En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y teoría de calibre , una conexión en un haz de fibras es un dispositivo que define una noción de transporte paralelo en el haz; es decir, una forma de "conectar" o identificar fibras en puntos cercanos. El caso más común es el de una conexión lineal en un paquete de vectores , para el cual la noción de transporte paralelo debe ser lineal . Una conexión lineal se especifica de manera equivalente por una derivada covariante , un operador que diferencia secciones del paquete a lo largo de direcciones tangentes.en la variedad de base, de tal manera que las secciones paralelas tengan derivada cero. Las conexiones lineales generalizan, a paquetes vectoriales arbitrarios, la conexión Levi-Civita en el paquete tangente de una variedad pseudo-Riemanniana , lo que proporciona una forma estándar de diferenciar los campos vectoriales. Las conexiones no lineales generalizan este concepto a haces cuyas fibras no son necesariamente lineales.
Las conexiones lineales también se denominan conexiones Koszul en honor a Jean-Louis Koszul , quien dio un marco algebraico para describirlas ( Koszul 1950 ).
Este artículo define la conexión en un paquete de vectores utilizando una notación matemática común que quita énfasis a las coordenadas. Sin embargo, también se utilizan con regularidad otras notaciones: en la relatividad general , los cálculos de paquetes vectoriales suelen escribirse utilizando tensores indexados; en la teoría de gauge , se enfatizan los endomorfismos de las fibras del espacio vectorial. Las diferentes notaciones son equivalentes, como se explica en el artículo sobre conexiones métricas (los comentarios que se hacen allí se aplican a todos los paquetes de vectores).
Motivación
Una sección de un paquete de vectores generaliza la noción de una función en una variedad, en el sentido de que una función estándar con valores vectoriales se puede ver como una sección del paquete de vectores trivial . Por tanto, es natural preguntarse si es posible diferenciar una sección de forma análoga a cómo se diferencia un campo vectorial. Cuando el paquete vectorial es el paquete tangente a una variedad pseudo-Riemanniana , esta pregunta es respondida naturalmente por la conexión Levi-Civita , que es la única conexión libre de torsión compatible con la métrica pseudo-Riemanniana en el paquete tangente. En general, no existe una elección tan natural de una forma de diferenciar secciones.
El caso modelo es diferenciar un -campo de vector de componente en el espacio euclidiano . En este contexto, la derivada en un punto en la dirección puede ser definido simplemente por
Note que para cada , hemos definido un nuevo vector entonces la derivada de en la dirección de ha dado un nuevo -campo de vector de componente en .
Al pasar a una sección de un paquete de vectores en un colector , uno se encuentra con dos problemas clave con esta definición. En primer lugar, dado que la variedad no tiene estructura lineal, el término no tiene sentido en . En cambio uno toma un camino tal que y calcula
Sin embargo, esto todavía no tiene sentido, porque es un vector en la fibra sobre , y , la fibra sobre , que es un espacio vectorial diferente. Esto significa que no hay forma de dar sentido a la resta de estos dos términos que se encuentran en diferentes espacios vectoriales.
El objetivo es resolver el enigma anterior al encontrar una forma de diferenciar secciones de un paquete de vectores en la dirección de los campos vectoriales y recuperar otra sección del paquete de vectores. Hay tres posibles soluciones a este problema. Los tres requieren tomar una decisión sobre cómo diferenciar las secciones, y solo en entornos especiales como el haz tangente en un colector de Riemann, existe una elección natural de este tipo.
- ( Transporte paralelo ) Dado que el problema es que los vectores y yacen en diferentes fibras de , una solución es definir un isomorfismo para todos cerca de cero. Usando este isomorfismo uno puede transportar a la fibra y luego toma la diferencia. Explícitamente, Este es el transporte paralelo y la elección de los isomorfismos. para todas las curvas en puede tomarse como la definición de cómo diferenciar una sección.
- ( Conexión de Ehresmann ) Utilice la noción de diferencial de un mapa de variedades suaves. Una sección es por definición un mapa fluido tal que . Esto tiene un diferencial, con la propiedad que para un campo vectorial . Sin embargo, a uno le gustaría en cambio ser una sección de sí mismo. De hecho, el paquete vertical es el retroceso de a lo largo de con la misma fibra que . Si uno elige una proyección de paquetes de vectores, componer con esta proyección aterrizaría de nuevo en . Esto se llama una conexión lineal de Ehresmann en el paquete de vectores. Hay muchas opciones de operadores de proyección. por lo que, en general, hay muchas formas diferentes de diferenciar un campo vectorial.
- ( Derivada covariante ) La tercera solución es abstraer las propiedades que debe tener una derivada de una sección de un conjunto de vectores y tomar esto como una definición axiomática. Esta es la noción de conexión o derivada covariante descrita en este artículo. Se puede demostrar que los otros dos enfoques anteriores son equivalentes a esta definición axiomática de diferenciación.
Definicion formal
Dejar ser un paquete de vectores suave sobre una variedad diferenciable . Denote el espacio de secciones lisas de por . Una conexión en es un - mapa lineal
tal que la regla de Leibniz
se mantiene para todas las funciones suaves en y todas las secciones lisas de .
Si es un campo vectorial tangente en (es decir, una sección del paquete tangente ) se puede definir una derivada covariante a lo largo de
contratando con el índice covariante resultante en la conexión: . La derivada covariante satisface:
Por el contrario, cualquier operador que satisfaga las propiedades anteriores define una conexión en y una conexión en este sentido también se conoce como una derivada covariante en.
Conexiones inducidas
Dado un paquete de vectores , hay muchos paquetes asociados a que se puede construir, por ejemplo, el paquete de vector dual , poderes tensoriales , Tensores simétricos y antisimétricos , y las sumas directas . Una conexión eninduce una conexión en cualquiera de estos paquetes asociados. La facilidad de pasar entre conexiones en paquetes asociados se captura de manera más elegante mediante la teoría de las conexiones de paquetes principales , pero aquí presentamos algunas de las conexiones inducidas básicas.
Conexión dual
Dado una conexión en , la conexión dual inducida en se define implícitamente por
Aquí es un campo vectorial uniforme, es una sección de , y una sección del paquete dual, y el apareamiento natural entre un espacio vectorial y su dual (que ocurre en cada fibra entre y ). Tenga en cuenta que esta definición esencialmente hace cumplir que ser la conexión en para que se cumpla una regla de producto natural para el maridaje.
Conexión del producto tensor
Dado conexiones en dos paquetes de vectores , define la conexión del producto tensorial mediante la fórmula
Aquí tenemos . Note nuevamente que esta es la forma natural de combinarpara hacer cumplir la regla del producto para la conexión del producto tensorial. Mediante la aplicación repetida de la construcción anterior aplicada al producto tensor, también se obtiene la conexión de alimentación del tensor en para cualquier y paquete de vectores .
Conexión de suma directa
La conexión de suma directa está definida por
dónde .
Conexiones eléctricas simétricas y exteriores
Dado que la potencia simétrica y la potencia exterior de un conjunto de vectores pueden verse naturalmente como subespacios de la potencia del tensor, , la definición de la conexión del producto tensorial se aplica de manera directa a esta configuración. De hecho, dado que las álgebras simétricas y exteriores se encuentran dentro del álgebra tensorial como sumandos directos, y la conexión respeta esta división natural, uno puede simplemente restringir a estos sumandos. Explícitamente, defina la conexión simétrica del producto por
y la conexión del producto exterior por
para todos . Las aplicaciones repetidas de estos productos proporcionan energía simétrica inducida y conexiones de energía exterior en y respectivamente.
Conexión endomorfismo
Finalmente, se puede definir la conexión inducida en el paquete de vectores de endomorfismos , la conexión del endomorfismo . Esta es simplemente la conexión del producto tensor de la conexión dual en y en . Si y , para que la composición Además, la siguiente regla de producto es válida para la conexión de endomorfismo:
Al invertir esta ecuación, es posible definir la conexión de endomorfismo como la conexión única que satisface
para cualquier , evitando así la necesidad de definir primero la conexión dual y la conexión del producto tensor.
Cualquier paquete asociado
Dado un paquete de vectores de rango , y cualquier representación en un grupo lineal , hay una conexión inducida en el paquete de vectores asociado . Esta teoría se captura de manera más sucinta pasando a la conexión del paquete principal en el paquete de tramas dey el uso de la teoría de los principales paquetes. Cada uno de los ejemplos anteriores puede verse como casos especiales de esta construcción: el haz dual corresponde a la representación de transposición inversa (o adjunto inverso), el producto tensorial a la representación del producto tensorial, la suma directa a la representación de suma directa, y así en.
Derivada covariante exterior y formas con valores vectoriales
Dejar ser un paquete de vectores. Un-forma diferencial valorada de gradoes una sección del paquete de productos tensoriales :
El espacio de tales formas se denota por
donde el último producto tensorial denota el producto tensorial de módulos sobre el anillo de funciones suaves en.
Un -la forma 0 valorada es solo una sección del paquete . Es decir,
En esta notación, una conexión en es un mapa lineal
Entonces, una conexión puede verse como una generalización de la derivada exterior a formas de valor de paquete vectorial. De hecho, dada una conexión en hay una forma única de extender a una derivada covariante exterior
A diferencia de la derivada exterior ordinaria, uno generalmente tiene . De echo, está directamente relacionado con la curvatura de la conexión (ver más abajo ).
Propiedades afines del conjunto de conexiones
Cada paquete de vectores sobre una variedad admite una conexión, que se puede probar usando particiones de unidad . Sin embargo, las conexiones no son únicas. Si y hay dos conexiones en entonces su diferencia es un -operador lineal. Es decir,
para todas las funciones suaves en y todas las secciones lisas de . De ello se deduce que la diferencia se puede identificar de forma única con un formulario único en con valores en el paquete de endomorfismo :
Por el contrario, si es una conexión en y es una forma única en con valores en , luego es una conexión en .
En otras palabras, el espacio de conexiones en es un espacio afín para. Este espacio afín se denota comúnmente.
Relación con las conexiones principal y de Ehresmann
Dejar ser un paquete vectorial de rango y deja ser el paquete de marco principal de. Entonces una conexión (principal) en induce una conexión en . Primero tenga en cuenta que las secciones deestán en correspondencia uno a uno con mapas equivariantes a la derecha. (Esto se puede ver considerando el retroceso de encima , que es isomorfo al paquete trivial .) Dada una sección de Sea el mapa equivariante correspondiente . La derivada covariante en luego es dado por
dónde es la elevación horizontal de de a . (Recuerde que la elevación horizontal está determinada por la conexión en.)
Por el contrario, una conexión en determina una conexión en , y estas dos construcciones son mutuamente inversas.
Una conexión en también se determina de manera equivalente por una conexión lineal de Ehresmann en. Esto proporciona un método para construir la conexión principal asociada.
Las conexiones inducidas discutidas en #Conexiones inducidas se pueden construir como conexiones en otros paquetes asociados al paquete de marcos de, utilizando representaciones distintas de la representación estándar utilizada anteriormente. Por ejemplo si denota la representación estándar de en , luego el paquete asociado a la representación de en es el paquete de suma directa , y la conexión inducida es precisamente la que se describió anteriormente.
Expresión local
Dejar ser un paquete vectorial de rango , y deja ser un subconjunto abierto de sobre cual trivializa. Por lo tanto sobre el set, admite un marco local suave de secciones
Desde el marco define una base de la fibra para cualquier , se puede expandir cualquier sección local en el marco como
para una colección de funciones fluidas .
Dada una conexión en , es posible expresar encima en términos del marco local de secciones, utilizando la regla de producto característica para la conexión. Para cualquier sección de base, la cantidad se puede expandir en el marco local como
dónde son una colección de formas únicas locales. Estas formas se pueden poner en una matriz de formas únicas definidas por
llamada la forma de conexión local de encima . La acción de en cualquier sección se puede calcular en términos de usando la regla del producto como
Si la sección local también está escrito en notación matricial como un vector de columna usando el marco local como base,
luego, usando la multiplicación de matrices regular, se puede escribir
dónde es una forma abreviada de aplicar la derivada exterior a cada componente de como un vector de columna. En esta notación, a menudo se escribe localmente que. En este sentido, una conexión está completamente especificada localmente por su conexión de una forma en alguna trivialización.
Como se explica en Propiedades #Affine del conjunto de conexiones , cualquier conexión se diferencia de otra por una forma única valorada por endomorfismo. Desde esta perspectiva, la conexión de una forma es precisamente la forma única valorada por endomorfismo tal que la conexión en se diferencia de la conexión trivial en , que existe porque es un conjunto trivializante para .
Relación con los símbolos de Christoffel
En la geometría pseudo-riemanniana , la conexión Levi-Civita a menudo se escribe en términos de los símbolos de Christoffel en lugar de la conexión de una forma . Es posible definir símbolos de Christoffel para una conexión en cualquier paquete de vectores, y no solo en el paquete tangente de una variedad pseudo-Riemanniana. Para hacer esto, suponga que además de siendo un subconjunto abierto trivializante para el paquete de vectores , que es también un gráfico local para el colector, admitiendo coordenadas locales .
En un gráfico local de este tipo, hay un marco local distinguido para las formas uno diferenciales dadas por , y la conexión local one-forma se puede ampliar en esta base como
para una colección de funciones suaves locales , llamados los símbolos de Christoffel de encima . En el caso donde y es la conexión Levi-Civita, estos símbolos coinciden precisamente con los símbolos de Christoffel de la geometría pseudo-riemanniana.
La expresión de cómo los actos en coordenadas locales se pueden ampliar aún más en términos de la carta local y los símbolos de Christoffel, que serán dados por
Contraer esta expresión con el vector tangente de coordenadas locales lleva a
Esto define una colección de operadores definidos localmente
con la propiedad que
Cambio de banalización local
Suponer es otra opción de marco local sobre el mismo conjunto trivializante , para que haya una matriz de funciones fluidas relacionadas y , definido por
Seguimiento a través de la construcción del formulario de conexión local. para el marco , uno encuentra que la conexión de una forma por es dado por
dónde denota la matriz inversa a . En notación matricial, esto se puede escribir
dónde es la matriz de formas uno dada tomando la derivada exterior de la matriz componente por componente.
En el caso donde es el paquete tangente y es el jacobiano de una transformación de coordenadas de , las fórmulas extensas para la transformación de los símbolos de Christoffel de la conexión Levi-Civita se pueden recuperar de las leyes de transformación más sucintas de la forma de conexión anterior.
Transporte paralelo y holonomía
Una conexión en un paquete de vectores define una noción de transporte paralelo en a lo largo de una curva en . Dejarser un camino suave en. Una sección de a lo largo de se dice que es paralelo si
para todos . De manera equivalente, se puede considerar el paquete de retroceso de por . Este es un paquete de vectores sobre con fibra encima . La conexión en retrocede a una conexión en . Una sección de es paralelo si y solo si .
Suponer es un camino desde a en . La ecuación anterior que define las secciones paralelas es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (véase la expresión local anterior) y, por lo tanto, tiene una solución única para cada posible condición inicial. Es decir, para cada vector en existe una sección paralela única de con . Definir un mapa de transporte paralelo
por . Se puede demostrar quees un isomorfismo lineal , con el inverso dado siguiendo el mismo procedimiento con el camino inverso de a .
El transporte paralelo se puede utilizar para definir el grupo de holonomía de la conexión. basado en un punto en . Este es el subgrupo deque consta de todos los mapas de transporte paralelo procedentes de bucles basados en:
El grupo de holonomía de una conexión está íntimamente relacionado con la curvatura de la conexión ( AmbroseSinger 1953 ).
La conexión se puede recuperar de sus operadores de transporte paralelo de la siguiente manera. Si es un campo vectorial y una sección, en un punto elegir una curva integral por a . Para cada escribiremos para el mapa de transporte paralelo que viaja a lo largo de de a . En particular para cada, tenemos . Luego define una curva en el espacio vectorial , que puede diferenciarse. El derivado covariante se recupera como
Esto demuestra que se da una definición equivalente de conexión especificando todos los isomorfismos de transporte paralelo entre fibras de y tomando la expresión anterior como la definición de .
Curvatura
La curvatura de una conexión en es una forma de 2 en con valores en el paquete de endomorfismo . Es decir,
Está definido por la expresión
dónde y son campos vectoriales tangentes en y es una sección de . Hay que comprobar que es C ∞ ( METRO ) {\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M)} -lineal en ambos y y que de hecho define un endomorfismo de paquete de .
Como se mencionó anteriormente , la derivada covariante exterior no es necesario cuadrar a cero cuando se actúa sobre -formas valoradas. El operador es, sin embargo, estrictamente tensorial (es decir, -lineal). Esto implica que se induce a partir de una forma 2 con valores en. Esta forma de 2 es precisamente la forma de curvatura dada anteriormente. Por un-forma valorada tenemos
Una conexión plana es aquella cuya forma de curvatura se desvanece de forma idéntica.
Forma local y ecuación de estructura de Cartan
La forma de curvatura tiene una descripción local llamada ecuación de estructura de Cartan . Si tiene forma local en algún subconjunto abierto trivializante por , luego
en . Para aclarar esta notación, observe quees una forma única valorada por endomorfismo, por lo que en coordenadas locales toma la forma de una matriz de formas uniformes. La operacion aplica la derivada exterior por componentes a esta matriz, y denota multiplicación de matrices, donde los componentes están encajados en lugar de multiplicados.
En coordenadas locales en encima , si el formulario de conexión está escrito para una colección de endomorfismos locales , entonces uno tiene
Ampliando aún más esto en términos de los símbolos de Christoffel produce la expresión familiar de la geometría de Riemann. Es decir, si es una sección de encima , luego
Aquí es el tensor de curvatura completo de, y en la geometría de Riemann se identificaría con el tensor de curvatura de Riemann .
Se puede comprobar que si definimos ser producto en cuña de formas pero conmutador de endomorfismos en oposición a composición, entonces, y con esta notación alternativa la ecuación de estructura de Cartan toma la forma
Esta notación alternativa se usa comúnmente en la teoría de las conexiones de paquetes principales, donde en su lugar usamos una forma de conexión , una forma única valorada por el álgebra de Lie , para la que no existe una noción de composición (a diferencia del caso de los endomorfismos), pero sí una noción de corchete de Lie.
En algunas referencias (ver por ejemplo ( MadsenTornehave1997 )) la ecuación de la estructura de Cartan puede escribirse con un signo menos:
Esta convención diferente usa un orden de multiplicación de matrices que es diferente de la notación estándar de Einstein en el producto de cuña de formas uniformes con valores de matriz.
Identidad Bianchi
Una versión de la segunda identidad de Bianchi (diferencial) de la geometría de Riemann es válida para una conexión en cualquier paquete de vectores. Recuerda que una conexión en un paquete de vectores induce una conexión de endomorfismo en . Esta conexión de endomorfismo tiene en sí misma una derivada covariante exterior, que llamamos ambiguamente. Dado que la curvatura es una definida globalmente-valuado en dos formas, podemos aplicarle la derivada covariante exterior. La identidad Bianchi dice que
- .
Esto captura sucintamente las complicadas fórmulas tensoras de la identidad de Bianchi en el caso de las variedades de Riemann, y se puede traducir de esta ecuación a las identidades de Bianchi estándar al expandir la conexión y la curvatura en coordenadas locales.
No hay un análogo en general de la primera identidad (algebraica) Bianchi para una conexión general, ya que esta explota las simetrías especiales de la conexión Levi-Civita. Es decir, se explota que los índices de paquetes vectoriales de en el tensor de curvatura puede intercambiarse con los índices de paquete cotangente procedentes de después de usar la métrica para bajar o subir índices. Por ejemplo, esto permite la condición libre de torsión. definirse para la conexión Levi-Civita, pero para un paquete vectorial general el -index se refiere a la base de coordenadas locales de , y el -índices al marco de coordenadas local de y viniendo de la división . Sin embargo, en circunstancias especiales, por ejemplo, cuando el rango de es igual a la dimensión de y se ha elegido una forma de soldadura , se puede usar la soldadura para intercambiar los índices y definir una noción de torsión para conexiones afines que no son la conexión Levi-Civita.
Transformaciones de calibre
Dadas dos conexiones en un paquete de vectores , es natural preguntarse cuándo podrían considerarse equivalentes. Existe una noción bien definida de un automorfismo de un paquete de vectores. Una sección es un automorfismo si es invertible en todos los puntos . Tal automorfismo se llama transformación de calibre de, y el grupo de todos los automorfismos se llama grupo de calibre , a menudo denotado o . El grupo de transformaciones de calibre se puede caracterizar claramente como el espacio de las secciones del paquete adjunto de capital A del paquete de cuadros del paquete de vectores. Esto no debe confundirse con las minúsculas de un paquete adjunto. , que se identifica naturalmente con sí mismo. El hazes el paquete asociado al paquete de marco principal por la representación de conjugación de en sí mismo, , y tiene fibra del mismo grupo lineal general dónde . Tenga en cuenta que a pesar de tener la misma fibra que el paquete de marcos y estar asociado a él, no es igual al paquete de tramas, ni siquiera a un paquete principal en sí. El grupo de calibre se puede caracterizar de manera equivalente como
Una transformación de calibre de actúa en las secciones , y por lo tanto actúa sobre conexiones por conjugación. Explícitamente, si es una conexión en , entonces uno define por
por . Para comprobar eso es una conexión, se verifica la regla del producto
Puede comprobarse que esto define una acción de grupo de izquierda de en el espacio afín de todas las conexiones .
Desde es un espacio afín inspirado en , debería existir alguna forma única valorada por endomorfismo tal que . Usando la definición de la conexión de endomorfismo Inducido por , Se puede ver que
lo que quiere decir que .
Se dice que dos conexiones son equivalentes de calibre si difieren por la acción del grupo de calibres y el espacio del cocientees el espacio de módulos de todas las conexiones en. En general, este espacio topológico no es ni una variedad uniforme ni siquiera un espacio de Hausdorff , sino que contiene en su interior el espacio de módulos de las conexiones de Yang-Mills en, que es de gran interés en la teoría de gauge y la física .
Ejemplos de
- Una derivada covariante clásica o conexión afín define una conexión en el haz tangente de M , o más generalmente en cualquier haz tensorial formado al tomar los productos del tensor del haz tangente consigo mismo y su dual.
- Una conexión en puede describirse explícitamente como el operador
- dónde es la derivada exterior evaluada en funciones suaves con valores vectoriales y son suaves. Una sección puede identificarse con un mapa
- y entonces
- Si el paquete está dotado de una métrica de paquete , un producto interno en sus fibras de espacio vectorial, una conexión métrica se define como una conexión que es compatible con la métrica de paquete.
- Una conexión Yang-Mills es una conexión métrica especial que satisface las ecuaciones de movimiento de Yang-Mills .
- Una conexión de Riemann es una conexión métrica en el haz tangente de una variedad de Riemann .
- Una conexión Levi-Civita es una conexión Riemanniana especial: la conexión métrica compatible en el haz tangente que también está libre de torsión . Es único, en el sentido de que, dada cualquier conexión riemanniana, siempre se puede encontrar una y solo una conexión equivalente que no tenga torsión. "Equivalente" significa que es compatible con la misma métrica, aunque los tensores de curvatura pueden ser diferentes; ver teleparallelismo . La diferencia entre una conexión riemanniana y la correspondiente conexión Levi-Civita viene dada por el tensor de contorsión .
- La derivada exterior es una conexión plana en(el paquete de línea trivial sobre M ).
- De manera más general, existe una conexión plana canónica en cualquier conjunto de vectores planos (es decir, un conjunto de vectores cuyas funciones de transición son todas constantes) que viene dada por la derivada exterior en cualquier trivialización.
Ver también
- Módulo D
- Conexión (matemáticas)
Referencias
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