, ^{[19] de} ese modo eliminar la ambigüedad del orden de composición. Para distinguir el operador de composición de la izquierda de un punto y coma de texto, en la notación Z se utiliza el carácter ⨾ para la composición de la relación de la izquierda . ^[20] Dado que todas las funciones son relaciones binarias, es correcto utilizar el punto y coma [fat] también para la composición de funciones (consulte el artículo sobre composición de relaciones para obtener más detalles sobre esta notación).

Operador de composición

Dada una función $g$ , el operador de composición $C g$ se define como el operador que asigna funciones a funciones como

C_{g}f=f\circ g.

Los operadores de composición se estudian en el campo de la teoría de operadores .

En lenguajes de programación

La composición de funciones aparece de una forma u otra en numerosos lenguajes de programación .

Funciones multivariadas

La composición parcial es posible para funciones multivariadas . La función que resulta cuando algún argumento $x i$ de la función $f$ se reemplaza por la función $g$ se denomina composición de $f$ y $g$ en algunos contextos de ingeniería informática, y se denota $f | x yo = g$

f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

Cuando $g$ es una constante simple $b$ , la composición degenera en una valoración (parcial), cuyo resultado también se conoce como restricción o cofactor . ^[21]

f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

En general, la composición de funciones multivariadas puede involucrar varias otras funciones como argumentos, como en la definición de función recursiva primitiva . Dada $f$ , una función $n-$ aria, $yn$ funciones $m$ -arias $g 1, ..., g n$ , la composición de $f$ con $g 1, ..., g n$ , es la función $m$ -aria

h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m}))

.

Esto a veces se denomina compuesto generalizado o superposición de f con $g 1, ..., g n$ . ^[22] La composición parcial en un solo argumento mencionado anteriormente se puede ejemplificar a partir de este esquema más general estableciendo todas las funciones de argumento excepto una para que sean funciones de proyección adecuadamente elegidas . Aquí $g 1, ..., g n$ puede verse como una única función con valor de vector / tupla en este esquema generalizado, en cuyo caso esta es precisamente la definición estándar de composición de funciones. ^[23]

Un conjunto de operaciones finales sobre algún conjunto base X se denomina clon si contiene todas las proyecciones y está cerrado bajo una composición generalizada. Tenga en cuenta que un clon generalmente contiene operaciones de varias aridades . ^[22] La noción de conmutación también encuentra una interesante generalización en el caso multivariado; se dice que una función f de aridad n conmuta con una función g de aridad m si f es un homomorfismo que conserva g , y viceversa, es decir: ^[22]

f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))

.

Una operación unaria siempre conmuta consigo misma, pero este no es necesariamente el caso de una operación binaria (o superior). Una operación binaria (o superior) que se conmuta consigo misma se llama medial o entrópica . ^[22]

Generalizaciones

La composición se puede generalizar a relaciones binarias arbitrarias . Si $R \subseteq X \times Y$ y $S \subseteq Y \times Z$ son dos relaciones binarias, a continuación, su composición $R \circ S$ es la relación definida como ${(x, z) \in X \times Z : \exists Y \in Y . (x, y) \in R \land (y, z) \in S}$ . Considerando una función como un caso especial de una relación binaria (es decir , relaciones funcionales ), la composición de funciones satisface la definición de composición de relaciones. Se ha utilizado un círculo pequeño $R \circ S$ para la notación infija de la composición de relaciones , así como funciones. Sin embargo, cuando se utiliza para representar la composición de funciones , la secuencia de texto se invierte para ilustrar las diferentes secuencias de operaciones en consecuencia. $(g\circ f)(x)\ =\ g(f(x))$

La composición se define de la misma manera para funciones parciales y el teorema de Cayley tiene su análogo llamado teorema de Wagner-Preston . ^[24]

La categoría de conjuntos con funciones como morfismos es la categoría prototípica . Los axiomas de una categoría se inspiran de hecho en las propiedades (y también en la definición) de la composición de funciones. ^[25] Las estructuras dadas por la composición son axiomatizadas y generalizadas en la teoría de categorías con el concepto de morfismo como el reemplazo teórico de categorías de funciones. El orden inverso de composición en la fórmula $(f \circ g) -1 = (g -1 \circ f -1) se$ aplica a la composición de relacionesutilizando relaciones recíprocas y, por tanto, en la teoría de grupos . Estas estructuras forman categorías de daga .

Tipografía

El símbolo de composición $\circ$ está codificado como U + 2218 ∘ RING OPERATOR (HTML ∘ · &compfn;, &SmallCircle; ); consulte el artículo Símbolo de grado para conocer los caracteres Unicode de apariencia similar. En TeX , está escrito \circ.

Ver también

Gráfico de telaraña : una técnica gráfica para la composición funcional
Lógica combinatoria
Anillo de composición , una axiomatización formal de la operación de composición
Flujo (matemáticas)
Composición de funciones (informática)
Función de variable aleatoria , distribución de una función de variable aleatoria
Descomposición funcional
Raíz cuadrada funcional
Función de orden superior
Composiciones infinitas de funciones analíticas
Función iterada
Cálculo lambda

Notas

^ Algunos autores usan $f \circ g : X \to Z$ , definido por $(f \circ g) (x) = g (f (x)) en su$ lugar. Esto es común cuandose usauna notación de sufijo , especialmente si las funciones están representadas por exponentes, como, por ejemplo, en el estudio de acciones grupales . Véase Dixon, John D .; Mortimer, Brian (1996). Grupos de permutación . Saltador. pag. 5 . ISBN 0-387-94599-7.
^ El sentido estricto se usa, por ejemplo , en la teoría de categorías , donde una relación de subconjunto es modelada explícitamente por una función de inclusión .
↑ La notación $n$ $f$ $($ $x$ $) de$ Alfred Pringsheim y Jules Molk (1907)para denotar composiciones de funciones no debe confundirse con la notación $n$ $x de$ Rudolf von Bitter Rucker (1982), introducida por Hans Maurer (1901) y Reuben Louis Goodstein (1947) para la tetración , o con lanotación $n$ $x$ pre-superíndice de David Patterson Ellerman (1995)para las raíces .

Referencias

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enlaces externos

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[NB_Strict-6] El sentido estricto se usa, por ejemplo , en la teoría de categorías , donde una relación de subconjunto es modelada explícitamente por una función de inclusión .

[NB_Rucker-19] ↑ La notación $n$ $f$ $($ $x$ $) de$ Alfred Pringsheim y Jules Molk (1907)para denotar composiciones de funciones no debe confundirse con la notación $n$ $x de$ Rudolf von Bitter Rucker (1982), introducida por Hans Maurer (1901) y Reuben Louis Goodstein (1947) para la tetración , o con lanotación $n$ $x$ pre-superíndice de David Patterson Ellerman (1995)para las raíces .

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