En matemáticas , especialmente en geometría algebraica y la teoría de variedades complejas , la cohomología de gavilla coherente es una técnica para producir funciones con propiedades específicas. Muchas preguntas geométricas pueden formularse como preguntas sobre la existencia de secciones de haces de líneas o de haces coherentes más generales ; estas secciones pueden verse como funciones generalizadas. La cohomología proporciona herramientas computables para producir secciones o explicar por qué no existen. También proporciona invariantes para distinguir una variedad algebraica de otra.
Gran parte de la geometría algebraica y la geometría analítica compleja se formula en términos de haces coherentes y su cohomología.
Poleas coherentes
Las poleas coherentes pueden verse como una generalización de los haces de vectores . Hay una noción de un haz analítico coherente en un espacio analítico complejo , y una noción análoga de un haz algebraico coherente en un esquema . En ambos casos, el espacio dadoviene con un fajo de anillos , la gavilla de funciones holomorfas o funciones regulares , y las gavillas coherentes se definen como una subcategoría completa de la categoría de- módulos (es decir, haces de-módulos).
Los paquetes de vectores como el paquete tangente juegan un papel fundamental en la geometría. De manera más general, para una subvariedad cerrada de con inclusión , un paquete de vectores en determina una gavilla coherente en , la gavilla de imagen directa , que es cero fuera . De esta forma, muchas preguntas sobre subvariedades de puede expresarse en trminos de poleas coherentes en .
A diferencia de los paquetes de vectores, los haces coherentes (en el caso analítico o algebraico) forman una categoría abeliana , por lo que se cierran en operaciones como tomar núcleos , imágenes y cokernels . En un esquema, las gavillas cuasi coherentes son una generalización de gavillas coherentes, incluidas las gavillas localmente libres de rango infinito.
Cohomología de la gavilla
Por una gavilla de grupos abelianos en un espacio topológico , los grupos de cohomología de la gavilla para enteros se definen como los functores derivados correctos del functor de secciones globales,. Como resultado, es cero para , y se puede identificar con . Para cualquier secuencia corta y exacta de roldanas, hay una larga secuencia exacta de grupos de cohomología: [1]
Si es un haz de -módulos en un esquema , luego los grupos de cohomología (definido utilizando el espacio topológico subyacente de ) son módulos sobre el anillo de funciones regulares. Por ejemplo, si es un esquema sobre un campo , luego los grupos de cohomología están - espacios vectoriales . La teoría se vuelve poderosa cuando es un haz coherente o cuasi coherente, debido a la siguiente secuencia de resultados.
Teoremas que desaparecen en el caso afín
El análisis complejo fue revolucionado por los teoremas A y B de Cartan en 1953. Estos resultados dicen que sies un haz analítico coherente en un espacio Stein , luego se divide en sus secciones globales , y para todos . (Un espacio complejo es Stein si y solo si es isomorfo a un subespacio analítico cerrado de para algunos .) Estos resultados generalizan una gran cantidad de trabajos más antiguos sobre la construcción de funciones analíticas complejas con singularidades u otras propiedades dadas.
En 1955, Serre introdujo gavillas coherentes en la geometría algebraica (al principio sobre un campo algebraicamente cerrado , pero Grothendieck eliminó esa restricción ). Los análogos de los teoremas de Cartan se mantienen en gran generalidad: sies una gavilla casi coherente en un esquema afín , luego se divide en sus secciones globales, y por . [2] Esto está relacionado con el hecho de que la categoría de poleas cuasi coherentes en un esquema afínes equivalente a la categoría de-módulos, con la equivalencia tomando una gavilla hacia -módulo . De hecho, los esquemas afines se caracterizan entre todos los esquemas cuasi-compactos por la desaparición de la cohomología superior para haces cuasi coherentes. [3]
Čech cohomología y la cohomología del espacio proyectivo
Como consecuencia de la desaparición de la cohomología para esquemas afines: para un esquema separado , una cubierta abierta afín de , y una gavilla casi coherente en , los grupos de cohomología son isomorfos a los grupos de cohomología Čech con respecto a la cubierta abierta. [2] En otras palabras, conocer las secciones de en todas las intersecciones finitas de los subesquemas abiertos afines determina la cohomología de con coeficientes en .
Usando la cohomología de Čech, se puede calcular la cohomología del espacio proyectivo con coeficientes en cualquier paquete de líneas. Es decir, para un campo, un entero positivo y cualquier entero , la cohomología del espacio proyectivo encima con coeficientes en el paquete de líneasviene dado por: [4]
En particular, este cálculo muestra que la cohomología del espacio proyectivo sobre con coeficientes en cualquier paquete de líneas tiene una dimensión finita como -espacio vectorial.
La desaparición de estos grupos de cohomología por encima de la dimensión es un caso muy especial del teorema de desaparición de Grothendieck : para cualquier fajo de grupos abelianosen un espacio topológico noetheriano de dimensión , para todos . [5] Esto es especialmente útil paraun esquema noetheriano (por ejemplo, una variedad sobre un campo) y una gavilla casi coherente.
Cohomología de la gavilla de curvas planas
Dada una curva plana proyectiva suave de grado , la cohomología de la gavilla se puede calcular fácilmente utilizando una secuencia larga exacta en cohomología. Primero tenga en cuenta que para la incrustación existe el isomorfismo de los grupos de cohomología
desde es exacto. Esto significa que la breve secuencia exacta de poleas coherentes
en , llamada secuencia ideal [6] , se puede utilizar para calcular la cohomología a través de la secuencia larga exacta en cohomología. La secuencia se lee como
que se puede simplificar utilizando los cálculos anteriores sobre el espacio proyectivo. Para simplificar, suponga que el anillo de la base es(o cualquier campo algebraicamente cerrado). Luego están los isomorfismos
que muestra que de la curva es un espacio vectorial de dimensión finita de rango
- .
Teorema de Kunneth
Existe un análogo de la fórmula de Kunneth en la cohomología de gavilla coherente para productos de variedades. [7] Dados esquemas cuasi-compactos con diagonales afines sobre un campo , (por ejemplo, esquemas separados), y deje y , entonces hay un isomorfismo
dónde son las proyecciones canónicas de a .
Cálculo de la cohomología de curvas de gavilla
En , una sección genérica de define una curva , dando la secuencia ideal
Luego, la secuencia larga exacta se lee como
donación
Desde es el género de la curva, podemos usar la fórmula de Kunneth para calcular sus números de Betti. Esto es
que es de rango
[8]
por . En particular, si se define por el lugar de desaparición de una sección genérica de , es de género
por lo tanto, se puede encontrar una curva de cualquier género dentro de .
Dimensionalidad finita
Para un esquema adecuado sobre un campo y cualquier gavilla coherente en , los grupos de cohomología tener una dimensión finita como -espacios vectoriales. [9] En el caso especial en el quees proyectivo sobre, esto se demuestra reduciendo al caso de los paquetes de líneas en el espacio proyectivo, discutido anteriormente. En el caso general de un esquema adecuado sobre un campo, Grothendieck demostró la finitud de la cohomología reduciendo al caso proyectivo, utilizando el lema de Chow .
La dimensión finita de la cohomología también se mantiene en la situación análoga de haces analíticos coherentes en cualquier espacio complejo compacto , por un argumento muy diferente. Cartan y Serre demostraron la dimensionalidad finita en esta situación analítica utilizando un teorema de Schwartz sobre operadores compactos en espacios de Fréchet . Grothendieck (para esquemas localmente noetherianos) y Grauert (para espacios analíticos complejos) demostraron versiones relativas de este resultado para un morfismo adecuado . Es decir, para un morfismo adecuado. (en el entorno algebraico o analítico) y una gavilla coherente en , las poleas de imagen directa más altasson coherentes. [10] Cuando es un punto, este teorema da la dimensionalidad finita de la cohomología.
La dimensionalidad finita de la cohomología conduce a muchas invariantes numéricas para variedades proyectivas. Por ejemplo, sies una curva proyectiva suave sobre un campo algebraicamente cerrado, el género de se define como la dimensión del -espacio vectorial . Cuándoes el campo de los números complejos, esto concuerda con el género del espaciode puntos complejos en su topología clásica (euclidiana). (En ese caso,es una superficie orientada cerrada .) Entre muchas generalizaciones de dimensiones superiores posibles, el género geométrico de una variedad proyectiva suave de dimensión es la dimensión de , y el género aritmético (según una convención [11] ) es la suma alterna
Dualidad serre
La dualidad de Serre es un análogo de la dualidad de Poincaré para la cohomología de gavilla coherente. En esta analogía, el paquete canónico desempeña el papel de la gavilla de orientación . Es decir, para un esquema adecuado sin problemas de dimensión sobre un campo , hay un mapa de trazas naturales , que es un isomorfismo si está conectado geométricamente , lo que significa que el cambio de base de a un cierre algebraico de está conectado . Dualidad de Serre para un paquete de vectores en dice que el producto
es una combinación perfecta para cada número entero. [12] En particular, el-espacios vectoriales y tienen la misma dimensión (finita). (Serre también demostró la dualidad de Serre para los paquetes de vectores holomórficos en cualquier variedad compleja compacta.) La teoría de la dualidad de Grothendieck incluye generalizaciones a cualquier haz coherente y cualquier morfismo apropiado de esquemas, aunque las declaraciones se vuelven menos elementales.
Por ejemplo, para una curva proyectiva suave sobre un campo algebraicamente cerrado , La dualidad de Serre implica que la dimensión del espacio de 1 formas en es igual al género de (la dimensión de ).
Teoremas de GAGA
Los teoremas de GAGA relacionan las variedades algebraicas sobre los números complejos con los espacios analíticos correspondientes. Para un esquema X de tipo finito sobre C , hay un funtor de haces algebraicos coherentes en X a haces analíticos coherentes en el espacio analítico asociado X an . El teorema clave de GAGA (de Grothendieck, generalizando el teorema de Serre en el caso proyectivo) es que si X es propio sobre C , entonces este funtor es una equivalencia de categorías. Además, para cada haz algebraico coherente E en un esquema adecuado X sobre C , el mapa natural
de espacios vectoriales complejos (de dimensión finita) es un isomorfismo para todo i . [13] (El primer grupo aquí se define usando la topología de Zariski, y el segundo usando la topología clásica (euclidiana).) Por ejemplo, la equivalencia entre haces coherentes algebraicos y analíticos en el espacio proyectivo implica el teorema de Chow de que todo subespacio analítico cerrado de CP n es algebraico.
Teoremas de desaparición
El teorema de desaparición de Serre dice que para cualquier paquete de líneas amplio en un esquema adecuado sobre un anillo noetheriano , y cualquier gavilla coherente en , hay un entero tal que para todos , la gavilla está abarcado por sus secciones globales y no tiene cohomología en grados positivos. [14]
Aunque el teorema de la desaparición de Serre es útil, la inexactitud del número puede ser un problema. El teorema de desaparición de Kodaira es un resultado explícito importante. Es decir, si es una variedad proyectiva suave sobre un campo de característica cero, es un paquete de línea amplio en , y un paquete canónico , entonces
para todos . Tenga en cuenta que el teorema de Serre garantiza la misma desaparición para grandes potencias de. La desaparición de Kodaira y sus generalizaciones son fundamentales para la clasificación de variedades algebraicas y el programa modelo mínimo . La desaparición de Kodaira falla en campos de características positivas. [15]
Teoría de Hodge
El teorema de Hodge relaciona la cohomología de gavilla coherente con la cohomología singular (o cohomología de De Rham ). Es decir, si es una variedad proyectiva compleja suave, luego hay una descomposición canónica de suma directa de espacios vectoriales complejos:
para cada . El grupo de la izquierda significa la cohomología singular deen su topología clásica (euclidiana), mientras que los grupos de la derecha son grupos de cohomología de haces coherentes, que (según GAGA) pueden tomarse en la topología Zariski o en la clásica. La misma conclusión es válida para cualquier esquema adecuado sin problemas. encima , o para cualquier colector compacto de Kähler .
Por ejemplo, el teorema de Hodge implica que la definición del género de una curva proyectiva suave como la dimensión de , que tiene sentido en cualquier campo , concuerda con la definición topológica (como la mitad del primer número de Betti ) cuandoson los números complejos. La teoría de Hodge ha inspirado una gran cantidad de trabajo sobre las propiedades topológicas de variedades algebraicas complejas.
Teoremas de Riemann-Roch
Para un esquema adecuado X sobre un campo k , la característica de Euler de una gavilla coherente E sobre X es el número entero
La característica de Euler de un haz coherente E se puede calcular a partir de las clases de Chern de E , de acuerdo con el teorema de Riemann-Roch y sus generalizaciones, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch . Por ejemplo, si L es un conjunto de líneas en una curva X suave y correctamente conectada geométricamente sobre un campo k , entonces
donde ° ( L ) denota el grado de L .
Cuando se combina con un teorema de desaparición, el teorema de Riemann-Roch a menudo se puede utilizar para determinar la dimensión del espacio vectorial de las secciones de un haz de líneas. Saber que un paquete de líneas en X tiene suficientes secciones, a su vez, puede usarse para definir un mapa desde X hasta el espacio proyectivo, quizás una inmersión cerrada. Este enfoque es esencial para clasificar variedades algebraicas.
El teorema de Riemann-Roch también es válido para los paquetes de vectores holomórficos en una variedad compleja compacta, según el teorema del índice de Atiyah-Singer .
Crecimiento
Las dimensiones de los grupos de cohomología en un esquema de dimensión n pueden crecer como máximo como un polinomio de grado n .
Deje que X sea un esquema proyectivo de dimensión n y D un divisor de X . Sies cualquier gavilla coherente en X entonces
por cada i .
Para una cohomología más alta de nef divisor D en X ;
Aplicaciones
Dado un esquema X sobre un campo k , la teoría de la deformación estudia las deformaciones de X a vecindades infinitesimales. El caso más simple, relativo a las deformaciones sobre el anillo.de números duales , examina si hay un esquema X R sobre Spec R tal que la fibra especial
es isomorfo a la X dada . Cohomología coherente de la gavilla con coeficientes en la gavilla tangente controla esta clase de deformaciones de X , siempre que X sea suave. A saber,
- Las clases de isomorfismo de deformaciones del tipo anterior están parametrizadas por la primera cohomología coherente. ,
- hay un elemento (llamado clase de obstrucción ) enque se desvanece si y solo si existe una deformación de X sobre la especificación R como se indicó anteriormente.
Notas
- ^ Hartshorne (1977), (III.1.1A) y sección III.2.
- ^ a b Proyecto de pilas, etiqueta 01X8.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 01XE.
- ^ Hartshorne (1977), Teorema III.5.1.
- ^ Hartshorne (1977), Teorema III.2.7.
- ^ Hochenegger, Andreas (2019). "Introducción a las categorías derivadas de poleas coherentes". En Andreas Hochenegger; Manfred Lehn; Paolo Stellari (eds.). Geometría Biracional de Hipersuperficies . Notas de la conferencia de la Unione Matematica Italiana. 26 . págs. 267–295. arXiv : 1901.07305 . Código bibliográfico : 2019arXiv190107305H . doi : 10.1007 / 978-3-030-18638-8_7 . ISBN 978-3-030-18637-1. S2CID 119721183 .
- ^ "Sección 33.29 (0BEC): fórmula de Künneth: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 23 de febrero de 2020 .
- ^ Vakil. "FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA ALGEBRAICA CLASES 35 Y 36" (PDF) .
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 02O3.
- ^ EGA III, 3.2.1; Grauert y Remmert (1984), Teorema 10.4.6.
- ^ Serre (1955), sección 80.
- ^ Hartshorne (1977), Teorema III.7.6.
- ^ Grothendieck y Raynaud, SGA 1, Exposé XII.
- ^ Hartshorne (1977), Teorema II.5.17 y Proposición III.5.3.
- ^ Michel Raynaud. Contre-exemple au teorema de desaparición en caractéristique p> 0 . En CP Ramanujam - un tributo , Tata Inst. Fondo. Res. Estudios en Matemáticas. 8, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, (1978), págs. 273-278.
Referencias
- Grauert, Hans ; Remmert, Reinhold (1984), Gavillas analíticas coherentes , Grundlehren der mathischen Wissenschaften, 265 , Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-69582-7 , ISBN 3-540-13178-7, MR 0755331
- Grothendieck, Alexandre ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960–61 - Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , París: Société Mathématique de France , arXiv : math.AG/ 0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2, Señor 2017446
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Elementos de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi : 10.1007 / bf02684274 . Señor 0217085 .
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307 / 1969915 , JSTOR 1969915 , MR 0068874
enlaces externos
- Autores del proyecto Stacks, Proyecto Stacks