En geometría algebraica , la convexidad es una condición técnica restrictiva para las variedades algebraicas introducidas originalmente para analizar los espacios de módulos de Kontsevich. en cohomología cuántica . [1] : §1 [2] [3] Estos espacios de módulos son orbifolds suaves siempre que el espacio objetivo es convexo. Una variedadse llama convexo si el retroceso del haz tangente a una curva racional estable tiene secciones generadas globalmente. [2] Geométricamente, esto implica que la curva puede moverse libremente.infinitesimalmente sin ninguna obstrucción. La convexidad generalmente se expresa como la condición técnica
dado que el teorema de desaparición de Serre garantiza que este haz ha generado secciones globalmente. Intuitivamente, esto significa que en una vecindad de un punto, con un campo vectorial en esa vecindad, el transporte paralelo local puede extenderse globalmente. Esto generaliza la idea de convexidad en la geometría euclidiana , donde dados dos puntos en un conjunto convexo , todos los puntos están contenidos en ese conjunto. Hay un campo vectorial en un barrio de transportando a cada punto . Dado que el paquete de vectores de es trivial, por lo tanto generado globalmente, hay un campo vectorial en tal que la igualdad mantiene la restricción.
Ejemplos de
Hay muchos ejemplos de espacios convexos, incluidos los siguientes.
Espacios con curvas racionales triviales
Si el único mapa de una curva racional a son mapas de constantes, entonces el retroceso de la gavilla tangente es la gavilla libre dónde . Estas gavillas tienen una cohomología trivial distinta de cero y, por lo tanto, siempre son convexas. En particular, las variedades abelianas tienen esta propiedad ya que la variedad albanesa de una curva racionales trivial, y cada mapa, desde una variedad hasta una variedad abeliana, influye en los albaneses. [4]
Espacios proyectivos
Los espacios proyectivos son ejemplos de espacios homogéneos, pero su convexidad también puede demostrarse mediante un cálculo de cohomología de gavilla. Recuerde que la secuencia de Euler relaciona el espacio tangente a través de una breve secuencia exacta
Si solo tenemos que considerar el grado incrustaciones, hay una breve secuencia exacta
dando la larga secuencia exacta
desde los dos primeros -los términos son cero, que se sigue de ser de género , y el segundo cálculo se sigue del teorema de Riemann-Roch , tenemos convexidad de. Entonces, cualquier mapa nodal se puede reducir a este caso considerando uno de los componentes de .
Espacios homogéneos
Otra gran clase de ejemplos son los espacios homogéneos. dónde es un subgrupo parabólico de . Estos han generado secciones globalmente desde actúa transitivamente sobre , lo que significa que puede tener una base en a una base en cualquier otro punto , por lo que tiene secciones generadas globalmente. [3] Entonces, el retroceso siempre se genera globalmente. Esta clase de ejemplos incluye Grassmannians , espacios proyectivos y variedades de banderas .
Espacios de productos
Además, los productos de los espacios convexos siguen siendo convexos. Esto se sigue del teorema de Kunneth en cohomología coherente de gavillas.
Aplicaciones
Hay muchas ventajas técnicas útiles al considerar espacios modulos de curvas estables en espacios convexos. Es decir, los espacios tienen buenas propiedades geométricas y teóricas de la deformación.
Teoría de la deformación
Las deformaciones de en el esquema de gráficos de Hilbert tiene espacio tangente
dónde es el punto en el esquema que representa el mapa. Convexidad deda la fórmula de dimensión a continuación. Además, la convexidad implica que todas las deformaciones infinitesimales no están obstruidas. [5]
Estructura
Estos espacios son variedades proyectivas normales de dimensión pura.
que son localmente el cociente de una variedad suave por un grupo finito. Además, la subvariedad abiertaparametrizar mapas no singulares es un espacio de módulos finos y uniforme. En particular, esto implica que las pilasson orbifolds .
Divisores de límites
Los espacios tener buenos divisores de límites dados por
para una partición de y el punto que se encuentra a lo largo de la intersección de dos curvas racionales.
Ver también
Referencias
- ↑ a b Kontsevich, Maxim (1995). "Enumeración de curvas racionales a través de acciones de toro". En Dijkgraaf, Robbert H .; Faber, Carel F .; van der Geer, Gerard BM (eds.). El espacio de módulos de curvas . Birkhäuser Boston. págs. 335–368. arXiv : hep-th / 9405035 . doi : 10.1007 / 978-1-4612-4264-2_12 . ISBN 978-1-4612-8714-8.
- ^ a b Kontsevich, Maxim ; Manin, Yuri . "Clases de Gromov-Witten, cohomología cuántica y geometría enumerativa" (PDF) . pag. 9.
- ^ a b c d Fulton, W .; Pandharipande, R. (17 de mayo de 1997). "Notas sobre mapas estables y cohomología cuántica". págs. 6, 12, 29, 31. arXiv : alg-geom / 9608011 .
- ^ "geometría ag. algebraica - ¿Existe alguna curva racional en una variedad abeliana?" . MathOverflow . Consultado el 28 de febrero de 2020 .
- ^ Maulik, Davesh. "Conferencias sobre la teoría de Donaldson-Thomas" (PDF) . pag. 2.
enlaces externos
- Clases de Gromov-Witten, cohomología cuántica y geometría enumerativa
- Notas sobre mapas estables y cohomología cuántica arXiv : alg-geom / 9608011
- https://mathoverflow.net/q/39390