Stella octangula como facetado del cubo
En geometría , tallar (también escrito facetado ) es el proceso de eliminación de partes de un polígono , poliedro o politopo , sin crear nuevos vértices .
Se pueden crear nuevos bordes de un poliedro facetado a lo largo de diagonales de cara o diagonales de espacio interno . Un poliedro facetado tendrá dos caras en cada borde y crea nuevos poliedros o compuestos de poliedros.
El facetado es el proceso recíproco o dual para la estelación . Por cada estelación de algún politopo convexo , existe una doble faceta del politopo dual .
Polígonos facetados
Por ejemplo, un pentágono regular tiene una faceta de simetría, el pentagrama , y el hexágono regular tiene dos facetas simétricas, una como polígono y otra como compuesto de dos triángulos.
Pentágono | Hexágono | Decágono | |||||||
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Pentagrama {5/2} | Estrella hexagonal | Compuesto 2 {3} | Decagramo {10/3} | Compuesto 2 {5} | Compuesto 2 {5/2} | Decágono estrella | |||
Poliedros facetados
El icosaedro regular se puede facetar en tres poliedros regulares de Kepler-Poinsot : pequeño dodecaedro estrellado, gran dodecaedro y gran icosaedro. Todos tienen 30 aristas.
Convexo | Estrellas regulares | ||
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icosaedro | gran dodecaedro | pequeño dodecaedro estrellado | gran icosaedro |
El dodecaedro regular se puede facetar en un poliedro regular de Kepler-Poinsot , tres poliedros en estrella uniformes y tres compuestos poliédricos regulares . Las estrellas uniformes y el compuesto de cinco cubos están formados por diagonales faciales . El dodecaedro excavado es una faceta con caras de estrella hexagonal.
Convexo | Estrella regular | Estrellas uniformes | Vértice-transitivo | ||
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dodecaedro | gran dodecaedro estrellado | Icosi-dodecaedro ditrigonal pequeño | Dodeca-dodecaedro Ditrigonal | Gran icosi-dodecaedro ditrigonal | Dodecaedro excavado |
Convexo | Compuestos regulares | ||
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dodecaedro | cinco tetraedros | cinco cubos | diez tetraedros |
Historia
El facetado no se ha estudiado tan ampliamente como la estelación .
- En 1568 Wenzel Jamnitzer publicó su libro Perspectiva Corporum Regularium , que muestra muchas estelaciones y facetas de poliedros. [1]
- En 1619, Kepler describió un compuesto regular de dos tetraedros que cabe dentro de un cubo, y al que llamó Stella octangula .
- En 1858, Bertrand derivó los poliedros de estrellas regulares ( poliedros de Kepler-Poinsot ) al facetar el icosaedro y el dodecaedro convexos regulares .
- En 1974, Bridge enumeró las facetas más sencillas de los poliedros regulares , incluidas las del dodecaedro .
- En 2006, Inchbald describió la teoría básica de los diagramas de facetas para poliedros. Para un vértice dado, el diagrama muestra todas las aristas y facetas posibles (caras nuevas) que pueden usarse para formar facetas del casco original. Es dual con el diagrama de estelación del poliedro dual , que muestra todas las aristas y vértices posibles para algún plano frontal del núcleo original.
Referencias
Notas
- ^ Tesoro matemático: Sólidos platónicos de Wenzel Jamnitzer por Frank J. Swetz (2013): "En este estudio de los cinco sólidos platónicos, Jamnitzer trunca, estrella y faceta los sólidos regulares [...]"
Bibliografía
- Bertrand, J. Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences , 46 (1858), págs. 79–82.
- Bridge, NJ Facetting the dodecahedron, Acta crystallographica A30 (1974), págs. 548–552.
- Inchbald, G. Diagramas de facetas, The matemática gazette , 90 (2006), págs. 253-261.
- Alan Holden , Formas, espacio y simetría . Nueva York: Dover, 1991. p.94
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Faceting" . MathWorld .
- Olshevsky, George. "Facetas" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.