La geometría de los sistemas cuánticos (por ejemplo, geometría no conmutativa y supergeometría ) se expresa principalmente en términos algebraicos de módulos y álgebras . Las conexiones en los módulos son la generalización de una conexión lineal en un paquete vectorial uniforme escrito como una conexión Koszul en el-módulo de secciones de . [1]
Álgebra conmutativa
Dejar ser un anillo conmutativo yuna A - módulo . Existen diferentes definiciones equivalentes de una conexión en. [2] Dejaser el módulo de derivaciones de un anillo. Una conexión en un módulo Ase define como un morfismo de módulo A
tal que los operadores diferenciales de primer orden en obedecer la regla de Leibniz
Siempre existen conexiones en un módulo sobre un anillo conmutativo.
La curvatura de la conexión. se define como el operador diferencial de orden cero
en el módulo para todos .
Si es un paquete de vectores, existe una correspondencia uno a uno entre las conexiones lineales en y las conexiones sobre el -módulo de secciones de . Estrictamente hablando,corresponde al diferencial covariante de una conexión en.
Álgebra conmutativa graduada
La noción de una conexión en módulos sobre anillos conmutativos se extiende directamente a módulos sobre un álgebra conmutativa graduada . [3] Este es el caso de superconexiones en supergeometría de variedades graduadas y paquetes de supervectores . Las superconexiones siempre existen.
Álgebra no conmutativa
Si es un anillo no conmutativo, las conexiones en los módulos A izquierdo y derecho se definen de manera similar a las de los módulos sobre anillos conmutativos. [4] Sin embargo, estas conexiones no necesitan existir.
En contraste con las conexiones en los módulos de izquierda y derecha, hay un problema cómo definir una conexión en un R - S - bimodule sobre los anillos no conmutativos R y S . Existen diferentes definiciones de tal conexión. [5] Mencionemos uno de ellos. Una conexión en un módulo R - S se define como un morfismo bimódulo
que obedece a la regla de Leibniz
Ver también
Notas
Referencias
- Koszul, J., Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Société Mathématique 78 (1950) 65
- Koszul, J., Conferencias sobre haces de fibras y geometría diferencial (Universidad de Tata, Bombay, 1960)
- Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
- Dubois-Violette, M., Michor, P., Conexiones en bimódulos centrales en geometría diferencial no conmutativa, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv : q-alg / 9503020
- Landi, G., Introducción a los espacios no conmutativos y sus geometrías , Lect. Notes Physics, Nueva serie m: Monographs, 51 (Springer, 1997) arXiv : hep-th / 9701078 , iv + 181 páginas.
- Mangiarotti, L., Sardanashntly, G. , Conexiones en la teoría de campos clásica y cuántica (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8
enlaces externos
- Sardanashntly, G. , Conferencias sobre geometría diferencial de módulos y anillos (Lambert Academic Publishing, Saarbrücken, 2012); arXiv : 0910.1515