Dimensión conformal

En matemáticas, la dimensión de conformación de un espacio métrico X es el ínfimo de la dimensión de Hausdorff sobre el calibre conformal de X , es decir, la clase de todos los espacios métricas quasisymmetric a  X . ^[1]

Definicion formal

Deje X un espacio métrico y sea la colección de todos los espacios métricos que son quasisymmetric a  X . La dimensión conforme de X se define como tal${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle \mathrm {Cdim} X=\inf _{Y\in {\mathcal {G}}}\dim _{H}Y}$

Propiedades

Tenemos las siguientes desigualdades , para un espacio métrico  X :

${\displaystyle \dim _{T}X\leq \mathrm {Cdim} X\leq \dim _{H}X}$

La segunda desigualdad es verdadera por definición. El primero de ellos se deduce del hecho de que la topológica dimensión T es invariante por homeomorfismo , y por lo tanto se puede definir como la infimum de la dimensión de Hausdorff sobre todos los espacios homeomórficos a  X .

Ejemplos de

• La dimensión conforme de es N , ya que las dimensiones topológica y de Hausdorff de los espacios euclidianos concuerdan.${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$
• El conjunto K de Cantor es de dimensión nula conforme. Sin embargo, no existe un espacio métrico cuasimétrico a K con una dimensión de 0 Hausdorff.

Ver también

• Dimensión de escala anómala

Referencias

1. John M. Mackay, Jeremy T. Tyson, Dimensión conformal: teoría y aplicación , Serie de conferencias universitarias, vol. 54, 2010, Isla Rodas