Un compuesto poliédrico es una figura que se compone de varios poliedros que comparten un centro común . Son los análogos tridimensionales de compuestos poligonales como el hexagrama .
Los vértices externos de un compuesto se pueden conectar para formar un poliedro convexo llamado casco convexo . Un compuesto es una faceta de su casco convexo.
Otro poliedro convexo está formado por el pequeño espacio central común a todos los miembros del compuesto. Este poliedro se puede utilizar como núcleo de un conjunto de estelaciones .
Compuestos regulares
Un compuesto poliédrico regular se puede definir como un compuesto que, como un poliedro regular , es transitivo en el vértice , en el borde transitivo y en la cara . A diferencia del caso de los poliedros, esto no equivale al grupo de simetría que actúa transitivamente sobre sus banderas ; el compuesto de dos tetraedros es el único compuesto regular con esa propiedad. Hay cinco compuestos regulares de poliedros:
Compuesto regular (símbolo de Coxeter) | Imagen | Esférico | Casco convexo | Núcleo común | Grupo de simetría | Subgrupo restringido a un componente | Compuesto dual regular |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Dos tetraedros {4,3} [2 {3,3}] {3,4} | Cubo | Octaedro | * 432 [4,3] O h | * 332 [3,3] T d | Dos tetraedros | ||
Cinco tetraedros {5,3} [5 {3,3}] {3,5} | Dodecaedro | Icosaedro | 532 [5,3] + I | 332 [3,3] + T | Chiral twin (enantiomorfo) | ||
Diez tetraedros 2 {5,3} [10 {3,3}] 2 {3,5} | Dodecaedro | Icosaedro | * 532 [5,3] l h | 332 [3,3] T | Diez tetraedros | ||
Cinco cubos 2 {5,3} [5 {4,3}] | Dodecaedro | Triacontaedro rómbico | * 532 [5,3] l h | 3 * 2 [3,3] T h | Cinco octaedros | ||
Cinco octaedros [5 {3,4}] 2 {3,5} | Icosidodecaedro | Icosaedro | * 532 [5,3] l h | 3 * 2 [3,3] T h | Cinco cubos |
El más conocido es el compuesto regular de dos tetraedros , a menudo llamado stella octangula , nombre que le dio Kepler . Los vértices de los dos tetraedros definen un cubo , y la intersección de los dos define un octaedro regular , que comparte los mismos planos faciales que el compuesto. Así, el compuesto de dos tetraedros es una estelación del octaedro y, de hecho, la única estelación finita del mismo.
El compuesto regular de cinco tetraedros viene en dos versiones enantiomórficas , que juntas forman el compuesto regular de diez tetraedros. [1] El compuesto regular de diez tetraedros también se puede construir con cinco Stellae octangulae. [1]
Cada uno de los compuestos tetraédricos regulares es auto-dual o dual con su gemelo quiral; el compuesto regular de cinco cubos y el compuesto regular de cinco octaedros son duales entre sí.
Por lo tanto, los compuestos poliédricos regulares también pueden considerarse compuestos regulares duales .
La notación de Coxeter para compuestos regulares se da en la tabla anterior, incorporando símbolos de Schläfli . El material dentro de los corchetes, [ d { p , q }], denota los componentes del compuesto: d separados { p , q }. El material antes de los corchetes indica la disposición de los vértices del compuesto: c { m , n } [ d { p , q }] es un compuesto de d { p , q } que comparte los vértices de { m , n } contados c veces. El material después de los corchetes denota la disposición de las facetas del compuesto: [ d { p , q }] e { s , t } es un compuesto de d { p , q } que comparte las caras de { s , t } contadas e veces. Estos pueden combinarse: así c { m , n } [ d { p , q }] e { s , t } es un compuesto de d { p , q } que comparte los vértices de { m , n } contados c veces y las caras de { s , t } contadas e veces. Esta notación se puede generalizar a compuestos en cualquier número de dimensiones. [2]
Compuestos duales
Un compuesto dual se compone de un poliedro y su dual, dispuesto recíprocamente alrededor de una interesfera o media esfera común, de modo que el borde de un poliedro interseca el borde dual del poliedro dual. Hay cinco compuestos duales de los poliedros regulares.
El núcleo es la rectificación de ambos sólidos. El casco es el dual de esta rectificación, y sus caras rómbicas tienen los bordes de intersección de los dos sólidos como diagonales (y tienen sus cuatro vértices alternos). Para los sólidos convexos, este es el casco convexo .
Compuesto dual | Imagen | Cáscara | Centro | Grupo de simetría |
---|---|---|---|---|
Dos tetraedros ( compuesto de dos tetraedros , octaedro estrellado ) | Cubo | Octaedro | * 432 [4,3] O h | |
Cubo - octaedro ( compuesto de cubo y octaedro ) | Dodecaedro rómbico | Cuboctaedro | * 432 [4,3] O h | |
Dodecaedro - icosaedro ( compuesto de dodecaedro e icosaedro ) | Triacontaedro rómbico | Icosidodecaedro | * 532 [5,3] l h | |
Pequeño dodecaedro estrellado - gran dodecaedro ( compuesto de sD y gD ) | Triacontaedro rómbico medial (convexo: icosaedro ) | Dodecadodecaedro ( Convexo : Dodecaedro ) | * 532 [5,3] l h | |
Gran icosaedro - gran dodecaedro estrellado ( compuesto de gI y gsD ) | Gran triacontaedro rómbico (Convexo: Dodecaedro ) | Gran icosidodecaedro (Convexo: Icosaedro ) | * 532 [5,3] l h |
El tetraedro es auto-dual, por lo que el compuesto dual de un tetraedro con su dual es el octaedro estrellado regular .
Los compuestos duales octaédricos e icosaédricos son las primeras estelaciones del cuboctaedro y del icosidodecaedro , respectivamente.
Compuestos uniformes
En 1976, John Skilling publicó Uniform Compounds of Uniform Polyhedra que enumeró 75 compuestos (incluidos 6 como conjuntos prismáticos infinitos de compuestos, # 20- # 25) hechos de poliedros uniformes con simetría rotacional. (Cada vértice es transitivo por vértice y cada vértice es transitivo con todos los demás vértices). Esta lista incluye los cinco compuestos regulares anteriores. [1]
Los 75 compuestos uniformes se enumeran en la tabla siguiente. La mayoría se muestra en colores singulares por cada elemento poliedro. Algunos pares quirales de grupos de caras están coloreados por la simetría de las caras dentro de cada poliedro.
- 1-19: Varios (4, 5, 6, 9, 17 son los 5 compuestos regulares )
- 20-25: Simetría del prisma incrustada en la simetría del prisma ,
- 26-45: Simetría de prisma incrustada en simetría octaédrica o icosaédrica ,
- 46-67: Simetría tetraédrica incrustada en simetría octaédrica o icosaédrica,
- 68-75: pares de enantiomorfos
Otros compuestos
El compuesto de cuatro cubos (izquierda) no es un compuesto regular, ni un compuesto dual, ni un compuesto uniforme. Su dual, el compuesto de cuatro octaedros (derecha), es un compuesto uniforme. |
- Compuesto de tres octaedros
- Compuesto de cuatro cubos
Dos poliedros que son compuestos pero tienen sus elementos rígidamente bloqueados en su lugar son el pequeño complejo icosidodecaedro (compuesto de icosaedro y gran dodecaedro ) y el gran icosidodecaedro complejo (compuesto de pequeño dodecaedro estrellado y gran icosaedro ). Si se generaliza la definición de poliedro uniforme , son uniformes.
La sección de pares de enantiomorfos en la lista de Skilling no contiene el compuesto de dos grandes dodecicosidodecaedros chatos , ya que las caras del pentagrama coincidirían. Eliminar las caras coincidentes da como resultado el compuesto de veinte octaedros .
Compuestos de 4 politopos
75 {4,3,3} | 75 {3,3,4} |
---|
En 4 dimensiones, hay una gran cantidad de compuestos regulares de politopos regulares. Coxeter enumera algunos de estos en su libro Regular Polytopes . [3] McMullen agregó seis en su artículo New Regular Compounds of 4-Polytopes . [4]
Auto-duales:
Compuesto | Constitucion | Simetría |
---|---|---|
120 5 celdas | 5 celdas | [5,3,3], pedido 14400 [3] |
120 5 celdas (var) | 5 celdas | orden 1200 [4] |
720 5 celdas | 5 celdas | [5,3,3], pedido 14400 [3] |
5 24 celdas | 24 celdas | [5,3,3], pedido 14400 [3] |
Pares duales:
Compuesto 1 | Compuesto 2 | Simetría |
---|---|---|
3 16 celdas [5] | 3 teseractos | [3,4,3], orden 1152 [3] |
15 16 celdas | 15 teseractos | [5,3,3], pedido 14400 [3] |
75 16 celdas | 75 teseractos | [5,3,3], pedido 14400 [3] |
75 16 celdas (var) | 75 teseractos (var) | orden 600 [4] |
300 16 celdas | 300 teseractos | [5,3,3] + , pedido 7200 [3] |
600 16 celdas | 600 teseractos | [5,3,3], pedido 14400 [3] |
25 24 celdas | 25 24 celdas | [5,3,3], pedido 14400 [3] |
Compuestos uniformes y duales con 4 politopos convexos:
Compuesto 1 Vértice-transitivo | Compuesto 2 celular transitivo | Simetría |
---|---|---|
2 16 celdas [6] | 2 teseractos | [4,3,3], pedido 384 [3] |
100 24 celdas | 100 24 celdas | [5,3,3] + , pedido 7200 [3] |
200 24 celdas | 200 24 celdas | [5,3,3], pedido 14400 [3] |
5 600 celdas | 5 120 celdas | [5,3,3] + , pedido 7200 [3] |
10 600 células | 10 120 celdas | [5,3,3], pedido 14400 [3] |
25 24 celdas (var) | 25 24 celdas (var) | orden 600 [4] |
El superíndice (var) en las tablas anteriores indica que los compuestos marcados son distintos de los otros compuestos con el mismo número de constituyentes.
Compuestos con 4 politopos en estrella regulares
Compuestos de estrella auto-dual:
Compuesto | Simetría |
---|---|
5 {5,5 / 2,5} | [5,3,3] + , pedido 7200 [3] |
10 {5,5 / 2,5} | [5,3,3], pedido 14400 [3] |
5 {5 / 2,5,5 / 2} | [5,3,3] + , pedido 7200 [3] |
10 {5 / 2,5,5 / 2} | [5,3,3], pedido 14400 [3] |
Pares duales de estrellas compuestas:
Compuesto 1 | Compuesto 2 | Simetría |
---|---|---|
5 {3,5,5 / 2} | 5 {5 / 2,5,3} | [5,3,3] + , pedido 7200 |
10 {3,5,5 / 2} | 10 {5 / 2,5,3} | [5,3,3], pedido 14400 |
5 {5,5 / 2,3} | 5 {3,5 / 2,5} | [5,3,3] + , pedido 7200 |
10 {5,5 / 2,3} | 10 {3,5 / 2,5} | [5,3,3], pedido 14400 |
5 {5 / 2,3,5} | 5 {5,3,5 / 2} | [5,3,3] + , pedido 7200 |
10 {5 / 2,3,5} | 10 {5,3,5 / 2} | [5,3,3], pedido 14400 |
Estrellas y duales compuestos uniformes :
Compuesto 1 Vértice-transitivo | Compuesto 2 celular transitivo | Simetría |
---|---|---|
5 {3,3,5 / 2} | 5 {5 / 2,3,3} | [5,3,3] + , pedido 7200 |
10 {3,3,5 / 2} | 10 {5 / 2,3,3} | [5,3,3], pedido 14400 |
Compuestos con duales
Posiciones duales:
Compuesto | Constitucion | Simetría |
---|---|---|
2 de 5 celdas | 5 celdas | [[3,3,3]], orden 240 |
2 24 celdas | 24 celdas | [[3,4,3]], orden 2304 |
1 tesseract, 1 de 16 celdas | tesseract , 16 celdas | |
1 120 celdas, 1600 celdas | 120 celdas , 600 celdas | |
2 grandes 120 celdas | gran 120 celdas | |
2 grandes 120 celdas estrelladas | gran 120 celdas estrelladas | |
1 icosaédrico de 120 celdas, 1 pequeño estrellado de 120 celdas | icosaédrica 120 de células , pequeño stellated 120 de células | |
1 gran 120 celdas, 1 gran 120 celdas estrelladas | gran 120 celdas , gran 120 celdas estrelladas | |
1 gran gran 120 celdas, 1 gran icosaédrico de 120 celdas | gran gran 120 celdas , gran icosaédrico de 120 celdas | |
1 gran gran estrella 120 celdas, 1 gran 600 celdas | gran gran 120 celdas estrelladas , gran 600 celdas |
Teoría de grupos
En términos de teoría de grupos , si G es el grupo de simetría de un compuesto poliédrico, y el grupo actúa transitivamente sobre los poliedros (de modo que cada poliedro puede enviarse a cualquiera de los demás, como en compuestos uniformes), entonces si H es el estabilizador de un solo poliedro elegido, el poliedro se puede identificar con el espacio orbital G / H - la clase lateral gH corresponde al poliedro g al que envía el poliedro elegido.
Compuestos de teselaciones
Hay dieciocho familias de dos parámetros de teselaciones compuestas regulares del plano euclidiano. En el plano hiperbólico, se conocen cinco familias de un parámetro y diecisiete casos aislados, pero no se ha enumerado la integridad de esta lista.
Las familias de compuestos euclidianos e hiperbólicos 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p un número entero) son análogas a la stella octangula esférica , 2 {3,3}.
Auto-dual | Duales | Auto-dual | |
---|---|---|---|
2 {4,4} | 2 {6,3} | 2 {3,6} | 2 {∞, ∞} |
3 {6,3} | 3 {3,6} | 3 {∞, ∞} | |
Una familia conocida de panales compuestos euclidianos regulares en cinco o más dimensiones es una familia infinita de compuestos de panales hipercúbicos , todos compartiendo vértices y caras con otro panal hipercúbico. Este compuesto puede tener cualquier número de panales hipercúbicos.
También hay compuestos de baldosas regulares duales . Un ejemplo simple es el compuesto E 2 de un mosaico hexagonal y su mosaico triangular dual , que comparte sus bordes con el mosaico deltoidal trihexagonal . Los compuestos euclidianos de dos panales hipercúbicos son tanto regulares como dual-regulares.
Notas al pie
- ^ a b c d e f g h i j "Poliedros compuestos" . www.georgehart.com . Consultado el 3 de septiembre de 2020 .
- ^ Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973) [1948]. Politopos regulares (Tercera ed.). Publicaciones de Dover. pag. 48. ISBN 0-486-61480-8. OCLC 798003 .
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s Politopos regulares, Tabla VII, p. 305
- ^ a b c d McMullen, Peter (2018), Nuevos compuestos regulares de 4-politopos , Nuevas tendencias en geometría intuitiva, 27: 307–320
- ^ Klitzing, Richard. "Icositetrachoron estrellado compuesto uniforme" .
- ^ Klitzing, Richard. "Semidistesseract compuesto uniforme" .
enlaces externos
- MathWorld: Compuesto poliedro
- Poliedros compuestos - de poliedros de realidad virtual
- Compuestos uniformes de poliedros uniformes
- 75 compuestos uniformes de poliedros uniformes de Skilling
- Compuestos uniformes de poliedros uniformes de Skilling
- Compuestos poliédricos
- http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
- Compuesto de pequeño dodecaedro estrellado y gran dodecaedro {5 / 2,5} + {5,5 / 2}
- Klitzing, Richard. "Politopos compuestos" .
Referencias
- Skilling, John (1976), "Compuestos uniformes de poliedros uniformes", Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 79 : 447–457, doi : 10.1017 / S0305004100052440 , MR 0397554.
- Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra , Cambridge.
- Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, págs. 51–53.
- Harman, Michael G. (1974), Compuestos poliédricos , manuscrito inédito.
- Hess, Edmund (1876), "Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder", Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg , 11 : 5-97.
- Pacioli, Luca (1509), De Divina Proportione.
- Politopos regulares , (3a edición, 1973), edición de Dover, ISBN 0-486-61480-8
- Anthony Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: Universidad de California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.pag. 87 Cinco compuestos regulares
- McMullen, Peter (2018), "Nuevos compuestos regulares de 4-politopos", Nuevas tendencias en geometría intuitiva , 27 : 307–320, doi : 10.1007 / 978-3-662-57413-3_12.