En matemáticas, el cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas es una parte del álgebra conmutativa basada en la observación de que la mayoría de los conceptos conocidos del cálculo diferencial clásico se pueden formular en términos puramente algebraicos. Ejemplos de esto son:
- Toda la información topológica de una variedad suave. está codificado en las propiedades algebraicas de su - álgebra de funciones suavescomo en el teorema de Banach-Stone .
- Paquetes de vectores sobrecorresponden a proyectivo finito generados módulos sobre, a través del functor que asocia a un paquete vectorial su módulo de secciones.
- Campos de vector ense identifican naturalmente con derivaciones del álgebra.
- De manera más general, un operador diferencial lineal de orden k, que envía secciones de un paquete de vectores a secciones de otro paquete es visto como un -mapa lineal entre los módulos asociados, de modo que para cualquier k + 1 elementos:
donde el soporte se define como el conmutador
Denotando el conjunto de operadores diferenciales lineales de k- ésimo orden de un-módulo a una -módulo con obtenemos un bi-functor con valores en la categoría de-módulos. Otros conceptos naturales del cálculo, como los espacios de chorro , las formas diferenciales se obtienen luego como objetos representativos de los functores. y functores relacionados.
Visto desde este punto de vista, el cálculo puede de hecho entenderse como la teoría de estos functores y sus objetos representativos.
Reemplazo de los números reales con cualquier anillo conmutativo , y el álgebracon cualquier álgebra conmutativa, lo anterior sigue siendo significativo, por lo que se puede desarrollar cálculo diferencial para álgebras conmutativas arbitrarias. Muchos de estos conceptos se utilizan ampliamente en geometría algebraica , geometría diferencial y cálculo secundario . Además, la teoría se generaliza naturalmente al entorno del álgebra conmutativa graduada , lo que permite una base natural del cálculo en supervariedades , variedades graduadas y conceptos asociados como la integral de Berezin .
Ver también
Referencias
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